Построение сечений тетраэдра и параллелепипеда

А В а А В С Аксиомы стереометрии

Если две точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямая принадлежит плоскости. Через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость и при том только одну. Через две пересекающиеся прямые можно провести плоскость и при том только одну. Следствия из аксиом

Секущей плоскостью тетраэдра (параллелепипеда) назовем любую плоскость, по обе стороны от которой имеются точки данного тетраэдра (параллелепипеда). Секущая плоскость пересекает грани тетраэдра (параллелепипеда) по отрезкам. Многоугольник, сторонами которого являются эти отрезки, называется сечением тетраэдра (параллелепипеда)

А ВС D A1 B1 C1 D1 Дан параллелепипед A B C D A1 B1 C1 D1

На гранях куба заданы точки R, P, Q. Требуется построить сечение куба плоскостью, проходящей через заданные точки. А В С D A1 B1 C1 D1 R P Q

Дано: АВСDA1B1C1D1- параллелепипед RєA1B1 PєDD1 QєCC1 А В С D A1 B1 C1 D1 R P Q Построить: α=(P,Q,R)

Точки Р и Q заданы, как принадлежащие плоскости сечения. В то же время эти точки принадлежат плоскости грани C D D1 C1, следовательно линия PQ является линий пересечения этих плоскостей А В С D A1 B1 C1 D1 R P Q

Линии PQ и C1D1 лежат в плоскости грани C C1 D1 D. Найдем точку Е пересечения линий PQ и C1 D1. А В С D A1 B1 C1 D1 R P Q E

Точки R и E принадлежат плоскости сечения и плоскости основания куба, следовательно линия RE, соединяющая эти точки будет линией пересечения плоскости сечения и плоскости основания куба. А В С D A1 B1 C1 D1 R P Q E

RE пересекает A1 D1 в точке F и линия RF будет линией пересечения плоскости сечения и плоскости грани A1 B1 C1 D1. А В С D A1 B1 C1 D1 R P Q E F

Точки и Q, и F принадлежат плоскости сечения и плоскости грани AA1D1D, следовательно линия QF будет линией пересечения этих плоскостей. А В С D A1 B1 C1 D1 R P Q E F

Линии RE и B1C1, лежащие в плоскости основания куба пересекаются в точке G. А В С D A1 B1 C1 D1 R P Q E F G

Точки P и G принадлежат плоскости сечения и плоскости грани BB1C1C, следовательно линия PG является линией пересечения этих плоскостей А В С D A1 B1 C1 D1 R P Q E F G

PG пересекает B B1 в точке H и линия PH будет линией пересечения плоскости сечения и плоскости грани B B1 C1 C. А В С D A1 B1 C1 D1 R P Q E F G H

Точки R и H принадлежат плоскости сечения и плоскости грани A A1 B1 B и следовательно линия RH будет линией пересечения этих плоскостей. А В С D A1 B1 C1 D1 R P Q E F G H

А пятиугольник RHPQF будет искомым сечением куба плоскостью, проходящей через точки R, P, Q. А В С D A1 B1 C1 D1 R P Q E F G H

А пятиугольник RHPQF будет искомым сечением куба плоскостью, проходящей через точки R, P, Q. А В С D A1 B1 C1 D1 R P Q F H

Дана пирамида SABCD.

Требуется построить сечение заданной пирамиды плоскостью, проходящей через точки: М на ребре AS, P на ребре CS и Q на ребре DS. M P Q M P Q

M P Q M P Q Дано: SABCD-тетраэдр М USA Q USD P DSC Построить: α=(М,Q,P)

M P Q Точки M и Q лежат в плоскости грани АSD. Линия МQ, соединяющая эти точки является линией пересечения плоскости сечения и плоскости грани ASD.

M P Q Линия QP, соединяющая заданные точки Q и P, является линией пересечения плоскости сечения и плоскости грани DSC.

M P Q Линии MQ и AD лежат в одной плоскости грани ASD. Найдём точку Е, как точку пересечения линий MQ и AD. Точка Е будет принадлежать искомой плоскости сечения, так как она принадлежит линии MQ, лежащей в этой плоскости. Е

M P Q Е Линии PQ и CD лежат в одной плоскости грани CSD. Найдём точку F, как точку пересечения линий PQ и CD. Точка F, как и точка Е, будет принадлежать искомой плоскости сечения, так как она принадлежит линии PQ, лежащей в этой плоскости. F

M P Q Е F Точки Е и F принадлежат плоскости сечения и плоскости основания пирамиды, поэтому линия EF будет линией пересечения плоскости сечения и плоскости основания пирамиды.

M P Q Е F Линии EF и BC лежат в одной плоскости основания пирамиды ABCD. Найдём точку G, как точку пересечения линий EF и BC. Точка G будет принадлежать искомой плоскости сечения, так как она принадлежит линии EF, лежащей в этой плоскости. G

M P Q Е F G Точки P и G принадлежат плоскости сечения и плоскости грани BSC, поэтому линия PG будет линией пересечения плоскости сечения и плоскости грани BSC.

M P Q Е F G Линией пересечения плоскости сечения и плоскости грани BSC будет линия, являющаяся продолжением PG, которая пересечёт ребро BS пирамиды в точке H. H

M P Q Е F G H PH будет линией пересечения плоскости сечения и плоскости грани BSC.

M P Q Е F G H Точки M и H одновременно принадлежат и плоскости сечения и плоскости грани ASB, то линия MH будет линией пересечения этих плоскостей.

M P Q H И четырёхугольник MHPQ будет искомым сечением пирамиды SABCD плоскостью, проходящей через заданные точки M, P, Q. A D B C