Проект ученика 8-2 класса ГОУ школы «Интеллектуал» Полднева Антона Научный руководитель: Абрамсон Яков Иосифович

Прежде чем разбираться со звёздами, нужно дать определение звезде. Итак, звездой (n,k) мы назовём замкнутую n-звённую ломаную, нарисованную путём соединения каждой k-той вершины n-угольника так, чтобы от каждой вершины этой ломаной можно было провести луч, не пересекающий её. Чтобы звезда (n,k) существовала, необходимо, чтобы числа n и k были взаимно просты, иначе ломаная будет не n- звённая, как бы хотелось, а -звённая. Например, нарисуем ломаную, соединяющую каждую четвёртую вершину 10-угольника:

Рисуем 10-угольник... Соединяем каждую четвёртую вершину... 1 с с с с с 1...

Другим рисунком покажем, что звезда (n,k) равна звезде (n,n-k) на примере звёзд (5,2) и (5,3).

Рисуем звезду (5,2)... Рисуем звезду (5,3)...

Посмотрим, что получится, если при рисовании ломаной мы будем отступать разное количество вершин.

Теперь рассмотрим третье условие: «от каждой вершины этой ломаной можно провести луч, не пересекающий её». Нарисуем такую «звезду» (7,3), для которой оно не будет выполняться.

Посмотрев на предыдущий рисунок, Вы можете подумать, что ломаная не стала звездой только из-за того, что семиугольник был невыпуклый. Чтобы опровергнуть это утверждение, я нарисую звезду (7,3), созданную при помощи невыпуклого семиугольника.

Мой проект называется «Суммы углов различных звёзд». Но какой же будет сам смысл проекта, если, переместив в звезде одну вершину так, чтобы получившаяся ломаная осталась звездой, сумма углов изменится? Докажем, что это не так:

Живая геометрия

Прежде чем приступать к выведению общей формулы, потренируемся на некоторых несложных звёздах. Например, выведем сумму углов звезды (n,2) (n, конечно же, нечётно):

n Рассмотрим n-конечную звезду как невыпуклый 2n-угольник. Искомая сумма = сумма углов 2n-угольника – сумма его тупых углов = 180(2n-2) – сумма его тупых углов Сумма тупых углов 2n-угольника = = 360n-180(n-2) Получаем, что искомая сумма = 180(2n-2) – - (360n-180(n-2)) = 180(2n-2)-180*2n+180(n-2) = = 180(2n-2-2n+n-2) = 180(n-4)

Рассмотрим другую простую звезду – (n,(n-1)/2), где n нечётно.

Величина дуги, на которую опирается каждый угол нашей звезды (n,k), равна 360/n*(n-2k) Значит величина самого угла в 2 раза меньше и равна 180/n*(n-2k). Получаем, что сумма углов звезды = каждый угол * n = 180/n*(n-2k)*n = 180*(n-2k)