Элементы теории множеств

Математическим анализом называется раздел математики, занимающийся исследованием функций на основе идеи бесконечно малой функции. Основными понятиями математического анализа являются величина, множество, функция, бесконечно малая функция, предел, производная, интеграл.

Определение множества Величиной называется все что может быть измерено и выражено числом. Множеством называется совокупность некоторых элементов. Элементами множества могут быть числа, фигуры, предметы, понятия и т.п.

«Множество есть многое, мыслимое нами как единое». Основоположник теории множеств немецкий математик Георг Кантор ( )

С понятием множества мы соприкасаемся прежде всего тогда, когда по какой-либо причине объединяем по некоторому признаку в одну группу какие-то объекты и далее рассматриваем эту группу или совокупность как единое целое. Множества принято обозначать заглавными латинскими буквами. Объекты, которые образуют множество, называют элементами множества и для обозначения элементов используют, как правило, малые буквы латинского алфавита.

Примеры множеств: множество учащихся в данной аудитории; множество людей, живущих на нашей планете в данный момент времени; множество точек данной геометрической фигуры; множество чётных чисел; множество корней уравнения х 2-5 х+6=0; множество действительных корней уравнения х 2+9=0;

понедельник вторник среда пятница суббота Дни недели

Музыкальные инструменты

Цвета

Множество живых существ Составь множество из соответствующих элементов

Объекты, из которых состоит множество, называются его ЭЛЕМЕНТАМИ. Если элемент x принадлежит множеству X, то записывают x Х ( принадлежит). В противном случае, если a не принадлежит множеству А, будем использовать обозначение. Если множество А является частью множества В, то записывают А В ( содержится).

Способы задания множеств 1. Множество может быть задано перечислением всех его элементов или списком. В этом случае элементы множества записывают внутри фигурных скобок, например: или A={студент А., рабочий Л., школьник М.}. 2. Множество может быть задано описанием свойств его элементов. Чаще всего при этом используют запись, которую читают следующим образом: «A есть множество элементов b таких, что для них выполняется свойство B». Например, а – четное натуральное число. 3. Множество можно задать порождающей процедурой, например: А={a|a=2k, k-любое натуральное число}.

Например, перечислением заданы следующие множества: А={1,2,3,5,7} множество чисел Х={x1,x2,...,xn} множество некоторых элементов x1,x2,...,xn N={1,2,...,n} множество натуральных чисел Z={0,±1,±2,...,±n} множество целых Чисел А={х | х 2-5 х+6=0}.

N – множество всех натуральных чисел; Z– множество всех целых чисел; Q – множество всех рациональных чисел; R – множество всех действительных чисел;

Пример Мы говорим, что число 5 натуральное, т.е. утверждаем, что число 5 принадлежит множеству натуральных чисел. Символически принадлежность множеству записывается с помощью знака. В данном случае символическая запись будет такой: 5 N. Читается: 5 принадлежит множеству натуральных чисел. Число 5,2 не принадлежит множеству натуральных чисел, т.к. не является натуральным числом. Символически отношение не принадлежит записывается с помощью знака (реже ). Таким образом, здесь имеем: 5,2 N Читается: 5,2 не принадлежит множеству натуральных чисел.

Поставьте вместо звездочки знак так, чтобы получить правильное утверждение: 5 * N; –5 * Q; 3,14 * Q; 2 * R; 0 * N; 12 * Z; π * Q; 3 *

Задайте перечислением элементов множество: 1) A = {x | x N, x2 – 1 = 0}; 2) B = {x | x Z, | x | < 3}; 3) C = {x | x N, x 15, x = 7k, k Z}.

Определить как между собой соотносятся множества A = {1, 2, 3, 5, 7}, B ={1, 3, 5}

По числу элементов, входящих в множество, множества делятся на три класса: 1 – конечные, 2 – бесконечные, 3 – пустые.

Если элементы множества можно сосчитать, то множество является КОНЕЧНЫМ Пример Множество гласных букв в слове математика состоит из трёх элементов – это буквы а, е, и, причем, гласная считается только один раз, т.е. элементы множества при перечислении не повторяются.

Если элементы множества сосчитать невозможно, то множество БЕСКОНЕЧНОЕ Пример Множество натуральных чисел бесконечно. Пример Множество точек отрезка [0;1] бесконечно.

Примеры 1). множество, содержащее 6 элементов (конечное множество). 2). бесконечное счетное множество. 3). множество, содержащее 5 элементов, два из которых – и, сами являются множествами.

В теории множеств отдельно вводится множество, которое не содержит ни одного элемента. Такое множество называется пустым и обозначается символом.

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется ПУСТЫМ. Символически оно обозначается знаком Пример Множество действительных корней уравнения x2 +1=0. Пример Множество людей, проживающих на Солнце.

В различных приложениях дискретной математики чаще всего встречаются конечные множества. Интуитивный смысл этого термина ясен: такие множества содержат конечное число элементов.

Способы задания множеств Множество считается заданным, если мы владеем способом, позволяющим для любого данного элемента определить, принадлежит он данному множеству или не принадлежит. Множество можно задать, непосредственно перечислив все его элементы, причём, порядок следования элементов может быть произвольным. В этом случае названия всех элементов множества записываются в строчку, отделяются точкой с запятой и заключаются в фигурные скобки. Пример Множество всех гласных букв русского алфавита: A={а; я; у; ю; э; е;о; ё; и; ы}. Пример Множество цифр десятичной системы счисления: B={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 0}.

Способы задания множеств Очевидно, что такой способ задания множеств удобно применять для конечных множеств с небольшим количеством элементов. Конечные и бесконечные множества могут быть заданы другим способом: указанием ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОГО СВОЙСТВА, т.е. такого свойства, которым обладает любой элемент данного множества и не обладает ни один элемент, не принадлежащий ему. Пусть P обозначает некоторое свойство, которым обладают все элементы множества А и не обладают элементы никакого другого множества. Тогда множество всех элементов, обладающих свойством Р, обозначим так: А={х обладает свойством Р}={ хР(х)}={х : Р(х)}. Свойство Р, задающее множество А, есть характеристическое свойство множества А. Пример Множество чётных натуральных чисел. Зададим его с помощью характеристического свойства: В={х х – чётное натуральное число}={х х=2k, k Є N}.

Пример Множество всех действительных чисел на отрезке от 1 до 3 включительно запишется следующим образом: R1-3={y1 y 3, y Є R}. Следует заметить, что в ряде случаев одно и то же множество может быть задано как первым, так и вторым способом. Пример Множество натуральных чисел, меньших, чем 10. Первый способ: N<10={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}. Второй способ: N<10={zz<10, z Є N}. Случается, что одно и то же множество может быть задано с помощью различных характеристических свойств. Пример Множество квадратов. Первый способ: A={xx – ромб с прямыми углами}. Второй способ: A={ xx – прямоугольник с равными сторонами}.

Мощность множества Число элементов конечного множества называют мощностью этого множества и обозначают символом Card A или |A|. Количество элементов в конечном множестве естественно характеризовать их числом. В этом смысле множество чисел {-2, 0, 3,8} и множество букв {с, х, ф, а} эквивалентны, так как они содержат одинаковое число элементов.

В любой конкретной задаче приходится иметь дело только с подмножествами некоторого, фиксированного для данной задачи, множества. Его принято называть универсальным (универсумом) и обозначать символом U. Например, при сборке некоторого изделия универсальным множеством естественно назвать множество всех деталей и сборочных элементов, из которых это изделие состоит. Если мы рассматриваем множества, связанные с какими-нибудь фигурами на плоскости, то в качестве универсального множества можно выбрать множество всех точек плоскости.

Множество A называется подмножеством множества B, если любой элемент множества A принадлежит множеству B. При этом пишут A B, где есть знак вложения подмножества. Из определения следует, что для любого множества справедливы, как минимум, два вложения A A и A.

Отношения между множествами Наглядно отношения между множествами изображают при помощи особых чертежей, называемых КРУГАМИ ЭЙЛЕРА (или диаграммами Эйлера – Венна). Для этого множества, сколько бы они ни содержали элементов, представляют в виде кругов или любых других замкнутых кривых (фигур)

При графическом изображении множеств удобно использовать диаграммы Венна, на которых универсальное множество обычно представляют в виде прямоугольника, а остальные множества в виде овалов, заключенных внутри этого прямоугольника

Отношения множеств

Операции над множествами Два множества А и В равны (А=В), если они состоят из одних и тех же элементов. Например, если А={1,2,3,4}, B={3,1,4,2} то А=В. {a,b,c,d}={c,b,a,d}.

Операции над множествами Объединением (суммой) множеств А и В называется множество А В, элементы которого принадлежат хотя бы одному из этих множеств. Например, если А={1,2,4}, B={3,4,5,6}, то А B = {1,2,3,4,5,6}

Два множества А и В называются равными ( А = В ), если они состоят из одних и тех же элементов, то есть каждый элемент множества А является элементом множества В и наоборот, каждый элемент множества В является элементом множества А.

Говорят, что множество А содержится в множестве В или множество А является подмножеством множества В ( в этом случае пишут А В ), если каждый элемент множества А одновременно является элементом множества В. Эта зависимость между множествами называется включением. Для любого множества А имеют место включения: А и А А.

Количество подмножеств Если мощность множества n, то у этого множества 2 n подмножеств. А={1,2} Подмножества А: { }, {1}, {2}, {1,2}.

Количество подмножеств В={1,3,5} Подмножества В: { }, {1}, {3}, {5}, {1,3}, {1,5}, {5,3}, {1,3,5} С={а,и,е,о} Подмножества С: { }, {а}, {и}, {е}, {о}, {а,и}, {а,е}, {а,о}, {и,е}, {и,о}, {е,о}, {а,и,е}, {а,и,о}, {а,е,о}, {и,е,о}, {а,и,е,о}.

Объединение множеств Сумма ( объединение ) множеств А и В ( пишется А В ) есть множество элементов, каждый из которых принадлежит либо А, либо В. Таким образом, е А В тогда и только тогда, когда либо е А, либо е В.

Объединение множеств

Операции над множествами Пересечением (произведением) множеств А и В называется множество А В, элементы которого принадлежат как множеству А, так и множеству В. Например, если А={1,2,4}, B={3,4,5,2}, то А В = {2,4}

Пересечение множеств

Операции над множествами Разностью множеств А и В называется множество АВ, элементы которого принадлежат множесву А, но не принадлежат множеству В. Например, если А={1,2,3,4}, B={3,4,5}, то АВ = {1,2}

Разность множеств

Операции над множествами Симметричной разностью множеств А и В называется множество А Δ В, являющееся объединением разностей множеств АВ и ВА, то есть А Δ В = (АВ) (ВА). Например, если А={1,2,3,4}, B={3,4,5,6}, то А Δ В = {1,2} {5,6} = {1,2,5,6}

Симметричная разность

Операции над множествами Абсолютным дополнением множества называется множество всех элементов, не принадлежащих A, т.е. множество U\A, где U – универсальное множество

Свойства операций над множествами:

П р и м е р ы Множество детей является подмножеством всего населения. Пересечением множества целых чисел с множеством положительных чисел является множество натуральных чисел. Объединением множества рациональных чисел с множеством иррациональных чисел является множество действительных чисел. Нуль является дополнением множества натуральных чисел относительно множества неотрицательных целых чисел.

Даны множества Найти: объединение, пересечение, разность, симметрическую разность

Пример: А В= {2, 5, 7, 9} {3, 5, 8, 9, 12}= {5,9}.2, 73, 8, 125, 9 Диаграмма:

Пример 1: На вступительном экзамене по математике были предложены три задачи: по алгебре, планиметрии и стереометрии. Из 1000 абитуриентов задачу по алгебре решили 800, по планиметрии 700, а по стереометрии 600 абитуриентов. При этом задачи по алгебре и планиметрии решили 600 абитуриен­тов, по алгебре и стереометрии 500, по планиметрии и стерео­метрии 400. Все три задачи решили 300 абитуриентов. Суще­ствуют ли абитуриенты, не решившие ни одной задачи, и если да, то сколько их?

Решение. Пусть U множество всех абитуриентов, А. множество абитуриентов, решивших задачу по алгебре, В множество абитуриентов, решивших задачу по планиметрии, С множество абитуриентов, решивших задачу по стереометрии. По условию n(U) =1000, n(A) = 800, n(В)=700, n(С)=600, n(A B)= 600, n(A C) = 500, n(B C) = 400, n(A B C) =300. В множество A B C включены все абитуриенты, решившие хо­тя бы одну задачу. По формуле (2) имеем: n(А U В U С) = =900. Отсюда следует, что не все поступающие решили хотя бы одну задачу. Ни одной задачи не решили n(U) - n(AUBUC)= =100 (абитуриентов).

В отделе института работают несколько человек. Каждый из них знает хотя бы один иностранный язык, причем: 6 знают немецкий, 6 – английский, 7 – французский, 4 – английский и немецкий, 3 – немецкий и французский, 2 – французский и английский, 1 – все три языка. Сколько всего человек работает в отделе? Сколько из них знают только английский? Из 35 учащихся класса 20 посещают математический кружок, 11 – физический, 10 – не посещают кружки. Сколько учеников посещают математический и физический кружки одновременно, сколько – только математический?

Условие Расставьте в ряд числа от 1 до 100 так, чтобы любые два соседних отличались по крайней мере на 50. Решение 51, 1, 52, 2

Найти объединение, пересечение, разность и симметрическую разность множеств А и В, если а) А={1, 2, 3, 4, 5}, В={2, 4, 6, 8, 10}; б) А={а, б, в, г, д, е}, В={а, в, д, к, и}; в) А={а, в, д, ж, и, м, н, о}, В={в, к, и, о, м, п, с, ф}; г) А={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, В={3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}.

Даны следующие числовые множества: А={1,3,5,7,9,11}, B={2,5,6,11,12}, C={1,2,3,5,9,12}. Найти множества, которые будут получены в результате выполнения следующих операций: а) (А С) В; б) (А С)\В; в) С\B А; г) А B C; д) В\(А С); е) (B C) A.

Заштрихуйте ту часть диаграммы, которая соответствует следующему множеству: а) (А В)\С; б) (А В) (С В); в) (А В) (С \ В); г) (С\В) (А\С); д) (А\С) (В С); е) (С А)\(В А).

Записать множество, изображенное с помощью кругов Эйлера на рисунке: