ПЛОЩАДИ параллелограмма, треугольника и трапеции Работу выполнил ученик 9 "В" класса МОУ СОШ 46 Григорьев Михаил Борисович Учитель математики Образцова М. М. г. Калининград 2009

ТЕОРЕМА: Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту S=AD·BH AHD BC

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: AHD BC K 12 1.Докажем, что SAHB = SDKC углы 1 и 2 равны, как соответственные при ABCD и секущей AD AB = DC, как противоположные стороны параллелограмма углы H и K равны 90º Из этого следует, что AHB = DKC по гипотенузе и острому углу. Равные многоугольники имеют равные площади Из этого следует, что SAHB = SDKC.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: AHD BC K Докажем, что S ADCD = S HBCK HBCD – трапеция, общий элемент SAHB = SDKC по доказанному Из этого следует, что S ADCD = S HBCK (т. к. фигуры, составленные из равных элементов, имеют равные площади).

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: AHD BC K Найдём S HBCK По теореме о площади прямоугольника: S HBCK = BC· BH S ADCD = S HBCK – по доказанному BC = AD, как противоположные стороны параллелограмма Из этого следует, что S ABCD = AD· BH ТЕОРЕМА ДОКАЗАННА.

ТЕОРЕМА: Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту S= 0,5 AB·CH AHB C

AHB CD ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: 1. Достроим треугольник ABC до параллелограмма ABCD BC – общая сторона AB = CD как противоположные стороны параллелограмма AC = BD как противоположные стороны параллелограмма Из этого следует, что ABC = CBD по трем равным сторонам

AHB CD ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: 2. Из доказанного следует, что S ABC = S CBD (т. к. площади равных фигур равны) и S ABC равна половине площади параллелограмма ABDC S ABDC = AB· CH S ABC = 0,5· AB· CH ТЕОРЕМА ДОКАЗАННА

ТЕОРЕМА: Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту S = 0,5 · (AD+BC) · BH AHD BC

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: 1.Докажем, что S ABCD = S ABD + S BCD Диагональ BD делит трапецию на два треугольника: ABD и BCD Из чего следует, что S ABCD = S ABD + S BCD (т. к. площадь многоугольника, составленного из нескольких многоугольников, равна сумме площадей этих многоугольников) AHD BCN

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: 2. Рассмотрим треугольник ABD AD – основание BH – высота Из этого следует, что S ABD = 0,5· AD· BH AHD BCN 3. Рассмотрим треугольник BCD BC – основание DN – высота Из этого следует, что SBCD = 0,5· BC· DN

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: 4. Так как DN = BH, то SBCD = 0,5· BC· BH Из этого следует, что S ABCD = 0,5· AD· BH + 0,5· BC· BH = 0,5· (AD + BC)· BH Теорема доказана. AHD BCN