Міністерство освіти і науки, молоді та спорту України Управління освіти і науки Донецької обласної державної адміністрації Донецьке вище професійне машинобудівне училище Методична комісія природничо-математичних дисциплін та інформаційних технологій

Керівник проекту Кулікова Віра Василівна Творча група учнів Пєтріков Артем Вячелавович, Гайдук Костянтин Миколайович, Єфремов Денис Олександрович, Котовщиков Сергій Миколайович, Янюк Наталія Володимирівна

ЗАГАЛЬНІ ПРАВИЛА ЗАСТОСУВАННЯ ІНТЕГРАЛЬНОГО ЧИСЛЕННЯ Потрібно знайти значення якої-небудь геометричної або фізичної величини A (площа фігури, об'єм тіла, тиск рідини на вертикальну пластину і т. д.), пов'язаної з відрізком [а, b] зміни змінній x. Передбачається, що при розбитті відрізання [а, b] крапкою з (а, b) на частини [а, з] і [з, b] значення величини A, відповідне всьому відрізку [а, b] дорівнює сумі її значень, відповідних [а, с] і [с, b]. Для знаходження цієї величини А можна керуватися одній з двох схем: I схема (або метод інтегральних сум) і II схема (або метод диференціала). Перша схема базується на визначенні визначеного інтеграла. Точками x = а, x1, …, xn = b розбити відрізок [а, b] n частин. Відповідно до цього, величина A, що цікавить нас, розіб'ється на n елементарних доданків Δ A(I = 1, …, n): A = ΔA + ΔA+ … + ΔA2.

Представити кожен елементарний доданок у вигляді произве­дения деякої функції (визначуваного з умови завдання), вычислен­ной в довільній точці відповідного відрізання на його довжину: Δ A Δ f(ci )ΔXi При знаходженні наближеного значення ДЛ; допустимі деякі спрощення: дугу на малій ділянці можна замінити хордою, що стягує її кінці; змінну швидкість на малій ділянці можна приблизно вважати за постійну і так далі Набудемо наближеного значення величини А у вигляді інтегральної суми: A f(c) ΔX+ … + F(c)ΔX = f(c) ΔX Шукана величина А дорівнює межі інтегральної суми, тобто A = f(c) ΔX = f(x)dx. Вказаний метод сум, як видно, заснований на представленні интегра­ ла як про суму нескінченно великого числа нескінченно малих доданків.

Друга схема є видозміненою схемою I і називається Метод диференціала або метод відкидання бескінечно малих вищих порядків 1) на відрізку [а, b] вибираємо довільне значення х і розглядаємо змінний відрізок [а, x]. На цьому відрізку величина A стає функцією x: А А, тобто вважаємо, що частина шуканої величини А є невідома функція А, де x тобто [а, b] - один з параметрів величини А; 2) знаходимо головну частину приросту ΔA при зміні x на малу величину Δx = dх, тобто знаходимо диференціал dA функції A = А(x):dA - f(x) dx, де f(x), визначувана з умови завдання, функція змінної x ; 3) вважаючи, що dА ΔA при Δx 0, знаходимо шукану величину шляхом інтеграції dA в межах від а до b: A(b) = A = f(x)dx.

ІНТЕГРАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ В ГЕОМЕТРІЇ (НА ПРИКЛАДІ ОБЧИСЛЕННЯ ПЛОЩІ ПЛОСКОЇ ФІГУРИ У ПРЯМОКУТНИХ КООРДИНАТАХ) Припустимо функція f(х) безперервна на сегменті [а;b]. Якщо f(х )0 на [а; b] те площа S криволінійної трапеції, обмеженої лініями у =f(х), у = 0, х = а, х = b, дорівнює інтегралу Якщо ж f(x) 0 на [а; b] то f(х) 0 на [а; b]. Тому площа S відповідної криволінійної трапеції виразиться формулою або Якщо, нарешті, крива y=f(х) перетинає вісь Ох, то сегмент [а;b] треба розбити на частини, в межах яких f(х) не міняє знаку, і до кожної такій частині застосувати ту з формул, яка їй відповідає.

Приклад. Знайти площу плоскої фігури, обмеженою параболою у = x 2, прямими х=1, х = 3 і віссю Ох. Розвязання: Користуючись формулою знаходимо шукану площу

ІНТЕГРАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ В МЕХАНІЦІ (НА ПРИКЛАДІ ОБЧИСЛЕННЯ РОБОТИ ЗМІННОЇ СИЛИ) Матеріальна точка М переміщається уздовж осі Ох під дією змінної сили F = F(х), направленою паралельно цій осі. Робота, проведена силою при переміщенні точки М з положення х = а в положення х = b (а <b), знаходиться за формулою Приклад. Яку роботу потрібно витратити, щоб розтягнути пружину на 0,05 м, якщо сила 100 Н розтягує пружину на 0,01 м? Розвязання: За законом Гуку пружна сила, що розтягує пружину, пропорційна цьому розтягуванню х, тобто F = kх, де k коефіцієнт пропорційності. Згідно умові завдання, сила F = 100 Нрозтягує пружину на х = 0,01 м; отже, 100 = k 0,01, звідки k= 10000; отже, F =10000х.Шукана робота на підставі формули наведеної вище дорівнює:

ІНТЕГРАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ В БІОЛОГІЇ (НА ПРИКЛАДІ ОБЧИСЛЕННЯ ЧИСЕЛЬНОСТІ ПОПУЛЯЦІЇ) Число особин в популяції (чисельність популяції) міняється з часом. Якщо умови су­ществования популяції сприятливі, то народжуваність перевищує смертність і загальне число особин в популяції росте з часом. Назвемо швидкістю росту популяції приріст числа особин в едини­цу часі. Позначимо цю швидкість v = v(t). У старих, уста­новившихся популяціях, що давно мешкають в даній місцевості, швидкість росту v (t) мала і поволі прагне до нуля. Але якщо популяція молода, її взаємини з іншими місцевими по­пуляциями ще не встановилися або існують зовнішні причини, що змінюють ці взаємини, наприклад свідоме вмеша­тельство людини, то v (t) може значно коливатися, умень­шаясь або збільшуючись. Якщо відома швидкість росту популяції v(t), то ми можемо знайти приріст чисельності популяції за проміжок часу від tо до Т. Насправді, з визначення v(t) виходить, що ця функ­ция є похідною від чисельності популяції N (t) у момент t, і, отже, чисельність популяції N (t) є первісною для v (t). Тому

Відомо, що в умовах необмежених ресурсів живлення швидкість росту багатьох популяцій экспоненциальна, тобто Популяція в цьому випадку як би не старіє. Такі умови можна створити, наприклад, для мікроорганізмів, пересаджуючи культуру, що час від часу розвивається, в нові ємності з живильним середовищем. В цьому випадку отримаємо: За подібною формулою підраховують, зокрема, чисельність культивованих цвілевих грибків, що виділяють Пеніцилін.

ІНТЕГРАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ В ЕКОНОМІЦІ (НА ПРИКЛАДІ ОБЧИСЛЕННЯ НАДЛИШКУ ВИРОБНИКА) Надлишок виробника являє собою різницю між тією грошовою сумою, за якої він був би готовий продати Q* одиниць товару, і тією сумою, що він реально одержує при продажі цієї кількості товару. Графічно він може бути представлений площею фігури, обмеженої кривої пропозиції, віссю цін і прямій, паралельній осі абсцис, що проходить через точку ринкової рівноваги Очевидно, що

Приклад. Відомо, що крива пропозиції деякого товару має вигляд p = 4q3 + 2, а рівновага на ринку даного товару досягається при обсязі продажів Q* = 3. Визначите додаткову вигоду виробника при продажі такої кількості продукції. Розвязання: Спочатку з функції пропозиції знайдемо рівноважне значення ціни P* = f(q*) = f(3) = 4* = 110. Підставимо отримане значення у формулу

Перелік використаних джерел: 1. 1.Баврин И.И. Высшая математика – М.: Просвещение, – Бермантт А.Ф., Араманович И.Г. Краткий курс математического анализа для втузов - М.: Наука, с Красс М.C Основы математики и ее приложения в экономическом образовании 4. 4.Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов, Том 2 -М. :Наука, с Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике – M.: Айрис – пресс, – 288 c Солодовников А.С., Бабайцев В.А Математика в экономики – M.: Финансы и статистика, – 560c Шипачёв В.С. Высшая математика - М: Наука, 2003 – 684c Колесников А.Н. Краткий курс математики для экономистов. – М., Инфра-М, 1998.