Число вида z=a+bi называется комплексным. a, b – действительные числа, i – мнимая единица. a= Re z - действительная часть числа z. b= Jm z – мнимая часть числа z. z=a+bi – алгебраическая форма комплексного числа.

Комплексные числа Эпиграф: « Мнимые числа- Эпиграф: « Мнимые числа- это прекрасное и чудесное это прекрасное и чудесное убежище божественного убежище божественного духа, почти что амфибия духа, почти что амфибия бытия с небытием» бытия с небытием» (Г.Лейбниц) (Г.Лейбниц)

Иррациональные числа Рациональные числа Действительные числа

Иррациональные числа Рациональные числа Действительные числа + Комплексные числа

Решение квадратных уравнений А · Х²+ В ·Х+ С =0 При D<0 действительных корней нет Иррациональные числа Рациональные числа Действительные числа +

Историческая справка В XVI веке при решении кубических уравнений математики столкнулись с проблемой извлечения квадратных корней из отрицательных чисел. В 1545 году в труде «Великое искусство» итальянский математик Д.Кардано ввел числа новой природы и назвал их «чисто отрицательными» или «софистически отрицательными». В 1572 году итальянский алгебраист Р.Бомбелли ввел правила арифметических операций над такими числами.

В 1637 году французский математик Р.Декард назвал эти числа «мнимыми числами». В 1777 году великий математик Л.Эйлер ввел символ для обозначения числа (i= ). Сам же термин «комплексное число» ввел в 1803 году Л.Карно. Полное геометрическое истолкование «мнимым» величинам дали в своих работах датчанин К.Вессель и француз Ж.Арган в 1831 году. Комплексные числа широко использовал отец русской авиации Н.Е.Жуковский при разработке теории крыла самолета.

Классификация комплексных чисел

Сопряженные числа _ _ z=a+bi, z = a-bi – сопряженные числа z=a+bi, z = a-bi – сопряженные числа Свойства: сумма и произведение двух сопряженных чисел есть действительные Числа _ _ z + z =2a, z * z = a 2 + b 2

Вид комплексного числа Х²=-1 Х= i -корень уравнения i- комплексное число, такое, что i²=-1 А + В· i ЗАПИСЬ КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА В ОБЩЕМ ВИДЕ

А и В – действительные числа i- некоторый символ, такой, что i²= -1 А – действительная часть В – мнимая часть i – мнимая единица А + В· i

Геометрическая интерпретация комплексного числа

Геометрическое изображение суммы комплексных чисел

Геометрическое изображение разности комплексных чисел

Т.к Z =r = Z= А + В· i= cosφ+i sing

Тригонометрическая форма комплексного числа Z =r φ- аргумент аргумент комплексного числа Z=r cos φ + i Z sin φ = = r (cos φ+ i sin φ) Для Z=0 аргумент не определяется

Сложение и умножение комплексных чисел Алгебраическая форма Геометрическая форма Сумма (A+iB) + (C+iD)= (A+C)+(B+D)I Произведение Z 1 = r 1 (cos φ 1 + i sin φ 1 ) Z 2 = r 2 (cos φ 2 + i sin φ 2 ) Z 1 ·Z 2 = r 1 r 2 [cos( φ 1 + φ 2 )+isin ( φ 1 + φ 2 )] Произведение (A+iB) · (C+iD)= (AC-BD)+(AD+BC)i

Примеры: Найти разность и частное комплексных чисел Решение:

Литература., Колягин Ю.М., М.В.Ткачева. и др/ Алгебра и начала математического анализа 11 кл, Просвещение 2010 г,