Логические основы построения компьютера Основы формальной логики, заложенные Аристотелем

Одноразрядный двоичный сумматор

Логика – наука о законах и формах мышления Основные формы мышления: Понятие Понятие Высказывание Высказывание Умозаключение Умозаключение

1. Понятие – это форма мышления, отражающая наиболее существенные свойства предмета, отличающие его от других предметов Содержание совокупность существенных признаков предмета Объем совокупность предметов, на которую распространяется понятие Пр. Четырехугольник – это многоугольник с четырьмя вершинами

Алгебра множеств позволяет исследовать отношения между множествами и, соответственно, между объемами понятий Между объемами понятий могут быть различные виды отношений, которые наглядно иллюстрируются с помощью диаграмм Эйлера - Венна А,В АВА В А В Е С А В равнозначность пересечение подчинение соподчинение противоположность противоречивость

Изобразить отношения кругами Эйлера-Венна Дом, 5-ти этажный дом, каменный дом, строение Дом, 5-ти этажный дом, каменный дом, строение Спортсмен, рабочий, любитель музыки Спортсмен, рабочий, любитель музыки Многоугольники, квадраты, ромбы, четырехугольники, трапеции, параллелограммы, прямоугольники Многоугольники, квадраты, ромбы, четырехугольники, трапеции, параллелограммы, прямоугольники

2. Высказывание (суждение) – форма мышления, выраженная с помощью понятий, посредством которой что-либо утверждают или отрицают. (высказывание может быть истинным или ложным) Пример. «Волга впадает в Каспийское море» - истинно Пример. «Волга впадает в Каспийское море» - истинно «Дважды два – пять» - ложно «Дважды два – пять» - ложно «Который час?» - не является высказыванием, т.к. нельзя сказать истинно оно или ложно. «Который час?» - не является высказыванием, т.к. нельзя сказать истинно оно или ложно.

Приведите примеры истинных и ложных высказываний: а) из арифметики; б) из физики; а) из арифметики; б) из физики; в) из биологии; г) из информатики; в) из биологии; г) из информатики; д) из геометрии; е) из жизни. д) из геометрии; е) из жизни.

Утверждение – простое высказывание, которое требуется доказать или опровергнуть. Утверждение – простое высказывание, которое требуется доказать или опровергнуть. Например. Сумма внутренних углов в треугольнике 180 °. Например. Сумма внутренних углов в треугольнике 180 °. Рассуждение(сложное высказывание) – цепочка высказываний или утверждений, определенным образом связанных друг с другом. Рассуждение(сложное высказывание) – цепочка высказываний или утверждений, определенным образом связанных друг с другом. Например. Если хотите начать работать на компьютере, то необходимо сначала включить электропитание.

Логическая форма высказываний Высказывание Субъект Понятие о предмете связка ЭтоЕсть Не есть Является Состоит…Предикат Понятие о свойствах и отношениях предмета Пр. Компьютер состоит из процессора, памяти и внешних устройств

3. Умозаключение – это форма мышления, в результате которой из одного или нескольких данных суждений получается (выводится) новое суждение. Пр. Все металлы электропроводны Ртуть – металл Ртуть – металл Вывод: Вывод:

Алгебра высказываний Алгебра логики – область знаний, которая изучает истинность или ложность высказываний. Алгебра логики – область знаний, которая изучает истинность или ложность высказываний. Утверждения в математической логике называются логическими выражениями и обозначают заглавными латинскими буквами. Утверждения в математической логике называются логическими выражениями и обозначают заглавными латинскими буквами. А=(Аристотель – основоположник логики) А=(Аристотель – основоположник логики) В=(На яблонях растут бананы) В=(На яблонях растут бананы)

Сформулируйте отрицания следующих высказываний или высказывательных форм: а) Эльбрус высочайшая горная вершина Европы; б) 2>=5; в) 10<7; г) все натуральные числа целые; д) через любые три точки на плоскости можно провести окружность; е) теннисист Кафельников не проиграл финальную игру; ж) мишень поражена первым выстрелом; з) это утро ясное и теплое; и) число n делится на 2 или на 3; к) этот треугольник равнобедренный и прямоугольный; л) "на контрольной работе каждый ученик писал своей ручкой".

Определите значения истинности высказываний: а) наличия аттестата о среднем образовании достаточно для поступления в институт; б) наличие аттестата о среднем образовании необходимо для поступления в институт; в) если целое число делится на 6, то оно делится на 3; г) подобие треугольников является необходимым условием их равенства; д) подобие треугольников является необходимым и достаточным условием их равенства; е) треугольники подобны только в случае их равенства; ж) треугольники равны только в случае их подобия; з) равенство треугольников является достаточным условием их подобия; и) для того, чтобы треугольники были неравны, достаточно, чтобы они были не подобны; к) для того, чтобы четырёхугольник был квадратом, достаточно, чтобы его диагонали были равны и перпен-руны.

Логические выражения и логические операции Логическая операция – КОНЪЮНКЦИЯ Логическая операция – КОНЪЮНКЦИЯ (логические выражения соединяются союзом И) (&, ) Пример. А и В (Обаятельная и привлекательная) АВ А&BА&BА&BА&B

Конъюнкцией называется логическая операция, ставящая в соответствие двум простым логическим выражениям новое – сложное логическое выражение, которое будет истинным тогда и только тогда, когда истинны оба исходных (простых) логических выражения.

Логическая операция – ДИЗЪЮНКЦИЯ Логическая операция – ДИЗЪЮНКЦИЯ (логические выражения соединяются союзом ИЛИ) ( ) Пример. А или В (Победит 10 кл.или Победит 11 кл.) АВ А B

Дизъюнкцией называется логическая операция, ставящая в соответствие двум простым логическим выражениям новое – сложное логическое выражение, которое будет истинным тогда и только тогда, когда истинно хотя бы одно из исходных (простых) логических выражений.

Логическая операция – ОТРИЦАНИЕ, или (ИНВЕРСИЯ) Логическая операция – ОТРИЦАНИЕ, или (ИНВЕРСИЯ) (к исходному логическому выражению добавляется частица НЕ (неверно, что)) ( ) Пример. А (Дважды два четыре) А 10 01

Отрицанием (инверсией) называется логическая операция, ставящая в соответствие одному простому логическому выражению новое – логическое выражение следующим образом: если исходное выражение истинно, то результат его отрицания будет ложным, и наоборот, если исходное выражение ложно, то его отрицание будет истинным.

Логическая операция – ИМПЛИКАЦИЯ (логическое следование) Логическая операция – ИМПЛИКАЦИЯ (логическое следование) (ЕСЛИ условие, ТО следствие) () Пример. А В (треугольник равнобедренный углы при основании равны) АВ А B

Импликацией называется логическая операция, ставящая в соответствие двум простым логическим выражениям новое – сложное логическое выражение, которое будет ложным тогда и только тогда, когда условие истинно, а следствие ложно.

Логическая операция – ЭКВИВАЛЕНЦИЯ (равнозначность) Логическая операция – ЭКВИВАЛЕНЦИЯ (равнозначность) (А тогда и только тогда В) () Пример. А В (отличница в журнале одни пятерки) АВ А B

Эквиваленцией называется логическая операция, ставящая в соответствие двум простым логическим выражениям новое – сложное логическое выражение, которое является истинным тогда и только тогда, когда оба исходных выражения одновременно истинны или ложны.

Сложным логическим выражением называется логическое выражение, составленное из одного или нескольких простых логических выражений, связанных с помощью рассмотренных логических операций. Например,

Логические элементы и основные логические устройства компьютера Компьютер обрабатывает информацию в двоичных кодах с помощью логических элементов, из которых составляются логические схемы.

Реализация любых логических операций над двоичными сигналами основана на использовании логических элементов трех типов: И, ИЛИ, НЕ. Логический элемент – это устройство, реализующее одну из логических функций.

Логические элементы: А В & Логический Элемент И (конъюнктор)

А В 1 Логический Элемент ИЛИ (дизъюнктор)

А Логический элемент НЕ (инвертор)

Обработка любой информации на компьютере сводиться к выполнению процессором различных арифметических и логических операций Обработка любой информации на компьютере сводиться к выполнению процессором различных арифметических и логических операций Для этого в состав процессора входит так называемое арифметико- логическое устройство.

Арифметико-логическое устройство Арифметико-логическое устройство Регистры (совокупность ячеек, в которые можно записать одно из двух значений 0 или 1) Каждая ячейка называется триггером, представляющим собой одну из выше перечисленных логических схем Сумматор (это электронная схема, предназначенная для выполнения операции суммирования двоичных числовых кодов; она состоит из следующих логических элементов: - двух элементов И - одного элемента ИЛИ - одного элемента НЕ

Вывод Логические элементы являются теми строительными «кирпичиками», из которых путем конструирования логических схем строится «здание» любого современного компьютера.