Правильные и полуправильные многогранники Разработчик: Порывай Игорь студент ГАОУ СПО КГКП и АС руководитель Киселёва И.И. преподаватель математики Киров 2011 г. Далее

Теория многогранников, в частности выпуклых многогранников, одна из самых увлекательных глав геометрии. Л. А. Люстерник Правильные многогранники Правильные многогранники Правильные многогранники Правильные многогранники Полу- Полу- Полу- правильные многогранники правильные многогранники Это интересно Это интересно Это интересно Это интересно

Правильные многогранники Всего в природе существует пять правильных многогранников (почему?).почему? Тетраэдр Октаэдр Гексаэдр Додекаэдр Икосаэдр Изучая любые многогранники, естественнее всего подсчитать, сколько у него граней, сколько ребер и вершин. Как и для любых выпуклых многогранников, для правильных справедлива формула Эйлера. « Правильных многогранников вызывающе мало, но этот весьма скромный по численности отряд сумел пробраться в самые глубины различных наук» Л. Кэррол. Грани РебраВершины Тетраэдр Куб Октаэдр Додекаэдр Икосаэдр Вернуться на главную

Правильные многогранники Иоганн Кеплер называл куб "родителем" всех правильных многогранников. На основе куба он смог построить все другие виды правильных многогранников. Если провести в противоположных гранях куба скрещивающиеся диагонали, то их концы окажутся вершинами тетраэдра, а вершины октаэдра – это центры граней куба.

Философия Платона Великий древнегреческий ученый Платон, живший в IV-V вв. до н. э. и его ученики в своих работах уделяли большое внимание правильным многогранникам, и их поэтому еще называют "платоновыми телами".. По мнению Платона атомы имели вид правильных многогранников: огня тетраэдр, земли гексаэдр, воздуха октаэдр, воды икосаэдр.

Почему их пять? Доказательство того, что существует ровно пять правильных выпуклых многогранников, очень простое. Если мы рассмотрим развертку вершины такого многогранника.

Тетраэдр Радиус описанной сферы: Радиус вписанной сферы: Площадь поверхности: Объем тетраэдра: Модель тетраэдра можно сделать, пользуясь одной разверткой, на которой будут расположены все четыре треугольные грани. Чтобы изготовить модель, достаточно склеить боковые грани

Икосаэдр Р адиус описанной сферы: Радиус вписанной сферы: Площадь поверхности: Объем икосаэдра: Модели можно строить исходя из одного и того же начального расположения пяти равносторонних треугольников, как показано на рисунке.

Гексаэдр Радиус описанной сферы: Радиус вписанной сферы: Площадь поверхности куба: Объем куба:

Октаэдр Радиус описанной сферы: Радиус вписанной сферы: Площадь поверхности: Объем октаэдра: Модель этого многогранника можно изготовить из двух равных частей, одна из которых показана на рисунке.

Додекаэдр Радиус описанной сферы: Радиус вписанной сферы: Площадь поверхности: Объем додекаэдра: Модель этого многогранника можно изготовить, если воспользоваться разверткой, изображенной на рисунке, при последовательном соединении граней.

Полуправильные многогранники Наряду с правильными многогранниками существуют еще многогранники, у которых все многогранные углы равны, а грани – правильные многоугольники нескольких видов. Они не могут быть отнесены к правильным – их называют полуправильными многогранниками. Вернуться на главную

Антипризма Ушестиугольной анти призмы 12 вершин, 14 граней и 24 ребра, все ребра и все четырехгранные углы равны между собой. Используя для призм и анти призм все правильные многоугольники мы получим бесконечные серии полуправильных многогранников.

Полуправильные многогранники Усеченный тетраэдр. Он получается при сечении тетраэдра плоскостями. Гранями являются треугольники и шестиугольники.Усеченный тетраэдр. Он получается при сечении тетраэдра плоскостями. Гранями являются треугольники и шестиугольники. Усеченный октаэдр. Он получается при сечении правильного октаэдра плоскостями. Гранями являются квадраты и шестиугольники.Усеченный октаэдр. Он получается при сечении правильного октаэдра плоскостями. Гранями являются квадраты и шестиугольники. Усеченный гексаэдр. Этот многогранник представляет собой усеченный куб, гранями являются треугольники и восьмиугольники.Усеченный гексаэдр. Этот многогранник представляет собой усеченный куб, гранями являются треугольники и восьмиугольники.

Полуправильные многогранники Усеченный икосаэдр. Это усеченный вариант икосаэдра. Гранями являются пятиугольники и шестиугольники.Усеченный икосаэдр. Это усеченный вариант икосаэдра. Гранями являются пятиугольники и шестиугольники. Усеченный додекаэдр. Гранями являются треугольники и десятиугольники.Усеченный додекаэдр. Гранями являются треугольники и десятиугольники. Кубооктаэдр. Само название многогранника указывает на некоторую близость его к кубу и к октаэдру.Кубооктаэдр. Само название многогранника указывает на некоторую близость его к кубу и к октаэдру.

Полуправильные многогранники Икосододекаэдр. Подобно кубооктаэдру, являет собой квази правильный комбинированный многогранник. Его также можно рассматривать как общую часть соединения двух тел – икосаэдра и додекаэдра.Икосододекаэдр. Подобно кубооктаэдру, являет собой квази правильный комбинированный многогранник. Его также можно рассматривать как общую часть соединения двух тел – икосаэдра и додекаэдра. Ромбокубооктаэдр. Название многогранника и на этот раз объясняет его происхождение. Гранями являются треугольники и квадраты.Ромбокубооктаэдр. Название многогранника и на этот раз объясняет его происхождение. Гранями являются треугольники и квадраты. Ромбоусеченный икосододекаэдр. Этот многогранник часто называют также усеченным додекаэдром. Гранями являются квадраты, шестиугольники и десятиугольники.Ромбоусеченный икосододекаэдр. Этот многогранник часто называют также усеченным додекаэдром. Гранями являются квадраты, шестиугольники и десятиугольники.

Полуправильные многогранники Курносый куб. Этот многогранник можно вписать в куб таким образом, что плоскости шести квадратных его граней совпадут с плоскостями граней куба, причем эти квадратные грани курносого куба окажутся как бы слегка повернутыми по отношению к соответственным граням куба.Курносый куб. Этот многогранник можно вписать в куб таким образом, что плоскости шести квадратных его граней совпадут с плоскостями граней куба, причем эти квадратные грани курносого куба окажутся как бы слегка повернутыми по отношению к соответственным граням куба. Ромбоикосододекаэдр. Эта модель принадлежит к числу наиболее привлекательных среди всех других моделей архимедовых тел. Гранями являются треугольники, квадраты и пятиугольники.Ромбоикосододекаэдр. Эта модель принадлежит к числу наиболее привлекательных среди всех других моделей архимедовых тел. Гранями являются треугольники, квадраты и пятиугольники. Ромбоусеченный кубооктаэдр. Этот многогранник, известный также под названием усеченного кубооктаэдра, гранями имеет квадраты, шестиугольники и восьмиугольники.Ромбоусеченный кубооктаэдр. Этот многогранник, известный также под названием усеченного кубооктаэдра, гранями имеет квадраты, шестиугольники и восьмиугольники. Курносый додекаэдр – это последний из семейства выпуклых однородных многогранников. Гранями являются треугольники и пятиугольники.Курносый додекаэдр – это последний из семейства выпуклых однородных многогранников. Гранями являются треугольники и пятиугольники.

Это интересно Теория Кеплера Теория Кеплера Многогранники в искусстве Многогранники в искусстве Многогранники в природе Многогранники в природе Самосборные ДНК - нанокапсулы для доставки лекарств в организме Самосборные ДНК - нанокапсулы для доставки лекарств в организме Вернуться на главную

Теория Кеплера Кеплер Иоганн (Kepler I, г) – немецкий астроном. И.Кеплер предположил, что расстояния между орбитами планет можно получить на основании Платоновых тел, вложенных друг в друга. Полагают, что четырем геологическим эрам Земли соответствуют четыре силовых каркаса правильных Платоновских тел: Протозоа - тетраэдр (четыре плиты) Палеозою - гексаэдр (шесть плит) Мезозою - октаэдр (восемь плит) Кайнозою - додекаэдр (двенадцать плит).

Многогранники в искусстве Многогранники в искусстве Форма первоэлемента Земли - куб, Воздуха - октаэдр, Огня - тетраэдр, Воды - икосаэдр, а всему миру творец придал форму пятиугольного додекаэдра. О том, что Земля имеет форму шара, учили Пифагорейцы. По Пифагору, существует 5 телесных фигур: высшее божество само построило Вселенную на основании геометрической формы додекаэдра. (Сальвадор Дали. Тайная вечеря (1955)) Математика владеет не только истиной, но и высшей красотой - красотой отточенной и строгой возвышенно чистой и стремящейся к подлинному совершенству, которое свойственно лишь величайшим образцам искусства. Бертран Рассел

Морис Эшер. Рептилии(литография, 1943 г).

Надгробный памятник в кафедральном соборе Солсбери

Титульный лист книги Ж. Кузена «Книга о перспективе»

Многогранники в природе Правильные многогранники встречаются и в живой природе. Например, скелет одноклеточного организма феодарии (Circogonia icosahedra) по форме напоминает икосаэдр. Чем же вызвана такая природная геометризация феодарий? Тем, по-видимому, что из всех многогранников с тем же числом граней именно икосаэдр имеет наибольший объем при наименьшей площади поверхности. Это свойство помогает морскому организму преодолевать давление водной толщи. Интересно, что икосаэдр оказался в центре внимания биологов в их спорах относительно формы некоторых вирусов. Вирус не может быть совершенно круглым, как считалось раньше. Для того чтобы определить его форму, брали разные многогранники, направляли на них свет под теми же углами, что и поток атомов на вирус. Оказалось, что только один многогранник дает точно такую же тень – икосаэдр.

Самосборные ДНК - нанокапсулы для доставки лекарств в организме Одна из основных задач нанотехнологий заключается в том, чтобы перейти от производства наноматериалов для проектирования к изготовлению функциональных трехмерных структур на основе самостоятельной сборки. В качестве "строительного материала" для производства в нанотехнологиях часто используют молекулу ДНК. "Многогранники ДНК могут применяться как интеллектуальные системы доставки лекарственных средств, из-за богатой информации о структуре, которая может позволить целенаправленную доставку инкапсулированных образований, " говорит Ямуна Кришнан.

Кришнан является старшим научным сотрудником Национального центра по биологическим исследованиям в Бангалоре, Индия, где она возглавляет группу химической биологии. "Мы построили самый сложный ДНК многогранник, а именно – икосаэдр, с помощью уникального модуля, и продемонстрировали его функциональность путем герметизации наночастицы золота из раствора, " говорит Кришнан. В настоящее время, после демонстрации процессов сборки, Кришнан и её команда, ищут способ изготовления ещё более сложных ДНК многогранников. Основные задачи научно-исследовательской деятельности будут заключаться в определении подходящих кандидатов из лекарств, на капсулирование

Многогранники в природе Правильные многогранники – самые выгодные фигуры. И природа этим широко пользуется. Подтверждением тому служит форма некоторых кристаллов. Взять хотя бы поваренную соль (см. рис.). При производстве алюминия пользуются алюминиево- калиевыми квасцами (K[Al(SO4)2]·12H2O), монокристалл которых имеет форму правильного октаэдра. Получение серной кислоты, железа, особых сортов цемента не обходится без сернистого колчедана (FeS). Кристаллы этого химического вещества имеют форму додекаэдра (см.рис.). В разных химических реакциях применяется сурьменистый сернокислый натрий (Na5(SbO4(SO4)) – вещество, синтезированное учеными. Кристалл сурьменистого сернокислого натрия имеет форму тетраэдра. Последний правильный многогранник – икосаэдр передает форму кристаллов бора (B). В свое время бор использовался для создания полупроводников первого поколения. Итак, благодаря правильным многогранникам, открываются не только удивительные свойства геометрических фигур, но и пути познания природной гармонии.

Литература: oreva.htm oreva.htmhttp://method.voronezh.rcde.ru/info/Mathem/geom_stereo/model/NanglezGrig oreva.htm htm htm htm htm В начало