НОРЕНКО Л.М ЗОШ 2 М.СЛАВУТИЧ Н.Р. Текстові задачі в шкільному курсі математики Задачі на складання рівянь

У шкільній практиці основною формою розв'язування задач на заняттях з математики є колективний аналіз задачі з наступним докладним її розв'язанням. При цьому необхідно пам'ятати, що розв'язання однієї задачі кількома способами значно корисніше, ніж розв'язування одним способом кількох задач; При розв'язуванні текстових задач короткий запис умови у вигляді таблиць, малюнків, графіків, діаграм допомагає схематизувати матеріал, при цьому знаково- символічні записи мають велике орієнтовне значення, оскільки дають можливість одночасно бачити всі зв'язки між даними..

У шкільному курсі алгебри тема «Розвязування задач за допомогою рівнянь» є однією з найважливіших. Перш за все учні повинні вміти розв'язувати текстові задачі ариф­метичними способами, вчитель готує їх до використання букв у складанні рівнянь. Потім вони повинні навчитися розв'язувати деякі з вже відомих їм типів задач за допомогою рівнянь. При цьому краще почати з завдань «на частини», розв'язання яких мало змінюється при заміні «частин» на «ікси». Процес алгебраїчного розвязування задач (процес складання рівнянь) являє собою послідовне арифметичне розвязування задач з буквенними даними.

Отже, арифметичні розвязування підготовлюють учнів до алгебраїчних: Тобто для переходу до алгебраїчного способу розв'язання задач учні повинні вміти: розв'язувати текстові задачі, що вимагають використання залежностей між величинами (швидкість, час і відстань; ціна, кількість і вартість тощо); розв'язувати текстові задачі на дроби, відсотки, пропорційні величини, спільну роботу; розв'язувати задачі геометричного змісту; складати математичні моделі задач;

Розглянемо типові задачі,поступове введення яких готує учнів до свідомого розвязування текстових задач за допомогою рівнянь: До задач типу 1-2 пропонуємо учням складати числовий вираз : Задача 1.Купили 7 зошитів по 2 грн. і 2 ручки по 3 грн. Скільки заплатили за всі покупки? ( 7·2+2·3=20 грн.) Задача 2. Турист 2 год їхав на поїзді зі швидкістю 60 км / год і 3 год йшов пішки зі швидкістю 5 км / год. Яку відстань він подолав за весь час? (2·60+3·5=135 км)

До завдання 3-4 складіть буквенні вирази: Задача 3. Купили 10 зошитів по х грнг. і 3 ручки по 2 грн. Скільки заплатили за всю покупку? ( 10х+3·2=10х+6 ) Задача 4. Турист їхав х год на поїзді зі швидкістю 50 км / год і йшов пішки 2 год зі швидкістю 4 км / год. Яку відстань подолав турист за весь час? (50х+2·4=50х+8)

Розв'язуючи завдання 5-6, учні повинні навчитися позначати невідому величину через х і виражати через х інші величини у відповідності з умовою задачі: Задача 5.Сестра знайшла х грибів, а брат у 2 рази більше. Скільки грибів знайшов брат? Скільки грибів вони знайшли разом? (х+2х=3х) Задача 6. У класі х дівчаток, а хлопчиків на 4 менше, ніж дівчаток. Скільки учнів у класі? (х+х-4=2х-4)

Задача 8. За цукерки заплатили в 3 рази більше, або на 6 р. більше, ніж за печиво. Скільки заплатили за печиво? Для завдання на знаходження двох чисел за їх відношенням і різницею можна порадити учням коли відомі різниця двох величин, складати рівняння за схемою Б -М = Р, а не Б -Р = М або Б = М + Р, де Б - велика величина, М - менша, Р - різниця. У першому випадку невідомі будуть в одній частині рівняння, а саме рівняння- простішим.

Задача 9. У господарстві є кури і вівці. Скільки тих і інших, якщо у них разом 19 голів і 46 ніг? Нехай в господарстві було х овець, тоді курей було 19 - х. Число ніг у овець 4 х, а у курей 2(19 - х ). Складемо рівняння: 4х + 2 (19 - х ) = 46. Задача 10. До числа приписали праворуч нуль. Число збільшилося на 405. Знайдіть перше число. Приписування до числа нуля праворуч призводить до збільшення числа в 10 разів, тому, позначивши дане число через х, ми прийдем до рівняння 10 х - х = 405.

При розв'язанні наступних завдань потрібно деяку величину виразити через х двома способами і прирівняти отримані вирази для складання рівняння. Задача 11. (Старовинна задача) Летіли галки, сіли на палиці: по дві сядуть - одна палиця зайва, по одній сядуть - одна галка зайва. Скільки було галок, скільки палок? Нехай було х палиць. Тоді число галок можна підрахувати двома способами: 2 ( х - 1) або х + 1. Розв'язавши рівняння 2 ( х - 1) = х + 1, отримаємо відповідь на питання задачі: було 4 галки і 3 палиці.

Одна із стандартних ситуацій, яка зустрічається в задачах, це складання рівняння на порівнянні двох значень величини - запланованого і отриманого фактично. Задача 12.. Щоб виконати завдання в строк, токар повинен виготовляти по 24 деталі в день. Однак він щодня перевиконував норму на 15 деталей і вже за 6 днів до терміну виготовив 21 деталь понад план. Скільки деталей виготовив токар? Нехай токар повинен був виконати завдання за х днів, тоді все він повинен був зробити 24 х деталей. Фактично він виготовляв по = 39 деталей в день і за ( х - 6) днів виготовив 39 ( х - 6) деталей - це кількість деталей на 21 більше запланованого раніше. Складемо рівняння: 39 ( х - 6) - 24 х = 21,що має єдиний корінь 17. Токар виготовив = 408 деталей.

Учні, що відчувають труднощі при аналізі тексту за- дачі, зазвичай краще розуміють завдання, якщо для запису умови використовувати таблицю, як це показано при розв'язуванні наступного завдання. Задача 13.. Бригада робітників мала виготовити певну кількість деталей за 20 днів. Однак вона щодня виготовляючила на 70 деталей більше, ніж планувалося спочатку.Тому вже за 7 днів до терміну їй залишилося виготовити 140 деталей. Скільки деталей повинна була виготовити бригада? Нехай за планом бригада повинна була виготовляти по х деталей в день. Заповнимо таблицю значень трьох величин для двох ситуацій: «за планом» і «фактично».

Час, дні Продуктивнісь, дет/день Робота, Кількість деталей За планом 20х20х Фактично 13х+7013(х+70) Так як за 7 днів до терміну бригаді залишилося виготовити 140 деталей, то 20х на 140 більше, ніж 13 (х + 70). Складемо рівняння: 20 х- 13 (х+ 70) = 140, що має єдиний корінь 150. Бригада повинна виготовити = 3000 деталей.

Починаючи з завдання 14 складання рівняння проводиться кратним порівнянням величин, виражених через х Задача 14. У Васі було на 10 марок менше, ніж у Колі. Кожен хлопчик подарував Сашкові по 15 марок. У Васі залишилося марок в 2 рази менше, ніж у Колі. Скільки марок було у хлопчиків спочатку? Нехай у Васі було Задача 14 марок, тоді у Колі було х+ 10 марок. Після того як вони подарували Сашкові по 15 марок, у Васі стало х - 15, а у Колі х = х-5 марок. У Васі стало в 2 рази менше марок, ніж у Колі. Складемо рівняння:2 (х - 15) = х - 5, яке має єдиний корінь 25. У Васі було 25 марок, у Колі = 35 марок

в Задача 15. {Задача Е. Безу.) За контрактом працівникам прочитується 48 франків за кожний відпрацьований день, а за кожен неотра-лений день з них віднімається по 12 франків. Через 30 днів з'ясувалося, що працівникам нічого не належить. Скільки днів вони відпрацювали протягом цих 30 днів? Нехай працівники відпрацювали х днів, тоді вони не працювали (30 - х ) днів. Складемо рівняння: 48 х - 12 (30 - х ) = 0. Розв'язавши це рівняння, отримаємо х = 6, тобто вони відпрацювали 6 днів. Зауважимо, що ця задача ще простіше розв'язується арифметично. Якщо врахувати, що кількість невідпрацьованих днів у 48: 12 = 4 рази більша числа відпрацьованих днів, то залишиться знайти п'яту частину від 30 днів.

Застосування квадратних рівнянь

Розглянемо один з найбільш ранніх прикладів завдань «на числа» Задача 17. (Задача Діофанта, III в.) Знайти два числа, знаючи, що їх сума дорівнює 20, а добуток Якщо позначити перше число через х, то друге число є 20 – х. Тоді знайти числа можна, розв'язавши рівняння (20 - х ) = 96, яке можна переписати у вигляді квадратного рівняння х ²- 20 х + 96 = 0, Де шукані числа 12 і 8.

Застосування раціональних рівнянь

Тепер розглянемо задачу, яку традиційно розв'язують складанням рівняння з невідомим у знаменнику. Її зазвичай включають в екзаменаційні завдання за курс алгебри неповної середньої школи. Успішність розв'язання такого роду завдань невелика саме тому, що зворотну задачу на спільну роботу не розв'язують в 5-6-х класах.

При розвязуванні задач на суміші і сплави потрібно вміти міркувати і вміти розв'язувати задачі на дроби і відсотки, на складання рівнянь та їх систем. Задача 19. Скільки літрів води потрібно додати в 2 л водного розчину, що містить 60% кислоти, щоб отримати 20%-й розчин кислоти? Нехай потрібно додать х л води. Прирівняємо обсяги кислоти в первісному і в отриманому розчинах. складемо рівняння: 0,6·2 = 0,2 · (2 + х), отримаємо х = 4, тобто потрібно додати 4 л води.

Висновок Завдяки систематичному застосуванню навчаючих задач учні швидко оволодівають різноманітними прийомами розвязування задач, зокрема так званих нешаблонних задач. Кожний ланцюг навчаючих задач ознайомлює учнів з тим чи іншим підходом до розвязування, з тим чи іншим прийомом. Поступово змінюючи характер і зміст навчаючих задач, ми тим самим керуємо мисленням учнів, розвиваємо і тренуємо його.