Графики функций и их преобразования Цели: формирование восприятия единства математических моделей функций их графиков посредством линейных преобразований как элемента естественнонаучной картины мира; обобщение и применение знаний о различных элементарных функциях и общих закономерностях их преобразований с применением компьютерных технологий; мотивация учащихся на активный и творческий подход к изучению математики; воспитание коммуникативных навыков учащихся. Харитонова Валентина Ивановна Учитель математики МБОУ «Гимназия 4» г. Хабаровск

Графики функций и их преобразования Основополагающий вопрос: «Законность и порядок» Каждая функция индивидуальна, устроена по своему закону, любое изменение приводит к другой функции. Существуют родственные группы функций, и знание общих правил помогают правильно распознать функцию её поведение, хорошо ориентировать в мире функциональных зависимостей.

Зачем нужны законы? Вот живёшь ты, живёшь. В школу ходишь, на роликах катаешься. И кажется, что тебе никакие законы не нужны. А ведь на самом деле и ты, и твои друзья живут по правилам. Без правил ни по дорогам ездить, ни даже в игры играть нельзя. Потому что правила устанавливают порядок. Законы – это тоже правила. Только они устанавливают порядок не на дороге, а в стране. Законы определяют, сколько лет учиться в школе, когда проводить выборы, где строить дороги. И ещё много чего. Все до одного закона, наверное, не знает никто. Но есть среди них один, который ты можешь узнать уже сейчас: незнание закона не освобождает от ответственности. Это значит, что даже если человек нечаянно нарушил какой-то закон, он обязан отвечать за свой поступок.

Структура. Государство «Функция» Регион «Линейных»Линейных Регион «Степенных» Район «Параболических»Параболических Район «Гиперболических»Гиперболических Район «Иррациональных»Иррациональных Регион «Логарифмических»Логарифмических Регион «Показательных»Показательных

Экскурсия по регионам. Основополагающий вопрос: «Законность и порядок» Ресурсы государства – свойства функций; Архитектура, достопримечательности - графики основополагающих функций Законодательство - преобразования графиков функций

ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ Y=k x +b, где k, b-действительные числа Разработали ученики МОУ СОШ п.Циммермановка: Архарова Е., Брадюк А. руководитель: Харитонова В.И. 1 экскурсовод: Множество функций в алгебре есть Всех нам конечно не перечесть Мы основные вспомнить должны Их свойства и графики нами повторены И по возможности обобщены

1. ООФ : множество всех действительных чисел 2. Функция не является четной и нечетной 3. При k>0 функция возрастает, а при k<0 убывает на всей числовой прямой А теперь представим свойства Всего-то три и всё в них просто, Где, неравны нулю K, b Отложите в памяти себе! Любое действительное за х принято Область определения это Функция линейная ни чётна, ни нечётна Эту информацию вы уясните чётко! СВОЙСТВА ФУНКЦИИ y=kx + b ( k0, b0)

ВОЗРАСТАНИЕ И УБЫВАНИЕ ЛИНЕЙНОЙ ФУНКЦИИ Y=k x +b x y 0 0 y x Y=k x +b k<0 Y=k x +b k>0 При k>0 функция возрастает, а при k<0 убывает. При k положительном, стремить прямая ввысь, А при отрицательном k она мчится вниз Графиком функции является прямая При разном К, то вверх, то вниз взлетая Если K>0, стремиться график вниз А если К<0, то прямая мчится вниз

График линейной функции Y=k x +b при различных значениях параметров Y X 0 Y X 0 Y=KX Y=B Y=0 B=O K=O Графики функции разные Простые и своеобразные

Степенная с натуральным показателем функция Разработали ученики МОУ СОШ п.Циммермановка: Яворовский А., Щербина Т. руководитель: Харитонова В.И.

* * * 2 экскурсовод: Области определения… Сложности в вычислениях… Чертим мы параболу родную. И красивую, и ровную такую. На представлении ее вы посмотрите И хорошенечко ее вы оцените.

Область определения – множество всех действительных чисел; Область значений – множество всех неотрицательных чисел; Функция является четной, т.е. f (-x) = f (x); Нули функции:: у = 0, при х = 0; Функция убывает, при х є (-; 0]; Функция возрастает, при х є [0; +); Свойства степенной функции y=x² с натуральным четным показателем (p = 2n).

График функции y=x² с натуральным четным показателем (p = 2n). y x 1 1 y = x² -1 1

Свойства степенной функции y=x с натуральным нечетным показателем (п= 2 к - 1). Область определения – множество всех действительных чисел; Область значений – множество всех действительных чисел; Функция является нечетной, т.е. f (-x) = - f (x); Нули функции: у = 0, при х = 0; Функция возрастает на всей области определения.

График функции y=x с натуральным нечетным показателем (п= 2 к - 1). y x 1 -1 Пример y = x³ 1 х

Степенная функция. Степенная функция имеет вид: y=x, где n – заданное действительное число, если n<0, то графиком функции является гипербола Разработали ученики МОУ СОШ п.Циммермановка: Слюсарева Н., Стригунова Т. руководитель: Харитонова В.И. 3 экскурсовод: Гипербола- это отдельная тема. Она изгибается, дальше идёт, Но никогда координатные оси Гипербола не пересечёт

«Гиперболическая» функция. «Гиперболической» функцией является функция вида: y=x, где : n=-2p, где p – натуральное число. n=-2p, где p – натуральное число. n=-(2p-1), где p – натуральное число. n=-(2p-1), где p – натуральное число.

y=x, показатель n=-2p, где p – натуральное число. В этом случае степенная функция обладает следующими свойствами: ООФ: x0 ООФ: x0 Множество значений функции: y>0 Множество значений функции: y>0 Функция четная, поэтому график симметричен относительно оси Oy. Функция четная, поэтому график симметричен относительно оси Oy. Функция возрастает при x 0. Функция возрастает при x 0. 0

y=x, показатель n=-(2 p -1), где p – натуральное число. В этом случае степенная функция обладает следующими свойствами: ООФ: x0 ООФ: x0 Множество значений функции: y0 Множество значений функции: y0 Функция нечетная, поэтому график симметричен относительно начала координат. Функция нечетная, поэтому график симметричен относительно начала координат. Функция убывает на промежутках x 0. Функция убывает на промежутках x 0.

3 экскурсовод Гипербола подобна волне, которая бесконечно убегает в даль. Гипербола подобна волне, которая бесконечно убегает в даль. Гипербола обладает мистическим свойством – она никогда не пересекает оси координат, но и не параллельна им. Гипербола обладает мистическим свойством – она никогда не пересекает оси координат, но и не параллельна им. Гипербола подобна Вселенной, бесконечно убегающей в никуда, раскинувшейся в просторах координатной плоскости. Гипербола подобна Вселенной, бесконечно убегающей в никуда, раскинувшейся в просторах координатной плоскости. Как сестры-близнецы две части графика похожи друг на друга, расположены симметрично красиво и эстетично.

Степенная функция у=xª Где a – положительное, действительное число. Разработали ученики МОУ СОШ п.Циммермановка: Данилюк Д, Двенадцатых Р. руководитель: Харитонова В.И.

y=xª, при 0<a<1

y=xª, где a>1

y=xª Свойства: - область определения – неотрицательные числа x0; - область определения – неотрицательные числа x0; -множество значений – неотрицательные числа y0; -множество значений – неотрицательные числа y0; -функция является возрастающей на промежутке x0. -функция является возрастающей на промежутке x0.

Показательная функция График показательной функции, где а >0 и а 1 принимает различный вид в зависимости от значения основания а. Разработали ученики МОУ СОШ п.Циммермановка: Яворовский А., Худякова М. руководитель: Харитонова В.И.

Показательной функцией называется функция вида а- фиксированное число, а>0, a1 Свойства функции: Область определения функции-множество R действительных чисел Множество значений функции – множество всех положительных чисел

Монотонность функции Функция возрастает на множестве всех действительных чисел, если а>1(рис.а) Убывает на множестве всех действительных чисел, если 0<a<1(рис.б)

Логарифмическая функция. у= Log a x, где а- заданное число, а>0, а 1.

Свойства 1. Д(у): х є (0;+) 2. Е(у): у є R 3. у= Log a x- возрастающая на промежутке х>0, если а>1, и убывающая, если 0<a<1.

у= Log a x a>1

у= Log a x 0<a<1

Закономерности, которым подчиняются все функции. Разработали ученики МОУ СОШ п.Циммермановка: Гусев С., Морозов Л. руководитель: Харитонова В.И.

y = f(kx) Сжатие в k раз вдоль оси ОХ, если k>1 (растяжение, если 0<k<1)

y=f(x+a) Сдвиг на a единиц влево при a>0 (вправо при a<0).

y=f(x)+a Сдвиг на a единиц вверх при a>0 (вниз при a<0).

y=kf(x) Сжатие в k раз вдоль оси Oy, если 0 1).

y=-f(x) Зеркальная инверсия относительно оси Ox.

y=f(-x) Зеркальная инверсия относительно оси ОУ.

y=|f (x)| Часть графика с положительными ординатами остается на месте, а с отрицательными – зеркально отражается относительно оси ОХ

y=f(|x|) Часть графика с положительными абсциссами остаётся на месте, а с отрицательными- зеркально отображается относительно оси Oy.

Спасибо за урок! Итог: Соблюдение правил и законов приводит к правильной организации, гармоничности, целостности картины мира. Неосознанные действия нарушают баланс, показывают хрупкость этого мира. Презентацию подготовили ученики МОУ СОШ «п. Циммермановка», Ульчского района, Хабаровского края: Архарова Е., Брадюк А., Яворовский А., Щербина Т., Слюсарева Н., Стригунова Т., Данилюк Д., Двенадцатых Р., Неклюдова Т.,Худякова М., Гусев С., Морозов Л. Под руководством учителя математики Харитоновой В. И.