Преобразование графиков функций Преобразование графиков функций Тригонометрическая функция Тригонометрическая функция Показательная функция Показательная. - презентация

1 Преобразование графиков функций Преобразование графиков функций Тригонометрическая функция Тригонометрическая функция Показательная функция Показательная функция Логарифмическая функция Логарифмическая функция выход Функция, её свойства Функция, её свойства МБ ОУ Ризоватовская СШ

2 Функция, её свойства

3 Пусть даны две переменные х и у : если каждому значению х соответствует единственное значение у, то такая зависимость называется функцией и обозначается y = f(x) х – независимая переменная (аргумент) у – зависимая переменная (функция)

4 Функция может быть задана 3 способами: аналитически (формулой) табличнох у 1/81/41/21248 графически х у 0 х у 0 х у 0

5 Графиком функции называется множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют условию задания функции х у 0 у = f(x)

6 Область определения функции D(y) – все допустимые значения независимой переменной (аргумента) Область значения функции E(y) – все допустимые значения зависимой переменной (функции) х у 0 у = f(x) D(y)D(y)D(y)D(y) E(y)E(y)E(y)E(y)

7 Если большему значению аргумента соответствует большее значение функции, то функция называется возрастающей: b > a, f(b) > f(a) Если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, то функция называется убывающей: a f(b) х у 0 a b f(a) f(b) х у 0 a b f(a) f(b)

8 Укажите, какие из представленных функций возрастают, а какие убывают? ЗАДАНИЕ х у 0 1 х у 0 2 х у 0 3 х у 0 4 возрастающая убывающая возрастающая

9 Укажите: 1) D(у) и Е(у); 2) промежутки возрастания и убывания; 3) четность функции; 4) нули функции (если есть). ЗАДАНИЕ 1) D(y) = [-6;5]; Е(y) = [-3; 4]; 2) f(x) на [-3; 2]; f(x) на [-6; -3] и [2; 5]; 3) ни четная, ни нечетная; 4) у = 0 при х = -5; 0; 4. х у х у ) D(y) = R; Е(y) = [-3; 3]; 2) f(x) на [-1; 1]; f(x) на (-; -1] и [1; +); 3) функция нечетная; 4) у = 0 при х = 0.

10 Область определения Область значений Четность Возрастание Нечетность График Нули функции Убывание

11 Преобразование графиков функций

12 ТЕОРЕМА 1 График функции у = f(х-а) получается из графика функции у = f(х) путем сдвига последнего на а единиц: х у 0 вправо, если а > 0; влево, если а < 0. а а y = f(х)

13 ТЕОРЕМА 2 График функции у = f(х)+а получается из графика функции у = f(х) путем сдвига последнего на а единиц: х у 0 вверх, если а > 0; вниз, если а < 0. а а y = f(х)

14 ТЕОРЕМА 3 График функции у = f(х-a)+b получается на основе теорем 1 и 2 х у 0 y = f(х) y = f(х)+b y = f(х-a)+b

15 ТЕОРЕМА 4 График функции у = f(ах)+а получается из графика функции у = f(х) путем : х у 0 сжатия относительно оси абсцисс, если а > 1; растяжения относительно оси абсцисс, если 0 < а < 1. y = sin x y = sin ½xy = sin 2x

16 ТЕОРЕМА 5 График функции у = Af(х) получается из графика функции у = f(х) путем: х у 0 растяжения вдоль оси ординат, если А > 0; сжатия вдоль оси ординат, если 0 < A < 1. y = f(х) y = 2f(х) y = ½ f(х)

17 ТЕОРЕМА 6 График функции у = - f(х) получается из графика функции у = f(х) путем симметричного отображения последнего относительно оси абсцисс. х у 0 y = f(х) y = - f(х)

18 х у 0 y = f(х) ТЕОРЕМА 7 График функции у = f(-х) получается из графика функции у = f(х) путем симметричного отображения последнего относительно оси ординат. y = f(-х)

19 х у 0 y = f(х) ТЕОРЕМА 8 График функции у = |f(х)| получается из графика функции у = f(х) следующим образом: та часть графика, которая лежит над осью абсцисс, остается без изменения, а та часть графика, которая лежит под осью абсцисс, отображается симметрично относительно оси абсцисс y = |f(х)|

20 ТЕОРЕМА 9 График функции у = f(|х|) получается из графика функции у = f(х) следующим образом: та часть графика, которая находится справа от оси ординат остается без изменения, а та часть графика функции, которая находится слева от оси ординат, отбрасывается. х у 0 y = f(х) y = f(|х|)

21 ТЕОРЕМА 10 График функции у = |f(|х|)| получается из графика функции у = f(х) на основании теорем 8 и 9. х у 0 y = f(х) y = |f(х)| y = |f(|х|)|

22 Показательнаяфункция

23 Функция вида у = а x (a>0) называется показательной. Показательная функция бывает двух видов в зависимости от основания. Пусть а > 1 а = 2, у = 2 х 1) D(у) = (- ; +); 2) Е(у) = (0; +); 4) Функция возрастает на D(у); 5) При х = 0, у = 1 – особая точка! 6) При у = 0, х – не существует, следователь- но график функции не пересекает ось Ох 7) х у 1/81/41/ ), следовательно функция не обладает свойством четности; х у у = 2 х

24 Функция вида у = а x (a>0) называется показательной. Показательная функция бывает двух видов в зависимости от основания. Пусть 0 < а < 1 1) D(у) = (- ; +); 2) Е(у) = (0; +); 4) Функция убывает на D(у); 5) При х = 0, у = 1 – особая точка! 6) При у = 0, х – не существует, следователь- но график функции не пересекает ось Ох 7) х у 84211/21/41/8 3), следовательно функция не обладает свойством четности; х у

25 a > 1 х х х в общем случае 0 < a < 1

26 Логарифмическаяфункция

27 Функция вида у = log a x (a>0, a1) называется логарифмической. Логарифмическая функция бывает двух видов в зависимости от основания. Пусть а > 1. а = 2, у = log 2 х 1) D(у) = (0; +); 2) Е(у) = (-; +); 3) log 2 (-х) не существует, следовательно функция не обладает свойством четности; 4) Функция возрастает на D(у); 5) При х = 0, у - не существует, следователь- но график функции не пересекает ось Оу ; 6) При у = 0, х = 1 – особая точка! 7) х 1/81/41/21248 у х у у = log 2 х

28 Функция вида у = log a x (a>0, a1) называется логарифмической. Логарифмическая функция бывает двух видов в зависимости от основания. Пусть 0 < а < 1 1) D(у) = (0; +); 2) Е(у) = (-; +); 4) Функция убывает на D(у); 5) При х = 0, у - не существует, следователь- но график функции не пересекает ось Оу ; 6) При у = 0, х = 1 – особая точка! 7) х 1/81/41/21248 у х у ) не существует, следовательно функция не обладает свойством четности;

29 a > 1 в общем случае 0 < a < 1 х y х y х y

30 Тригонометрическиефункции

31 y = sin x х у π2π2π3π3π -π-π 1 ку 00 1 ку π0 1) D(у) = R; 2) E(у) = [-1; 1], т.е. синус – ограниченная функция; 3) sin x = - sin x, т.е. синус – нечетная функция; 4) у = sin x – периодическая функция, T = 2π ; 5) у = 0 при x = πn, n Z ; 6) у = sin x – непрерывная функция; 7) Промежутки возрастания: ; 8) Промежутки убывания: ; 9) у min = -1 при ; 10) у max = 1 при.

32 y = cos x х у π2π2π3π3π -π-π 1 ку 01 0 ку π 0 1) D(у) = R; 2) E(у) = [-1; 1], т.е. косинус – ограниченная функция; 3) cos x = cos(-x), т.е. косинус – четная функция; 4) у = cos x – периодическая функция, T = 2π ; 5) у = 0 при ; 6) у = cos x – непрерывная функция; 7) Промежутки убывания: ; 8) Промежутки возрастания: ; 9) у min = -1 при ; 10) у max = 1 при.

33 y = tg x х 0 у ) E(у) = [-1; 1], т.е. тангенс – неограниченная функция; 3) tg (-x) = - tg x, т.е. тангенс – нечетная функция; 4) у = tg x – периодическая функция, T = π ; 6) у = tg x – непрерывная функция на D(y) ; 8) Асимптоты функции: х у π 1 -π-π 1) D(у) = R, кроме ; 5) у = 0 при x = πn, ; 7) Промежутки возрастания:

34 х у π 1 -π-π 0 y = сtg x х 0 у ) E(у) = [-1; 1], т.е. котангенс – неограниченная функция; 3) сtg (-x) = - tg x, т.е.котангенс – нечетная функция; 4) у = сtg x – периодическая функция, T = π ; 6) у = tg x – непрерывная функция на D(y) ; 8) Асимптоты функции: 1) D(у) = R, кроме ; 5) у = 0 при ; 7) Промежутки убывания: