Тригонометрические функции, их свойства и графики. Периодичность тригонометрических функций. Понятие обратной функции, ее свойства. - презентация

1 Тригонометрические функции, их свойства и графики. Периодичность тригонометрических функций. Понятие обратной функции, ее свойства.

2 Функция y = sin x, ее свойства и график

3 1. D(sin) = ( - ; + ) 2. Функция у = sin x нечетная Функция y = f(x) называется нечетной, если ее область определения симметрична относительно 0 и для любого значения аргумента х из области определения выполняется равенство f( - x ) = - f( x ) График нечетной функции симметричен относительно начала координат

4 3. Функция возрастает на любом отрезке вида и убывает на любом отрезке вида

5 4. Функция y = sin x периодическая. Основной период равен 2π Определение. Говорят, что функция у = f (x) имеет период Т, если для любого х D(f) числа х + Т и х – Т также принадлежат D(f) и при этом выполняется равенство f(x – T) = f( x) = f(x + T) Определение. Функцию, имеющую отличный от нуля период Т, называют периодической. Если функция имеет период Т, то любое число кратное Т (т.е. число вида кТ, к Z) также является ее периодом. Наименьший положительный период называют основным периодом

6 5. Функция ограничена снизу и сверху Функция y = f(x) называется ограниченной снизу, если существует число m, такое, что f(x) m для всех значений аргумента х из области определения функции Функция y = f(x) называется ограниченной сверху, если существует число М, такое, что f(x) М для всех значений аргумента х из области определения функции Если функция ограничена и сверху, и снизу. То ее называют ограниченной

7 6. Наименьшее значение достигается при Наибольшее значение достигается при

8

9

10

11 7. Функция y = sin x - непрерывная функция 8. Область значений функции y = sin x: Е(sin)=[-1; 1] Область значений – множество всех значений переменной y

12 Функция y = cos x, ее свойства и график

13

14

15 1. D(cos) = ( - ; + ) 2. Функция у = cos x четная Функция y = f(x) называется четной, если ее область определения симметрична относительно 0 и для любого значения аргумента х из области определения выполняется равенство f( - x ) = f( x ) График четной функции симметричен относительно оси Оу

16 3. Функция возрастает на любом отрезке вида и убывает на любом отрезке вида 4. Функция периодическая. Основной период равен 2π.

17 5. Функция ограничена снизу и сверху 6. Наименьшее значение достигается при Наибольшее значение достигается при

18 6. Функция y = cos x - непрерывная функция 7. Область значений функции y = cos x: Е(cos)=[-1; 1]

19 Функции y = tg x, y = ctg x, их свойства и графики

20 1. D(tg): 2. Функция у = tg x нечетная. График симметричен относительно начала координат Свойства функции y = tg x 3. Функция у = tg x периодическая. Основной период равен π

21

22

23 4. Функция возрастает на любом интервале вида 5. Функция y = tg x не ограничена ни снизу, ни сверху 6. Функция y = tg x не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значения

24 7. Функция y = tg x – непрерывна на любом интервале вида 8. Область значений функции y = tg x: Е(tg) = (-; +) Прямые являются вертикальными асимптотами

25 1. D(ctg): 2. Функция у = ctg x нечетная. Свойства функции y = ctg x 3. Функция у = ctg x периодическая. Основной период равен π

26

27

28 4. Функция убывает на любом интервале вида 5. Функция y = сtg x не ограничена ни снизу, ни сверху 6. Функция y = сtg x не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значения

29 7. Функция y = сtg x – непрерывна на любом интервале вида 8. Область значений функции y = сtg x: Е(сtg) = (-; +) Прямые являются вертикальными асимптотами

30 Определение. Функцию у = f (x) называют обратимой на множестве Х, если любое свое значение она принимает только в одной точке множества Х (т.е. разным значениям аргумента соответствуют разные значения функции) Теорема. Если функция y = f (x) монотонна на множестве Х, то она обратима на Х. Определение. Пусть обратимая функция y = f (x) определена на множестве Х и Е(f) = Y. Поставим в соответствие каждому у Y то единственное значение х, при котором f( x ) = y. Тогда получим Функцию, которая определена на Y, а Х – область значений функции. Эту функцию называют обратной к функции y = f (х ) и обозначают y = f -1 (x). Теорема. Если функция = f(x) возрастает (убывает) на множестве Х, а Y – область значений функции, то обратная функция возрастает (убывает ) на Y.