1 Экономическая математика ФГБОУ ВПО «Челябинский государственный университет» Институт экономики отраслей, бизнеса и администрирования Кафедра экономики отраслей и рынков Курс лекций для дистанционного обучения Автор: канд.экон.наук Бирюкова Е.А. Челябинск, 2011

2 Список литературы 1. Бочаров П.П., Касимов Ю.Ф. Финансовая математика: Учебник. – М.: Гардарики, – 624 с. 2. Касимова О.Ю. Введение в финансовую математику (анализ кредитных и инвестиционных операций). – М.: «Анкил», – 144 с. 3. Ковалев В.В., Уланов В.А. Курс финансовых вычислений. – М.: Финансы и статистика, – 328 с. 4. Малыхин В.И. Финансовая математика: Учебное пособие для вузов. – М.: ЮНИТИ – ДАНА, – 247 с. 5. Четыркин Е.М. Финансовая математика: Учеб. – М.: Дело, – 400 с. 6. Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические методы в экономике 7. Кремер Н.Ш., Путко Б.А. Исследование операций в экономике. Учебное пособие. – М.: ЮНИТИ, Экономико-математические методы и модели: Учеб. пособие / Под общ. ред. А.Л. Кузнецова. – Минск: БГЭУ, 2004.

3 Список литературы …………….

4 1 часть

5 Предмет экономической математики – количественный финансовый анализ экономических явлений и процессов с целью их оптимизации. Задачи финансовой математики Измерение конечных финансовых результатов операций Определение временной стоимости денег Измерение зависимости результатов операций от значения параметров, включая анализ чувствительности Определение критических значений параметров Разработка плана выполнения финансовых операций План погашения кредита, план формирования пенсионного фонда

6 ПРАКТИЧЕСКОЕПРИМЕНЕНИЕПРАКТИЧЕСКОЕПРИМЕНЕНИЕ Банк Биржа Предприятие Страховые компании Депозитно-кредитные расчеты Финансовые операции Лизинг Инвестиционные проекты Пенсионное страхование Медицинское страхование

7 Основные экономические показатели

8 Специальные права заимствования (Special Drawing Rights, SDR, SDRs) искусственное резервное и платёжное средство, эмитируемое МВФ. Имеет только безналичную форму в виде записей на банковских счетах, банкноты не выпускались. Международные резервы Российской Федерации январь июнь 2011 (млн. долл. США) Ежемесячные значения на начало отчетной даты Дата Международные резервы в том числе: валютные резервы в том числе: монетарное золото иностранная валюта счет в СДР резервная позиция в МВФ

9 Ставка рефинансирования Центрального банка Российской Федерации Ставка рефинансирования Центрального банка Российской Федерации Сводная статистическая информация по крупнейшим банкам по состоянию на 1 января 2011 года п/п Наименование банка Город 1АКБ "Абсолют Банк" (ЗАО)г.Москва 2ОАО "АК БАРС" БАНКРеспублика Татарстан 3ОАО "АЛЬФА-БАНК"г.Москва 4ОАО "Банк ВТБ Северо- Запад" г.Санкт-Петербург 5ОАО "Банк Москвы"г.Москва 6ОАО "Банк "Санкт- Петербург" г.Санкт-Петербург 7ОАО "БИНБАНК"г.Москва 8ЗАО "БСЖВ"г.Москва 9Банк "Возрождение" (ОАО)г.Москва 10ОАО Банк ВТБг.Санкт-Петербург 11ВТБ 24 (ЗАО)г.Москва 12ГПБ (ОАО)г.Москва 13АКБ "МБРР" (ОАО)г.Москва 14ОАО "МДМ-Банк"Новосибирская область 15"НОМОС-БАНК" (ОАО)г.Москва

10 Сводная статистическая информация по крупнейшим банкам по состоянию на 1 января 2011 года 16ОАО "Нордеа Банк"г.Москва 17ОАО Банк "Петрокоммерц"г.Москва 18ОАО "Промсвязьбанк"г.Москва 19ЗАО "Райффайзенбанк"г.Москва 20ОАО АКБ "РОСБАНК"г.Москва 21ОАО "Россельхозбанк"г.Москва 22ОАО "Русь-Банк"г.Москва 23Сбербанк России ОАОг.Москва 24ОАО АКБ "Связь-Банк"г.Москва 25ЗАО КБ "Ситибанк"г.Москва 26ОАО "Транс КредитБанк"г.Москва 27НБ "ТРАСТ" (ОАО)г.Москва 28ОАО "УРАЛСИБ"г.Москва 29КБ "ЮНИАСТРУМ БАНК" (ООО) г.Москва 30ЗАО Юни Кредит Банкг.Москва

11 В качестве меры временной стоимости денег используется ставка процента. Под процентом (interest) (процентные деньги) понимают доход, получаемый владельцем денег от предоставления их в долг в любой форме. Процентная ставка (i) – это доля базовой суммы, подлежащая к уплате в виде процентов за определенный период, который называется периодом начисления. Процентные ставки Наращение (определение будущей стоимости настоящих сумм) (S- сумма наращения) Наращение (определение будущей стоимости настоящих сумм) (S- сумма наращения) Дисконтирование (определение настоящей стоимости будущих сумм) (P-современная величина) Дисконтирование (определение настоящей стоимости будущих сумм) (P-современная величина) Базовые операции

12 Вре-менная стои-мость денег Оценка временной стоимости денег для выдавшего деньги Оценка временной стоимости денег для получателя денег настоящее t будущее Прошлое Оценка временной стоимости денег 0 Принцип неравноценности денег, относящихся к разным моментам времени (time-value of money)

13 В зависимости от принципа расчета процентных денег В зависимости от возможности изменения В зависимости от периода В зависимости от экономичес-кой интерпрета-ции Ставки наращивания Декурсивные проценты Дисконтные (учетные) ставки Рекурсивные проценты Фиксированные Плавающие Дискретные Непрерывные Номинальные Эффективные Виды процентных ставок

14 % % Ставка процента и ставка дисконта III этап: возвращение II этап: использование I этап: выдача Ставка дисконта Ставка процента

15 Формы записи ставок Десятичная дробь i = 0,02 Проценты i = 2% Обыкновенная дробь i = 1/50 Обыкновенная дробь i = 1/50 Форма записи и обозначения при проведении финансовых расчетов Обозначения Смысл Iпроценты за весь срок Pначальная сумма Sнаращенная сумма Iставка процента nчисло лет наращивания суммы mчисло периодов наращивания суммы внутри года dдисконтная (учетная) ставка

16 Наращение и дисконтирование по простым процентам Наращенная сумма - первоначальная сумма, основная сумма «долга» с начисленными процентами к концу срока начисления. S = Р + I = Р + Pni = Р(1 + ni), где (1 + ni) – коэффициент наращения, который показывает во сколько раз наращенная сумма больше первоначальной. ПРИМЕР Определим проценты и сумму накопленного долга, если ссуда равна 700 тыс.руб., срок 4 года, проценты простые по ставке 20% годовых I = 700 х 4 х 0,2 = 560 тыс. руб.; S = = 1260 тыс. руб. Пусть ставка увеличивается в два раза. Сумма процентов при этом, естественно, удвоится. Наращенная сумма увеличится в (1 + 2 х 4 х 0,2) / (1 + 4 х 0,2) = 1,444 раза.

17 Простые проценты Расчет простых процентов для краткосрочных ссуд (меньше года ) Метод расчета дней в году Метод расчета дней ссуды Точный (365; 366) Приближенный (360 = 12 * 30) Точный (фактическое количество дней,) РФ, США, Великобритания 365/365; АСТ/АСТ Франция, Бельгия, Швейцария 365/360; АСТ/360 Приближенный (полный месяц – 30 дней, неполный месяц – по факту) - Германия, Швеция, Дания 360/360 Срок операции необязательно равен целому числу лет. Выразим срок n в виде дроби n=t/K, где t число дней ссуды, К число дней в году, или временная база начисления процентов (360, 365, 366).

18 Простые проценты t Выдача кредита Погашение кредита Точное число дней кредитования: t точно = =37. Приближенной количество дней кредитования: t проб = =36. Точная временная база 2011 года – 365. Приближенная временная база 2011 года – 360.

19 ПРИМЕР Ссуда в размере 1 млн руб. выдана до включительно под 18% годовых. Какую сумму должен заплатить должник в конце срока при начислении простых процентов? При решении применим все три метода. Определим число дней ссуды: точноое 258, проближенное Точные проценты с точноым числом дней ссуды (365/365): S = ( /365*0,18) = руб. 2. Обыкновенные проценты с точноым числом дней ссуды (365/360): S = ( /360*0,18) = руб. 3. Обыкновенные проценты с проближенным числом дней ссуды (360/360): S = ( /360*0,18) = руб. Простые проценты

20 Переменные простые процентные ставки где n t – это продолжительность периода с постоянной ставкой i t. ПРИМЕР Контракт предусматривает следующий порядок начисления процентов: первый год 16%, в каждом последующем полугодии ставка повышается на 1%. Необходимо определить множитель наращения за 2,5 года. Находим = х 0,16 + 0,5 х 0,17 + 0,5 х 0,18 + 0,5 х 0,19 = 1,43.

21 Дисконтирование по простой процентной ставке Дисконтирование – это обратная наращению операция, которая позволяет по заданной сумме S, которую следует уплатить через некоторое время n, определить сумму полученной ссуды, современную величину, базу начисления процентов Р. Дисконтирование Математическое дисконтирование Банковский (коммерческий) учет

22 Математическое дисконтирование по простой процентной ставке P = S / (1+ni) 1 / (1+ni) - дисконтный или дисконтирующий множитель, который показывает, какую долю составляет первоначальная величина долга в окончательной его сумме. ПРИМЕР Через 180 дней после подписания договора должник уплатит 310 тыс. руб. Кредит выдан под 16% годовых. Какова первоначальная сумма долга при условии, что временная база равна 365 дням?

23 Банковский (коммерческий) учет долговых обязательств ВЕКСЕЛЬ Простой вексель A B Переводной вексель (тратта) A B С Векселедательвекселедержатель фактический плательщик

24 Банковский (коммерческий) учет долговых обязательств 0 t Дата выдачи обязательства Дата погашения обязательства Дата учета (досрочного погашения) обязательства n Сумма учета: P = S(1-nd) где d – учетная, дисконтная ставка, n - срок в годах между датой учета и датой погашения векселя. P S

25 Банковский (коммерческий) учет долговых обязательств ПРИМЕР Тратта (переводной вексель) выдан на сумму 1 млн руб. с уплатой Владелец векселя учел его в банке по учетной ставке 20% (АСТ/360). Общий срок операции равен 120 дней. Оставшийся до конца срока период равен 55 дням. Определить полученную при учете сумму. Пусть на всю сумму долга теперь начисляются проценты по ставке простых процентов i= 20,5% годовых. Р" = Р(1 + ni)(1 - n'd), где n общий срок обязательства, n' срок от момента учета до погашения. Р" = 1( /360* 0,205)(1 – 55/360* 0,2) = 1, 03 тыс. руб. P= 1(1-55/360*0,2) = 0,969 млн.руб. D = S- P = 31 тыс.руб

26 Ставка рефинансирования Центрального банка Российской Федерации Период действия С %8%8 3 мая 2011 г. – 24 июля 2010 г. – 8,25 7,75 28 декабря 2009 г. – 23 февраля 2010 г. 8,75 25 ноября 2009 г. – 27 декабря 2009 г октября 2009 г. – 24 ноября 2009 г. 9,5 30 сентября 2009 г. – 29 октября 2009 г сентября 2009 г. – 29 сентября 2009 г. 10,5 10 августа 2009 г. – 14 сентября 2009 г. 10,75 13 июля 2009 г. – 9 августа 2009 г июня 2009 г. – 12 июля 2009 г. 11,5 14 мая 2009 г. – 4 июня 2009 г апреля 2009 г. – 13 мая 2009 г. 12,5 1 декабря 2008 г. – 23 апреля 2009 г ноября 2008 г. – 30 ноября 2008 г июля 2008 г. – 11 ноября 2008 г июня 2008 г. – 13 июля 2008 г. 10,75 29 апреля 2008 г. – 9 июня 2008 г. 10,5 4 февраля 2008 г. – 28 апреля 2008 г. 10,25 19 июня 2007 г. – 3 февраля 2008 г января 2007 г. – 18 июня 2007 г. 10,5 23 октября 2006 г. – 28 января 2007 г июня 2006 г. – 22 октября 2006 г. 11,5 26 декабря 2005 г. – 25 июня 2006 г. 12

27 Наращение по учетной ставке S = P / (1-nd) Срок финансовой операции и величина процентной ставки Срок в годах: Срок в днях: Процентные ставки:

28 Срок финансовой операции и величина процентной ставки ПРИМЕР В контракте предусматривается погашение обязательства в сумме 110 тыс. руб. через 120 дней. Первоначальная сумма долга 90 тыс. руб. (АСТ/360). Необходимо определить доходность ссудной операции для кредитора в виде ставки процента и учетной ставки. ПРИМЕР Какова должна быть продолжительность ссуды в днях для того, чтобы долг, равный 100 тыс. руб., вырос до 120 тыс. руб. при условии, что начисляются простые проценты по ставке 25% годовых (ACT/ACT)?

29 Сложные проценты СРАВНЕНИЕ СХЕМ СЛОЖНЫХ И ПРОСТЫХ ПРОЦЕНТОВ 1. ПРОСТЫЕ ПРОЦЕНТЫ ;10 100;10;10 Пусть проценты начисляются на сумму 100 у.е. в течение 2 лет по ставке 10% годовых. 2. СЛОЖНЫЕ ПРОЦЕНТЫ ;10 100;10;11 Сложные проценты возникают в результате операции капитализации базы по их начислению.

30 1 n S Простые проценты Сложные проценты Сравнение схем простых и сложных процентов Наращение по сложным процентам

31 Наращение по сложным процентам Проценты за весь срок: Часть процентных денег, которая получена за счет начисления процентов на проценты: Множитель наращения: ПРИМЕР Какой величины достигнет долг, равный 1 млн руб.,через 5 лет при росте по сложной ставке 15,5% годовых? S = ( ) = ,22 руб

32 Наращение по сложным процентам Переменные сложные процентные ставки S = P(1+i 1 ) (1+i 2 )…(1+i k ), где i 1, i 2, …i k – последовательные значения ставок; n 1, n 2, …, n k – периоды, в течение которых «работают» соответствующие ставки. ПРИМЕР Срок ссуды 5 лет, договорная базовая процентная ставка 12% годовых плюс маржа 0,5% в первые два года и 0,75% в оставшиеся годы. Определить множитель наращения. q = (1 + 0,125) ( ) = 1,81407 t0 12,5%12,75% 2 г.5 г.

33 Начисление процентов при дробном числе лет. 1. Общий метод начисления 2. Смешанный метод начисления ПРИМЕР Кредит в размере 3 млн руб. выдан на 3 года и 160 дней под 16,5% сложных годовых. Определить сумму на конец срока. S 1 = х = ,98 руб., S 2 = х х (1 + 0,43836 х 0,165) = ,98 руб.

34 Номинальная и эффективная ставка наращения Если проценты начисляются m раз в год, то формула сложных процентов видоизменяется. n S m = 1 m = n Сила роста и периодичность начисления процентов за период меньше года НОМИНАЛЬНАЯ ПРОЦЕНТНАЯ СТАВКА

35 ПРИМЕР Пусть сложные проценты по ставке 15,5% начисляются поквартально на сумму 1 млн. руб. в течении 5 лет При ежегодном начислении процентов мы получили бы S = 2,055 млн.руб. Номинальная и эффективная ставка наращения Чем чаще начисляются проценты, тем быстрее идет процесс наращения НОМИНАЛЬНАЯ ПРОЦЕНТНАЯ СТАВКА ЭФФЕКТИВНАЯ (ДЕЙСТВИТЕЛЬНАЯ) ПРОЦЕНТНАЯ СТАВКА Эффективная ставка – ставка, обеспечивающая эффективное изменение стоимости 1 ден. ед. по ставке сложных процентов с периодом начисления 1 год, что и рассматриваемая финансовая операция.

36 Номинальная и эффективная ставка наращения ПРИМЕР Каков размер эффективной ставки, если номинальная ставка равна 25% при помесячном начислении процентов? = 0, Для участвующих в сделке сторон безразлично применить ставку 25% при помесячном начислении процентов или годовую (эффективную) ставку 28,0732%. Дисконтирование по сложной ставке P = S / (1+i) P = S(1-d) Математическое дисконтирование Учетные операции nn 1/(1+i) – дисконтный, учетный множитель n

37 Дисконтирование по сложной ставке ПРИМЕР Долговое обязательство на сумму 5 млн руб., срок оплаты которого наступает через 5 лет, продано с дисконтом по сложной учетной ставке 15% годовых. Каков размер полученной за долг суммы и величина дисконта (в тыс. руб.)? Р = 5000(1 - 0,15) = 2218,5; D = ,5 = 2781,5. Если применить простую учетную ставку того же размера, то Р = 5000(1 - 5 х 0,15) = 1250; D = = Номинальная и эффективная учетные ставки

38 Наращение по сложной учетной ставке Срок операции и величина процентной ставки С учетом ставки наращения С учетом ставки учета

39 ПРИМЕР За какой срок в годах сумма, равная 75 млн руб.достигнет 200 млн руб. при начислении процентов по сложной ставке 15% раз в году и поквартально? Срок операции и величина процентной ставки

40 Учет инфляции при проведении финансовых расчетов Индекс инфляции Темп инфляции «во сколько раз» «на сколько процентов» Метод индексации как способ защиты от инфляции Ставка «валовой» доходности, брутто- ставка К норме процента, задающей требуемый уровень инфляции, необходимо добавлять величину компенсации инфляционного обесценивания

41 ПРИМЕР Кредит в размере 6 млн. руб. выдан на 1,25 года. Реальная доходность равна 5% по сложной процентной ставке ссудного процента. Ожидаемый уровень инфляции составляет 3% в квартал. Определить множитель наращения, брутто-ставку и размер процентных денег на конец срока. Учет инфляции при проведении финансовых расчетов ПРИМЕР Стоимость стартового капитала инвестора составляла 250 тыс.руб.Оцениваемый уровень рентабельности с коррекцией на инфляционную премию – 6,5% по номинальной ставке с ежемесячной капитализацией. Ожидаемый темп инфляции – 16%. Каков расчетный уровень рентабельности бизнеса при условии окупаемости за 4 года

42 Валю́тный курс цена (котировка) денежной единицы одной страны, выраженная в денежной единице другой страны,драгоценных металлах, ценных бумагах.драгоценных металлахценных бумагах Учет валютного курса при проведении финансовых расчетов Учет инфляции при проведении финансовых расчетов

43

44 Непрерывные проценты ПРИМЕР Суммарна которую начисляются непрерывные проценты, равна 2 млн руб., сила роста 10%, срок 5 лет. Определить наращенную сумму и эквивалентную ставку сложных процентов.

45 Средние процентные ставки

46 Эквивалентные процентные ставки Простые процентные ставки Простые и сложные процентные ставки Сложные процентные ставки

47 Процентные ставки в 2011 году 1 Межбанковская ставка - средневзвешенная ставка по 1-дневным межбанковским кредитам на московском рынке в рублях. 2 Доходность ГКО - средневзвешенная по объемам и срокам в обращении доходность ГКО со сроком погашения не более 90 дней. 3 Доходность ОБР - средневзвешенная по объемам и срокам в обращении доходность. 4 Депозитная ставка - средневзвешенная ставка по рублевым депозитам населения в кредитных организациях сроком до 1 года. Начиная с апреля 2006 г. согласно Указанию 1660 от в расчет ставок по кредитно- депозитным операциям банков включаются данные филиалов кредитных организаций. 5 Ставка по кредитам - средневзвешенная ставка по рублевым кредитам нефинансовым организациям сроком до 1 года. Начиная с апреля 2006 г. согласно Указанию 1660 от в расчет ставок по кредитно-депозитным операциям банков включаются данные филиалов кредитных организаций. Межбанковская ставка 1 Доходность ГКО 2 Доходность ОБР 3 Депозитная ставка 4 Депозитная ставка 4, кроме депозитов "до востребования" Ставка по кредитам 5 январь февр аль мар т апр ельмай ию нь ию ль авг уст сентя брь октя брь 2,72,83,13,33,83,73,94,04,54,9 3,43,5 3,43,7 3,6 3,9 4,54,44,24,1 4,24,04,14,0 5,45,35,25,1 5,05,1 8,68,7 8,38,08,67,9 8,0

48 По направленности По соотношению начала срока ренты и какого-либо момента времени, упреждающего начало ренты По моменту выплат платежей в пределах периода ренты Положительные (поступления) Отрицательные (выплаты) По сроку действия Конечные Бесконечные По вероятности выплат Верные Условные По величине платежей Переменные Постоянные По количеству членов Ограниченные Бесконечные (вечные) По существованию правила, устанавливающего порядок платежей Нерегулярные (произвольные интервалы) Регулярные (равные интервалы между платежами) По количеству платежей за год Годовые (аннуитеты) Общие (р - число выплат в год) Непрерывные (дискретные) Немедленные Отложенные (отсроченные) Постнумерандо (платежи в конце периодов) Пренумерандо (платежи в начале периодов) ВИДЫ РЕНТ

49 Аннуитет равные друг другу денежные платежи, выплачиваемые через определённые промежутки времени в счёт погашения полученного кредита, займа и процентов по нему. Виды аннуитетов По времени выплаты : аннуитет постнумерандо, аннуитет пренумерандо. Коэффициент аннуитета С помощью данного коэффициента определяется величина периодических равных выплат по кредиту

50 Аннуитет где i процентная ставка за период n, n количество периодов на протяжении всего действия аннуитета. Величина периодической выплаты A = K·P, где P величина кредита. Если выплаты производятся постнумерандо m раз в год в течение n лет, то точноая формула для коэффициента аннуитета: где k (всегда степень) количество периодов = n*m. или по упрощенной формуле

51 Аннуитет

52 Ипотечный кредит на 10 лет в сумме рублей под 12 процентов годовых с ежемесячными платежами. В этом случае число периодов погашения N = 10*12 = 120, процентная ставка в расчете на период P = 0.12 / 12 = Коэффициент аннуитета: A = 0.01 * (1+0.01)120 / ((1+0.01)120-1) = Cумма аннуитетного платежа: Sa = * = руб. Общая сумма выплат (формула расчета кредита): S = 120 * = руб. Cумма процентов (переплата): Sp = = руб. Аннуитет

53 Наименован ие субъектов Российской Федерации Кредиты, предоставленные физическим лицам по состоянию на Объем Задолженностьв том числе просроченная всегов валюте Российской Федерации в иностранной валюте и драгоценных металлах всегов валюте Российской Федерации в иностранной валюте и драгоценных металлах всегов валюте Российской Федерации в иностранной валюте и драгоценных металлах Всего по Российской Федерации , , , , , , , , ,0 Московская область , , , , , , , ,18 313,7 г. Москва , , , , , , , , ,7 Калининград ская область 8 227,57 550,8676, , ,24 563,72 648,41 920,6727,8 Ленинградск ая область , ,1383, , ,04 236,31 873,21 614,9258,3 Пермский край , ,6340, , ,62 388,65 416,95 198,0218,9 Свердловска я область , ,2581, , ,83 192,88 540,48 321,0219,4 Тюменская область , ,9856, , ,01 688,85 976,55 899,876,7 Челябинская область , ,7305, , ,72 283,67 336,57 135,1201,4 Чукотский автономный округ 667,9667,00,9866,9839,727,214,214,0 Кредиты, предоставленные физическим лицам

54 Сумма: Валюта: руб Срок: 365 дн. Автоматическая пролонгация не предусмотрена. Банк «Резерв» Соверш енно летний Банк «Резерв» Соверш енно зимний Банк «Резерв» Cоверш енно летний плюс 0, Банк «Резерв» Cоверш енно зимний плюс 0, Банк «Резерв» Мобиль ный Резерв Банк «Резерв»Резерв Банк «Снежинский» (ОАО) Успех премиу м Триста Банк «Снежинский» (ОАО) Успех премиу м Банк «Снежинский» (ОАО) Пенсион ный доходны й Банк «Снежинский» (ОАО) Рантье- Плюс

55 Конверсия валюты и наращение процентов Совмещение операций конверсии (обмена) валюты и наращения процентов. При возможности обмена рублевых средств на СКВ и обратной конверсии целесообразно сравнить доходы от непосредственного размещения имеющихся денежных средств в депозиты и опосредованно через другую валюту. Сказанное относится и к получению дохода от СКВ при ее обмене на рубли, депонировании и обратной конверсии. Возможны четыре варианта для наращения процентов с конверсией денежных ресурсов и без нее: без конверсии: СКВ -> СКВ; с конверсией: СКВ -> Руб -> Руб -> СКВ; без конверсии: Руб -> Руб; с конверсией: Руб -> СКВ -> СКВ -> Руб. В операции наращения с конверсией валют существует два источноика дохода изменение курса и наращение процентов.

56 Вариант СКВ - Руб -> Руб -> СКВ. Pv сумма депозита в СКВ, Рr сумма депозита в рублях, Sv наращенная сумма в СКВ, Sr наращенная сумма в рублях, Ко курс обмена в начале операции (курс СКВ в рублях), К1 курс обмена в конце операции, n срок депозита, i ставка наращения для рублевых сумм, j ставка наращения для конкретного вида СКВ. Операция предполагает три шага: обмен валюты на рубли, наращение процентов на эту сумму, конвертирование в исходную валюту. Конечная (наращенная) сумма в валюте определяется

57 Три сомножителя этой формулы соответствуют трем перечисленным выше шагам. Множитель наращения т с учетом двойного конвертирования здесь имеет вид Вариант СКВ - Руб -> Руб -> СКВ.

58 Виды математических методов Математические методы Методы экономической кибернетики Методы принятия оптимальных решений (в том числе методы исследования операций) Методы математической статистики Методы эконометрики Методы экспериментального изучения

59 Известные ученые-экономисты Василий Леонтьев Родился в Санкт-Петербурге в 1906 г. В 1925 г. окончил Ленинградский университет. В гг. учился в Берлинском университете. В 1931 г. Леонтьев переезжает в США, где работает в течение 44 лет в Гарвардском университете Особую известность Леонтьев получил как автор метода экономического анализа "затраты-выпуск" (Input-output). Этот метод использован Леонтьевым при построении моделей межотраслевых балансов экономики США В круг его интересов входят математические методы и модели в экономике, международная торговля, анализ теорий Маркса и Кейнса, построение индексов, механизм спроса и предложения. экономические циклы и многое другое.

60 Известные ученые-экономисты Леонид Витальевич Канторович родился 19 января 1912 г. в Санкт-Петербурге в семье врача. В 18 лет он закончил математический факультет Ленинградского университета (1930) и уже через четыре года получил звание профессора. Л.В.Канторович является одним из основателей отечественных школ функционального анализа. вычислительной математики, языков программирования. С 1938 г. интересы Л.В.Канторовича были неразрывно связаны с экономическими исследованиями и решением народнохозяйственных проблем. Крупнейшим его открытием является введение в математическую и экономическую науки понятия "линейное программирование" (1939). Линейное программирование является универсальной математической моделью оптимального функционирования экономических систем. Основная заслуга Л.В.Канторовича заключается в разработке единого подхода к широкому кругу экономических задач о наилучшем использовании ресурсов на базе линейного программирования.

61 Известные ученые-экономисты Гарри МАРКОВИЦ (род. в 1927 г.) Особый интерес с самого начала вызывала у него "экономика неопределенности", в особенности, идеи Дж. фон Неймана, О. Моргенштерна, Дж. Маршака относительно функции полезности. Для своей докторской диссертации М. избрал исследование возможности применения математических методов к рынку ценных бумаг. В процессе работы над темой у него сложилась в основном концепция портфельных инвестиций, за которую он впоследствии получит Нобелевскую премию Главная заслуга Г.Марковца заключается в разработке точноо сформулированной, пригодной для применения, теории для выбора портфельных инвестиций в условиях неопределенности, которая послужила основанием для последующих разработок в области экономики финансов.

62 Этапы построения математических моделей Содержательное описание Формализация Логико-математический анализ Интерпретация полученных результатов Проверка качества построенной модели

63 Задача линейного программирования (ЗЛП) - оптимизационная задача, в которой целевая функция и ограничения являются линейной комбинацией переменных факторов. Линейное программирование Характерные черты задач ЗЛП : 1)показатель оптимальности L(X) представляет собой линейную функцию от элементов решения X = (x 1,x 2,...,x n ); 2) ограничительные условия, налагаемые на возможные решения, имеют вид линейных равенств или неравенств. Общая форма записи ЗЛП Целевая функция

64 Ограничения ЗЛП: Линейное программирование Общая форма записи ЗЛП

65 Линейное программирование Фабрика производит два вида красок: первый – для наружных, а второй –для внутренних работ. Для производства красок используются два ингредиента: А и В. Максимально возможные суточноые запасы этих ингредиентов составляют 6 и 8 т соответственно. Известны расходы А и В на 1 т соответствующих красок (табл.). Изучение рынка сбыта показало, что суточноый спрос на краску 2- го вида никогда не превышает спроса на краску 1-го вида более, чем на 1 т. Кроме того, установлено, что спрос на краску 2-го вида никогда не превышает 2 т в сутки. Оптовые цены одной тонны красок равны: 3 тыс. руб. для краски 1-го вида; 2 тыс. руб. для краски 2-го вида. Необходимо построить математическую модель, позволяющую установить, какое количество краски каждого вида надо производить, чтобы доход от реализации продукции был максимальным. Пример

66 Линейное программирование Постановка задачи линейного программирования Сумма дохода от продажи красок 1-го и 2-го видов Пример

67 Линейное программирование Возможные объемы производства красок x1 и x2 ограничиваются следующими условиями, обусловленными: 1) расходом ингредиентов; 2) рыночным спросом на краску; 3) неотрицательностью объемов производства.

68 Линейное программирование Выполнить заказ по производству 32 изделий И1 и 4 изделий И2 взялись бригады Б1 и Б2. Производительность бригады Б1 по производству изделий И1 и И2 составляет соответственно 4 и 2 изделия в час, фонд рабочего времени этой бригады 9,5 ч. Производительность бригады Б2 – соответственно 1 и 3 изделия в час, а ее фонд рабочего времени – 4 ч. Затраты, связанные с производством единицы изделия, для бригады Б1 равны соответственно 9 и 20 руб., для бригады Б2 – 15 и 30 руб. Составьте математическую модель задачи, позволяющую найти оптимальный объем выпуска изделий, обеспечивающий минимальные затраты на выполнение заказа. Пример

69 Пример Пусть x1 – производство изделий 1 бригадой 1 Пусть x2 – производство изделий 1 бригадой 2 Пусть x3 – производство изделий 2 бригадой 1 Пусть x4 – производство изделий 2 бригадой 2 Целевая функция затрат: Z =9 х х х х 5 min X1 4*9,5 X3 2*9,5 x2 1*4 X4 3*4

70 Линейное программирование Методы решения 1. Графический. 2. Симплекс-метод 3. Численные компьютерные методы Пример графического решения задачи

71 Линейное программирование Графический метод решения задачи Построим прямые ограничений, для чего вычислим координаты точек пересечения этих прямых с осями координат (1) – (2) – (3) –.

72 По направлению вектора C в ОДР производится поиск оптимальной точки: Оптимальной считается точка, через которую проходит линия уровня Lmax (Lmin ), соответствующая наибольшему (наименьшему) значению функции L(X). Оптимальное решение всегда находится на границе ОДР, Линейное программирование Графический метод решения задачи

73 Линейное программирование Графический метод решения задачи Ответ: х 1 = 10/3, х 2 = 4/3. Z = 10/3 * 3 + 8/3 * 2 = 38/3

74 Линейное программирование Компьютерный метод решения задачи 1. В программе Exсel, кнопка Сервис. 2. В меню Сервис выбираем пункт Поиск решения. 3. В первой строке ячеек записываем параметры целевой функции. 4. Вторую строчку оставляем пустой, начиная с третьей строчки, записываем параметры ограничения и свободные члены. 5. Устанавливаем целевую ячейку. Целевой ячейкой мы устанавливаем ячейку, которая находится над свободными членами. В целевой ячейке должна быть записана линейная функция, как сумма произведений свободных ячеек на соответствующие им параметры. 5. В окне Изменяя ячейки, вводим пустые ячейки. 6. Вводим ограничения кнопкой Добавить. 7. Выполнить.

75

76 Транспортные задачи Стандартная ТЗ - задача разработки наиболее экономичного плана перевозки продукции одного вида из нескольких пунктов отправления в пункты назначения.

77 Транспортные задачи Если сумма запасов продукции во всех пунктах отправления равняется суммарной потребности во всех пунктах потребления выполняется, то ТЗ называется сбалансированной (закрытой). В случае, когда суммарные запасы превышают суммарные потребности, необходим дополнительный фиктивный (реально не существующий) пункт потребления.

78 Транспортные задачи Определение опорного плана решения Опорный план - допустимое решение транспортной задачи, которое используется в качестве начального базисного решения. Три метода нахождения опорных планов: Метод северо-западного угла; Метод минимального элемента; Метод Фогеля. Метод северо-западного угла

79 Метод минимального элемента

Метод минимального элемента

81 Моделирование конфликтных ситуаций в экономике Игры с природой Определение. Игра, в которой осознанно действует только один из игроков, называется игрой с природой. Природа может принимать одно из своих возможных состояний и не имеет целью получение выигрыша. Игра с природой представляется в виде платежной матрицы, элементы которой – выигрыши игрока А, но не являются проигрышами природы П. Имеем. Игрок А, SА={p1,p2,…,pm}, FA(P,Пj) Природа П с состояниями SП={п 1,п 2,…,пn} Природа П с состояниями SП={п 1,п 2,…,пn}

82 Игры с природой A/ПП1П1 П2П2 П3П3 ….ПnПn A1A1 a 11 a 12 a 13 a 1n A2A2 a 21 a 22 a 23 a 2n …. AmAm a m1 a m2 a m3 a mn Каждый элемент платежной матрицы a ij – выигрыш игрока А при стратегии A i в состоянии природы П j С одной стороны, задача выбора оптимальной стратегии для игрока А упрощается С другой, задача осложняется из-за дефицита информации о поведении природы

83 Игры с природой Различают два вида задач в играх с природой: 1. Задача о принятии решений в условиях риска, когда известны вероятности, с которыми природа принимает каждое из возможных состояний 2. Задачи о принятии решений в условиях неопределенности, когда нет возможности получить информацию о вероятностях появления состояний природы

84 Особенность задачи – отсутствие информации о вероятностях появления состояний природы Критерий Вальда Оптимальной среди чистых стратегий по критерию Вальда считается та чистая стратегия, при которой минимальный выигрыш является максимальным среди минимальных выигрышей всех чистых стратегий. Критерий Вальда ориентирует игрока на неблагоприятные для него состояния природы Принятие решения в условиях неопределенности

85 Критерий крайнего оптимизма Данный критерий является противоположностью критерия Вальда Оптимальной среди чистых стратегий по критерию максимального оптимизма будет стратегия A0, для которой справедливо условие:

86 Критерий пессимизма-оптимизма Гурвица Данный критерий является некоторым обобщением критериев крайнего пессимизма и крайнего оптимизма и также представляет собой частный случай обобщенного критерия Гурвица Тогда показатель эффективности стратегии Ai по Гурвицу есть: Оптимальной стратегией считается стратегия с максимальным значением показателя эффективности