ЭЛЕКТРОТЕХНИКА Тема 1: Линейные электрические цепи постоянного тока Занятие 4: Анализ сложных электрических цепей с несколькими источниками энергии Литература: 1. Курс электротехники: Учеб. для ВУЗов/А.С.Касаткин, М.В.Немцов.- М.:Высш.шк., 2005

Вопрос 1: Метод непосредственного применения законов Кирхгофа На рисунке изображена схема разветвленной электрической цепи. Известны величины сопротивлений и ЭДС, необходимо определить токи. В схеме имеются четыре узла, значит можно составить четыре уравнения по первому закону Кирхгофа. Укажем произвольно направления токов. Запишем уравнения.

Сложим эти уравнения. Получим тождество 0 = 0. Данная система уравнений является зависимой. Если в схеме имеется n узлов, количество независимых уравнений, которые можно составить по первому закону Кирхгофа, равно n - 1.

Итак, мы получили 3 уравнения, а нам нужно 6, т.к. неизвестно 6 токов (6 ветвей). Недостающее количество уравнений составляют по второму закону Кирхгофа. Уравнения по второму закону составляют для независимых контуров. Независимым является контур, в который входит хотя бы одна новая ветвь, не вошедшая в другие контуры.

Алгоритм расчета по методу законов Кирхгофа

ЗАДАЧА 2.1.1:

ЗАДАЧА 2.1.2:

Вопрос 2: Метод контурных токов

На рисунке в качестве примера изображена двухконтурная схема, в которой I 11 и I 22 - контурные токи.

Рекомендации Контуры выбирают произвольно, но целесообразно выбрать контуры таким образом, чтобы одни контура не располагались внутри других. Контурные токи желательно направлять одинаково (по часовой стрелке или против). Если нужно определить ток в одной ветви сложной схемы, необходимо сделать его контурным. Если в схеме имеется ветвь с известным током, этот ток следует сделать контурным, благодаря чему количество уравнений становится на единицу меньше.

ЗАДАЧА 2.1.1:

ЗАДАЧА 2.1.2:

Вопрос 3: Метод узловых потенциалов 1 Данный метод позволяет уменьшить число совместно решаемых уравнений до У-1, где У – число узлов схемы замещения цепи. Метод основан на применении первого закона Кирхгофа и заключается в следующем: - один узел схемы принимается базисным с нулевым потенциалом. Такое допущение не меняет токов в ветвях, т.к. они зависят только от разности потенциалов. - для остальных У-1 узлов составляем уравнения по первому закону Кирхгофа, выражая токи ветвей через потенциалы узлов; - решением составленной системы уравнений определяем потенциалы У-1 узлов относительно базисного, а затем токи ветвей по обобщенному закону Ома.

Метод узловых потенциалов 2 Алгоритм: - один узел схемы принимается базисным с нулевым потенциалом. - для остальных У-1 узлов составляем уравнения по следующим правилам: - в левой части каждого уравнения: потенциал рассматриваемого узла (со знаком «+») умноженный на сумму проводимостей сходящихся к нему ветвей… минус проводимости ветвей соединенных с рассматриваемым узлом, умноженные на потенциалы узлов с которыми они соединены. - в правой части каждого уравнения: алгебраическая сумма токов ветвей (если в ветви есть источник ТОКА) и/или токов короткого замыкания ветвей (E/R) (если в ветви есть источник ЭДС), сходящихся в рассматриваемом узле. При этом слагаемые берутся с «+» если ЭДС направлены к узлу. - решением составленной системы уравнений определяем потенциалы У-1 узлов относительно базисного, а затем токи ветвей по обобщенному закону Ома.

ЗАДАЧА 2.1.2:

в левой части каждого уравнения: потенциал рассматриваемого узла (со знаком «+») умноженный на сумму проводимостей сходящихся к нему ветвей… минус проводимости ветвей соединенных с рассматриваемым узлом, умноженные на потенциалы узлов с которыми они соединены. в правой части каждого уравнения: алгебраическая сумма токов ветвей (если в ветви есть источник ТОКА) и/или токов короткого замыкания ветвей (E/R) (если в ветви есть источник ЭДС), сходящихся в рассматриваемом узле. При этом слагаемые берутся с «+» если ЭДС направлены к узлу.

Метод двух узлов Это частный случай метода узловых потенциалов. Схема на рисунке имеет два узла. Потенциал точки 2 примем равным нулю φ2 = 0. Составим узловое уравнение для узла 1.,, - проводимости ветвей. В общем виде: В числителе - алгебраическая сумма произведений ЭДС источников на проводимости ветвей, в которые эти ЭДС включены. ЭДС в формуле записывается со знаком "плюс", если она направлена к узлу, и со знаком "минус", если направлена от узла. В знаменателе - сумма проводимостей параллельно включенных ветвей.

ЗАДАЧА 2.1.1:

Метод эквивалентного генератора (двухполюсника) Часть электрической цепи с двумя выделенными зажимами (полюсами) называется двухполюсником. Двухполюсники, содержащие источники энергии, называются активными. Двухполюсники, не содержащие источников, называются пассивными. На схеме замещения пассивный двухполюсник может быть заменен одним элементом - внутренним или входным сопротивлением пассивного двухполюсника Rвх. Если известна схема пассивного двухполюсника, входное сопротивление его можно определить, свернув схему относительно заданных зажимов.

Теорема об активном двухполюснике Искомый ток I 1 определится по формуле: Любой активный двухполюсник можно заменить эквивалентным источником напряжения с ЭДС, равным напряжению холостого хода на зажимах этого двухполюсника и внутренним сопротивлением, равным входному сопротивлению того же двухполюсника, из схемы которого исключены все источники.

Искомый ток I 1 определится по формуле:

Методика расчета по методу эквивалентного генератора Для расчета тока в ветви с сопротивлением R следует сначала отключить это сопротивление. При определении параметров эквивалентного генератора расчетным путем необходимо вычертить две схемы: - первая схема служит для определения U хх = E э и отличается от исходной тем, что исследуемая ветвь разрывается. Методом контурных токов, методом уравнений Кирхгофа или другим методом рассчитывают напряжение между точками разрыва. - вторая схема служит для определения R вх = R э ; в ней исключают источники ( при этом предполагают, что собственные сопротивления источников ЭДС в схеме сохраняются, а ветви с идеальным источником тока размыкаются) и находят входное сопротивление относительно зажимов исследуемой ветви. Если исследуемая ветвь содержит источник ЭДС, то последнюю учитывают при определении U хх. Наконец, по формуле, приведенной выше, рассчитывают искомый ток.

Контрольная работа Дано: Е1 = 50 В, Е2 = 50 В, Е3 = 100 В R1 = 5 Ом, R2 = 5 Ом, R3 = 10 Ом Определить токи в ветвях 3-мя методами: а) непосредственного применения законов Кирхгофа, б) контурных токов, в) узловых потенциалов 1 и 2. г) двух узлов