Размещено на

План работы Основная теоретическая часть - Теорема Ферма - Теорема Ролля - Теорема Коши - Теорема Лагранжа Практическая часть

Теорема Ферма Пусть функция f (x) определена в некотором промежутке [a;b] и во внутренней точке с этого промежутка принимает наибольшее (наименьшее) значение. Тогда если в этой точке существует конечная производная f '(c), то f '(c)=0. Формулировка

Доказательство теоремы Ферма: x>cx>c f '(c)0 x<cx<c Итак, f '(c)=0. Пусть f(x) принимает в точке с наибольшее значение на данном промежутке. По определению производной:

Геометрический смысл теоремы Ферма f '(х 0 ) = tgα = k = 0

Теорема Ролля Пусть выполнены следующие условия: 1) функция f (x) определена и непрерывна в замкнутом промежутке [a,b]; 2) существует конечная производная f '(x), по крайней мере, на интервале (а;b); 3) на концах промежутка функция имеет равные значения, т.е. f(a)=f(b). Тогда между а и b найдется такая точка с (a < c < b), что f '(c)=0. Формулировка

Доказательство теоремы Ролля: M=mM=m f(x) =M=mf '(x)=0 M>mM>mf (a) = f(b) f '(x)=0 Воспользуемся второй теоремой Вейерштрасса.

Геометрический смысл теоремы Ролля Если крайние ординаты кривой y = f '(с) равны, то на кривой найдется точка, где касательная параллельна оси Ох.

Теорема Коши Пусть функции ƒ(x) и g(x): 1) непрерывны на отрезке [a;b]; 2) имеют производные в каждой точке интервала (a;b); 3) g'(x)0 во всех точках интервала (a;b). Тогда существует такая точка x, a<x<b, что Формулировка

Доказательство теоремы Коши: F(a)=F(b)=0 F'(х)=0 По теореме Ролля

Так как F'(х)=0: По условию g'(x)0, значит

Теорема Лагранжа Пусть: 1) ƒ(x) определена и непрерывна в замкнутом промежутке[a, b]; 2) существует конечная производная ƒ'(х), по крайней мере, в открытом промежутке (a;b). Тогда между a и b найдется такая точка x 0 (a < x 0 < b), что для неё выполняется равенство: Формулировка

Доказательство теоремы Лагранжа: Данная функция удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля.

Если x=b, то Значит, F(a)=F(b)=0. По теореме Ролля, получим: Если x=а, то

Геометрический смысл теоремы Лагранжа Теорема Лагранжа означает, что в интервале (a;b) найдется точка х 0, в которой касательная к графику параллельна хорде АВ.

Практическая часть Задача 1 Доказать неравенство, если 0<b<a..

b < x < a Что и требовалось доказать.

Задача 2. Функция у = f(x) задана своим графиком на отрезке [a;b]. Определите количество точек графика, в которых касательные параллельны оси абсцисс. Из геометрического смысла теоремы Ферма, имеем, что касательная в точке с параллельна оси Ох, если f'(c)=0. Используя теорему Ферма, получим, что f'(c)=0,если: функция f(x) определена в некотором промежутке [a;b] и во внутренней точке с этого промежутка принимает наибольшее (наименьшее) значение. Ответ: 2

Задача 3 Объяснить, почему не верна формула Коши для функций и Проверим удовлетворяют ли всем условиям теоремы Коши данные функции: Во-первых, функции ƒ(x) и g(x) непрерывны на всей числовой прямой. Во-вторых, функции ƒ(x) и g(x) имеют производные. Но, не выполняется третье условие, поскольку при х = 0. Решение задачи окончено.

В работе рассмотрены: история развития дифференциального исчисления; различные вспомогательные теоремы; формулировка и доказательство важнейших теорем дифференциального исчисления: Ферма Ролля Коши Лагранжа применение выше перечисленных теорем к решению задач. Размещено на

Спасибо за внимание! Размещено на