Исследовательская работа По теме: «Теорема Пифагора» Работу выполнил Разинков Александр, учащийся 8А класса лицея 24. Руководитель: учитель математики Ляпина Маргарита Алексеевна. г.Елец 2010 г.
Введение История теоремы Неалгебраические доказательства теоремы Алгебраические доказательства теоремы Применение теоремы Заключение Литература
Цели работы: Формирование отношения к геометрии как к части общечеловеческой культуры, понимание значимости геометрии в практической деятельности. Задачи работы: Приобретение навыков самостоятельной работы с большими объемами информации, умений увидеть проблему и наметить пути ее решения. Развить навыки исследовательской деятельности. Активизировать деятельность в творческом направлении. Научиться ясно, точно, грамотно излагать свои мысли. Проблемные вопросы: 1. Почему теорема Пифагора получила мировую известность? 2. Чем интересны различные способы её доказательства? 3. Каково её практическое применение? Этапы проведения исследовательской работы: Постановка основополагающего вопроса. Формулировка проблемных вопросов. Выдвижение гипотез решения проблем. Поиск источников информации. Теорема Пифагора. Способы её доказательства. Использование при решении задач. Самостоятельная работа по выполнению задания. Защита полученных результатов работы.
Трудно найти человека, у которого имя Пифагора не ассоциировалось бы с теоремой Пифагора. В самом деле, теорема Пифагора проста, но не очевидна. Это сочетание двух противоречивых начал и придает ей особую притягательную силу, делает ее красивой. Но, кроме того, теорема Пифагора имеет огромное значение: она применяется в геометрии буквально на каждом шагу, и тот факт, что существует около 500 различных доказательств этой теоремы (геометрических, алгебраических, механических и т.д.), свидетельствует о её популярности. Открытие теоремы Пифагором окружено ореолом красивых легенд. Сегодня теорема Пифагора обнаружена в различных частных задачах и чертежах: и в египетском треугольнике в папирусе времен фараона Аменемхета первого (ок до н.э.), и в вавилонских клинописных табличках эпохи царя Хаммурапи (XVIII в. до н.э.), и в древнеиндийском геометрической-теологическом трактате VI - V вв. до н.э. «Сульва сутра» («Правила веревки»). В древнейшем китайском трактате «Чжоуби суань цзинь», время создания которого точно не известно, утверждается, что в XII в. до н. э. китайцы знали свойства египетского треугольника, а к VI в. до н.э. и общий вид теоремы.
О жизни Пифагора известно немного. Он родился в 580 г. до н.э. в Древней Греции на острове Самос, который находится в Эгейском море у берегов Малой Азии, поэтому его называют Пифагором Самосским. Родился Пифагор в семье резчика по камню, который сыскал скорее славу, чем богатство. Ещё в детстве он проявлял незаурядные способности, и когда подрос, неугомонному воображению юноши стало тесно на маленьком острове. Пифагор перебрался в город Милеет и стал учеником Фалеса, которому в то время шёл восьмой десяток. Мудрый учёный посоветовал юноше отправиться в Египет, где сам, когда-то изучал науки. Перед Пифагором открылась неизвестная страна. Знания были сосредоточены в храмах, доступ в которые был ограничен. Пифагору потребовались годы, чтобы глубоко изучить египетскую культуру прежде, чем, ему было разрешено познакомиться с многовековыми достижениями египетской науки.
Пифагор Фрагмент фрески Рафаэля «Афинская школа» г. Когда Пифагор постиг науку египетских жрецов, то решил вернуться домой, чтобы там создать свою школу. Однако по дороге домой, Пифагор попал в плен и оказался в Вавилоне. Вавилоняне ценили умных людей, поэтому он нашёл своё место среди вавилонских мудрецов. Наука Вавилона была более развитой, нежели египетская. Наиболее поразительными были успехи алгебры. Вавилоняне изобрели и применяли при сёте позиционную систему счисления, умели решать линейные, квадратные и некоторые виды кубических уравнений. Пифагор прожил в Вавилоне около десяти лет и в сорокалетнем возрасте вернулся на родину. Но на острове Самос он оставался недолго. В знак протеста против тирана Поликрата, который тогда правил островом, поселился в одной из греческих колоний Южной Италии в городе Кротоне. Там Пифагор организовал тайный союз молодёжи из представителей аристократии. В этот союз принимались с большими церемониями после долгих испытаний. Каждый вступающий отрекался от своего имущества и давал клятву хранить в тайне учения основателя. Не только сила личности и мудрость Пифагора, но и высокая нравственность проповедуемых им идей и жизненных принципов притягивала к нему единомышленников, которые и сегодня достойны подражания.
Исторический обзор начинается с древнего Китая. Здесь особое внимание привлекает математическая книга Чупей. В этом сочинении так говорится о пифагоровым треугольнике со сторонами 3, 4 и 5: «Если прямой угол разложить на составные части, то линия, соединяющая концы его сторон, будет 5, когда основание есть 3, а высота 4». В этой же книге предложен рисунок, который совпадает с одним из чертежей индусской геометрии Басхары. По мнению Кантора гарпедонапты, или «натягиватели веревок», строили прямые углы при помощи прямоугольных треугольников со сторонами 3, 4 и 5. Несколько больше известно о теореме Пифагора у вавилонян. В одном тексте, относимом ко времени Хаммураби, т. е. к 2000 г. до н.э., приводится приближенное вычисление гипотенузы прямоугольного треугольника. Основываясь, с одной стороны, на сегодняшнем уровне знаний о египетской и вавилонской математике, а с другой на изучении греческих источников, Вандер-Варден (голландский математик) сделал следующий вывод: «Заслугой первых греческих математиков, таких как Фалес, Пифагор и пифагорейцы, является не открытие математики, но ее систематизация и обоснование. В их руках вычислительные рецепты, основанные на смутных представлениях, превратились в точную науку». Весьма вероятно, что теорема о квадрате гипотенузы была известна в Индии уже около 18 века до н. э. В первом русском переводе евклидовых «Начал», сделанном Ф. И. Петрушевским, теорема Пифагора изложена так: «В прямоугольных треугольниках квадрат из стороны, противолежащей прямому углу, равен сумме квадратов из сторон, содержащих прямой угол». В настоящее время известно, что эта теорема не была открыта Пифагором. Однако одни полагают, что Пифагор первым дал ее полноценное доказательство, а другие отказывают ему и в этой заслуге.
«Квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равновелик сумме квадратов, построенных на его катетах». Простейшее доказательство теоремы получается в простейшем случае равнобедренного прямоугольного треугольника. Вероятно, с него и начиналась теорема. Достаточно просто посмотреть на мозаику равнобедренных прямоугольных треугольников (рис. 1), чтобы убедиться в справедливости теоремы. Например, для ABC: квадрат, построенный на гипотенузе АС, содержит 4 исходных треугольника, а квадраты, построенные на катетах, по два. Теорема доказана.
В древнекитайской книге «Математика» помещен чертеж,доказывающий теорему Пифагора. Ключ к этому доказательству подобрать нетрудно. В самом деле, на чертеже четыре равных прямоугольных треугольника с катетами а, в и гипотенузой с,уложены так, что их внешний контур образует квадрат со стороной а+b, а внутренний квадрат со стороной с, построенный на гипотенузе (рис. 26). Если квадрат со стороной с вырезать и оставшиеся 4 затушеванных треугольника уложить в два прямоугольника (рис. 2 в), то ясно, что образовавшаяся пустота, с одной стороны, равна с², а с другой а²+в². Теорема доказана. При таком доказательстве построения внутри квадрата на гипотенузе, которые видны на чертеже (рис. 2 а), не используются. По-видимому, древнекитайские математики имели другое доказательство. Именно, если в квадрате со стороной с два заштрихованных треугольника (рис. 2 б) отрезать и приложить гипотенузами к двум другим гипотенузам (рис. 2 г), то легко обнаружить, что полученная фигура, которую иногда называют «креслом невесты», состоит из двух квадратов со сторонами а и в, т.е. с²=а²+в².
Древней Индии заметили, что для доказательства теоремы Пифагора достаточно использовать внутреннюю часть древнекитайского чертежа. В написанном на пальмовых листьях трактате «Сиддханта широмани» («Венец знания») крупнейшего индийского математика XII в. Бхаскары помещен чертеж (рис. 4 а) с характерным для индийских доказательств, словом «смотри!». Как видим, прямоугольные треугольники уложены здесь гипотенузой наружу и квадрат с² перекладывается в «кресло невесты» а·a+b·b (рис. 46). Заметим, что частные случаи теоремы Пифагора (например, построение квадрата, площадь которого вдвое больше площади данного квадрата) встречаются в древнеиндийском трактате «Сульва сутра» (VII-V вв. до н.э.).
Пусть ABC данный прямоугольный треугольник с прямым углом С. Проведем высоту CD из вершины прямого угла С (рис. 6). По определению косинуса угла (косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе) cosA=AD/AC=AC/AB. Отсюда AB·AD=AC·AC. Аналогично cosB=BD/BC=BC/AB. Отсюда AB·BD=BC·BC. Складывая полученные равенства почленное, и замечая, что AD+DB=AB, получим: AC·AC+BC·BC=AB(AD + DB)=AB·AB. Теорема доказана.
Окно Если r=b/4 и R=b/2. В романской архитектуре часто встречается мотив, представленный на рисунке. Если b обозначает ширину окна, то радиусы полуокружностей будут равны R=b/2 и r=b/4. Радиусу внутренней окружности можно вычислить из прямоугольного треугольника, изображенного на рис. пунктиром. Гипотенуза этого треугольника, проходящая через точку касания окружностей, равна b/4+p, один катет равен b/4, а другой b/2-p. По теореме Пифагора имеем: (b/4+p)²=(b/4)²+(b/4-p)² или b²/16+b·p/2+p²=b²/16+b/4b·p+p,² откуда b·p/2=b/4-b·p. Разделив на b и приводя подобные члены, получим: (3/2)р =b/4,р=b/6. В зданиях готического и романского стиля верхние части окон расчленяются каменными ребрами, которые не только играют роль орнамента, но и способствуют прочности окон. На рисунке представлен простой пример такого окна в готическом стиле. Способ построения его очень прост: из рисунка легко найти центры шести дуг окружностей, радиусы которых равны ширине окна b для наружных дуг и половине ширины b/2, для внутренних дуг. Остается еще полная окружность, касающаяся четырех дуг. Так как она заключена между двумя концентрическими окружностями, то ее диаметр равен расстоянию между этими окружностями, т. е. b/2 и, следовательно, радиус равен b/4. Тогда становится ясным и положение ее центра. В рассмотренном примере радиусы находились без всяких затруднений.
Крыша Нужно построить двускатную крышу (форма в сечении). Какой длины должны быть стропила, если изготовлены балки AC=8 м, и AB=BF. Решение: Треугольник ADC равнобедренный АВ=ВС=4 м, BF=4 м, Если предположить, что FD=1,5 м, тогда: А) Из треугольника DBC:DB=2,5 м DС=4·4+2,5·2,5=16+6,25=22,25 4,7 Б) Из треугольника ABF: AF=l6+16=32 5,7 Молниеотвод Молниеотвод защищает от молнии все предметы, расстояние до которых от его основания не превышает его удвоенной высоты. Определить оптимальное положение молниеотвода на двускатной крыше, обеспечивающее наименьшую его доступную высоту. Решение: По теореме Пифагора h·h>a·a+b·b, зн ачит h>(a·a+b·b) Ответ: h>(a·a+b·b)
Cветовой луч проходит путь от точки A к точке B. Какой путь проходит луч? Поскольку свет проходит туда и обратно одинаковый путь.Пусть АВ- l, половина времени t, а скорость движения света с, то уравнение примет вид: с · t = l Посмотрим на то же явление из другой системы отсчета, например, из космического корабля, пролетающего мимо бегающего луча со скоростью v. При таком наблюдении скорости всех тел изменятся, причем неподвижные тела станут двигаться со скоростью v в противоположную сторону. Предположим, что корабль движется влево. Тогда две точки, между которыми бегает зайчик, станут двигаться вправо с той же скоростью. Причем, в то время, пока зайчик пробегает свой путь, исходная точка А смещается и луч возвращается уже в новую точку С. Вопрос: на сколько успеет сместиться точка, чтобы превратиться в точку С, пока путешествует световой луч, то есть спросим о половине данного смещения. Если обозначить половину времени путешествия луча буквой t', а половину расстояния АС буквой d, то получим наше уравнение в виде: v· t' = d Буквой v обозначена скорость движения космического корабля. Другой вопрос: какой путь при этом пройдет луч света? Чему равна половина этого пути? Чему равно расстояние до неизвестного объекта? Если обозначить половину длины пути света буквой s, получим уравнение: c·t=s Здесь с - это скорость света, at' - это тоже время, которые было рассмотрено формулой выше. Теперь рассмотрим треугольник ABC. Это равнобедренный треугольник, высота которого равна l, которое было введено при рассмотрении процесса с неподвижной точки зрения. Поскольку движение происходит перпендикулярно, то оно не могло повлиять не нее. Треугольник ABC составлен из двух половинок - одинаковы прямоугольных треугольников, гипотенузы которых АВ и ВС должны быть связаны с катетами по теореме Пифагора. Один из катетов - это d, который был рассчитан только что, а второй катет это s, который проходит свет, и который тоже рассчитали. Получаем уравнение: s·s =l·l + d·d..
В настоящее время на рынке мобильной связи идет большая конкуренция среди операторов. Чем надежнее связь, чем больше зона покрытия, тем больше потребителей у оператора. При строительстве вышки часто приходится решать задачу: какую наибольшую высоту должна иметь антенна, чтобы передачу можно было принимать в определенном радиусе (например, радиусе R=200 км, если известно, что радиус Земли равен 6380 км). Решение: Пусть АВ=х, BC=R=200 км, ОС=r=6380 км. ОВ=ОА+АВ, следовательно: ОВ=r+х. Используя теорему Пифагора, получим ответ 2,3 км.
Важность теоремы состоит, прежде всего, в том, что из нее или с ее помощью можно вывести большинство теорем геометрии. К сожалению, невозможно привести все или даже самые красивые доказательства теоремы, однако приведенные примеры убедительно свидетельствуют об огромном интересе человечества к ней.
1. Акимова С. Занимательная математика Санкт-Петербург.: «Тригон», Геометрия 7-9: Учебник для общеобразовательных учреждений / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, СБ. Кадомцев и др.-12-е изд.-М.: «Просвещение», Глейзер Г.И. История математики в школе. - М.: «Просвещение», Еленьский Ш. По следам Пифагора, М., Журнал «Математика в школе» 4, Литцман В. Теорема Пифагора. М., Скопец З.А. Геометрические миниатюры. М., Энциклопедический словарь юного математика/ Сост. А.П. Савин.- 3-е изд., испр. и доп. - М.: Педагогика-Пресс, Энциклопедия для детей. Т.П. Математика /Главный редактор М.Д. Аксенова. - М.: «Аванта+», Я познаю мир: Детская энциклопедия: Математика. - М., 1997.