Приложение производной к решению прикладных задач Выполнила ученица 11 Б класса МОУ лицея 29 Вишнякова Марина

Гипотеза Производная – это инструмент не только исключительно математический, но и инструмент позволяющий решать задачи в области физики и экономики.

Объект исследования прикладные задачи практического содержания Предмет исследования методы решения задач с использованием производной

Цель Изучение применения производной для решения задач по алгебре и началам анализа, физике, экономике; углубление и расширение знаний по теме «Производная»

Задачи рассмотреть исторический аспект дифференциального исчисления; изучить физический смысл производной; познакомиться с понятиями предельной себестоимости, эластичности спроса; классифицировать различные приложения производной; используя различные источники, отобрать ряд прикладных задач; решить выбранные задачи с использованием производной; расширить свои представления о производной

Определение. Производной функции называется предел отношения приращения функции к приращению независимой переменной при произвольном стремлении этого приращения к нулю. С другой стороны, скоростью изменения функции в данной точке x называется предел средней скорости изменения функции. Что такое производная?

Задача 1. При действии на механическую колебательную систему гармонически изменяющейся внешней силы в ней устанавливаются вынужденные колебания с амплитудой:, где m – масса системы, - собственная циклическая частота колебаний системы, - показатель затухания, характеризующий силу затухания среды. При какой частоте периодической внешней силы наступит резонанс, т.е. амплитуда станет максимальной?

Задача 2. Материальная точка начинает движение по координатной прямой по закону. При каких значениях t, > 0? Какой содержательный смысл имеют эти соотношения?

Задача 3. Бортовые огни малых судов можно различить в море на расстоянии до 1 мили. Корабль A идет на юг, делая 6 миль в час, и в настоящее время находится в 5 милях от корабля B, который идет на запад со скоростью 7 миль в час. Будут ли корабли друг от друга на расстоянии, достаточном для приема бортовых сигналов?

Задача 3. B0B0 A0A0 B0B0 B1B1 A0A0 A1A1

Задача 4. Спасатель близи берега озера должен оказать помощь тонущему. Зная свою скорость движения по суше v и по воде u, он должен выбрать траекторию, при которой помощь подоспеет через минимальное время. Какому условию должна отвечать эта траектория?

Задача 4.

или

Задача 5. Пусть зависимость между себестоимостью продукции С и объемом ее производства Q выражается формулой C = 50 – 0,4Q. Требуется определить эластичность себестоимости при выпуске продукции Q = 30 ден.ед.

Выводы практически во всех школьных предметах есть задачи, решаемые с использованием производной; составленная по условию задачи функция позволяет глубже проникнуть в существо задачи, оценить реальность результата и промежуточных действий; при решении некоторых задач с применением производной наблюдается явно выраженная экономия сил, энергии, а главное времени

Спасибо за внимание!