Использование понятия производной в экономике. Рассмотрим функциональную зависимость издержек производства о количества выпускаемой продукции. Обозначим: - презентация

1 Использование понятия производной в экономике. Рассмотрим функциональную зависимость издержек производства о количества выпускаемой продукции. Обозначим: - количество выпускаемой продукции; - количество выпускаемой продукции; - издержки производства. - издержки производства.Тогда - прирост продукции; - прирост продукции; - приращение издержек производства. - приращение издержек производства.

2 Отношение определяет среднее приращение издержек производства. Производная выражает предельные издержки производства и характеризует приближенно дополнительные затраты на производство единицы дополнительной продукции. Предельные издержки зависят от уровня производства (количества выпускаемой продукции) и определяются не постоянными производственными затратами, а лишь переменными (на сырье, топливо и т.п.).

3 Производная скорость изменения некоторого экономического объекта (процесса) по времени или относительного другого исследуемого фактора. Рассмотрим в качестве примера соотношения между средним и предельным доходом в условиях монопольного и конкурентного рынков. Обозначим: - суммарный доход от реализации продукции; - цена единицы продукции; - количество продукции. Тогда В условия монопольного рынка, цена контролируется одной или несколькими фирмами и с увеличением цены спрос падает.

4 С увеличением цены спрос на продукцию падает по линейному закону: - кривая спроса линейно убывающая функция; Суммарный доход от реализованной продукции Средний доход на единицу продукции; Предельный (дополнительный) доход от реализации дополнительной продукции.

5 В условиях монопольного рынка с ростом количества реализованной продукции предельный доход снижается, что приводит к уменьшению (с меньшей скоростью) среднего дохода. В условиях совершенной конкуренции, когда число участников рынка велико, и каждая фирма не способна контролировать уровень цен, устойчивая продажа товаров возможна по преобладающей рыночной цене. Тогда - рыночная цена; - суммарный доход; - средний доход; - предельный доход.

6

7

8 Для исследования экономических процессов используют понятие эластичности функции. Эластичностью функции называется предел отношения относительного приращения функции к относительному приращению переменной при стремлении последнего к нулю. Эластичность функции показывает приближенно, на сколько процентов изменится функция при изменении независимой переменной на один процент..

9 Эластичность функции применяется при анализе спроса и потребления. Например, как коэффициент, определяющий насколько процентов изменится спрос, при изменении цены на один процент. - спрос эластичный; - спрос неэластичный: - спрос с единичной эластичностью.

10 Рассмотрим влияние эластичности спроса относительно цены на суммарный доход. Предположим, что кривая спроса имеет произвольный вид, тогда предельный доход равен: Учитывая что получим

11 Если спрос неэластичен, предельный доход отрицателен при любой цене; если спрос эластичен, то предельный доход положителен. Для неэластичного спроса изменение цены и предельного дохода происходят в одном направлении, а для эластичного спроса – в разных. С возрастанием цены для продукции эластичного спроса суммарный доход от реализации продукции увеличивается, а для товаров неэластичного спроса – уменьшается.

12 Задача. Объем продукции, произведенный бригадой рабочих, может быть описан уравнением: Вычислить производительность труда через час после начала работы и за час до ее окончания. Производительность труда равна производной функции, определяющей объем продукции

13 Скорость изменения производительности равна: Темп изменения производительности равен: Определив производительность в разное время рабочего дня, можно сделать вывод о снижении или увеличении объемов производства.

14 Изменение знака скорости производительности и темпа изменения производительности позволяет провести следующие расчеты: -определить время начала снижения производительности и соответственно время снижения объема выпускаемой продукции; -определить время наибольшей производительности (max); -определить время наименьшей производительности (min).

15 Задача. Зависимость между издержками производства и объемом выпускаемой продукции задается функцией: Определить средние и предельные издержки при объеме продукции n ед. Решение. Функция средних издержек на единицу продукции при x = n равна Функция предельных издержек при x = n издержек равна

16 Дополнительные затраты на производство дополнительной единицы продукции при данном объеме производства определяю по формуле Задача. Зависимость между издержками производства и объемом выпускаемой продукции выражается функцией (ден. ед.). Определить средние и предельные издержки при объеме продукции 10 ед.

17 Решение. Функция средних издержек (на единицу продукции) выражается отношением Функция предельных издержек выражается производной; Предельные издержки при х = 10 составят Дополнительные затраты на производство дополнительной единицы продукции при данном объеме производства равны 45 – 35 =10.

18 Задача. Считая известным зависимость между себестоимостью продукции и выпуском продукции, определить эластичность себестоимости. Решение. Зависимость себестоимости продукции от выпуска продукции как правило носит линейный характер Эластичность определяется по формуле Определяют эластичность при заданном объеме выпуска продукции x = n (руб.). Увеличение выпуска продукции на 1% приведет к увеличению (снижению) себестоимости на

19 Задача. Зависимость между себестоимостью единицы продукции (тыс. руб.) и выпуском продукции (млн. руб.) выражается функцией. Найти эластичность себестоимости при выпуске продукции, равном 60 млн. руб. При выпуске продукции, равном 60 млн. руб., увеличение выпуска на 1% приведет к снижению себестоимости на 0,6%. Замечание. Увеличение выпуска продукции на 1% приведет к увеличению себестоимости при и к снижению себестоимости при на

20 Задача. Опытным путем установлены функции спроса и предложения: где q - количество покупаемого товара; s – количество продаваемого товара. Определена равновесная цена р = 2. Найти эластичность спроса и предложения для равновесной цены. Эластичность по спросу определяется по формуле

21 Эластичность по предложению определяется по формуле Для данной задачи

22 Полученные значения эластичности по абсолютной величине меньше 1. Следовательно, спрос и предложение данного товара при равновесной (рыночной) цене неэластичны относительно цены. Это означает, что изменение цены не приведет к резкому изменению спроса и предложения. При увеличении цены на 1% спрос уменьшится на 0,3% (эластичность по спросу отрицательна), а предложение увеличится на 0,8% (эластичность по предложению положительна).

23 Задача. Производитель реализует свою продукцию по цене р за единицу, а издержки при этом задаются кубической зависимостью Найти оптимальный для производителя объем выпуска продукции и соответствующую ему прибыль. Решение. Обозначают х – объем выпускаемой продукции; рх – доход от реализуемой продукции. 1. Составляют функцию прибыли 2. Находят

24 3. Определяют значения аргумента при которых производная обращается в ноль 4. Находят вторую производную 5. Определяют знак второй производной в критической точке не рассматривается по смыслу задачи

25 Если вторая производная в критической точке отрицательна, то это точка максимума Если вторая производная в критической точке положительна, то это точка минимума 5. Находят максимум (минимум) функции, т.е. максимальный (минимальный) размер прибыли прибыль максимальна при прибыль минимальна при

26 Задача. Капитал в 1 млн. рублей может быть размещен в банке под 50% годовых или инвестирован в производство, причем эффективность вложения ожидается в размере 100%, а издержки задаются квадратичной зависимостью. Прибыль облагается налогом в р%. При каких значениях р вложение в производство является более эффективным, нежели чистое размещение капитала в банке? Решение. Обозначим х - (млн. руб.) инвестируется в производство, а ( 1-х ) - размещается под проценты. Тогда размещенный капитал через год станет равным

27 Капитал, вложенный в производство через год станет равным Издержки Прибыль от вложения в производство Налоги составят Чистая прибыль равна

28 Из условия равенства нулю первой производной, найдем значение критической точки Найдем вторую производную Согласно второму достаточному условию экстремума если вторая производная отрицательна, то х 0 точка максимума.

29 Общая сумма через год составит: Для определения наиболее эффективного вложения капитала, необходимо исследовать полученную зависимость на экстремум, то есть найти максимальное значение этой функции на отрезке [0, 1].

30 Значение х 0 принадлежит отрезку [0, 1] Таким образом, если прибыль облагается налогом р > 25%, то выгоднее ничего не вкладывать в производство и разместить весь капитал в банк. из этого неравенства

31 Если p < 25%, то можно показать, что при x = x 0 Следовательно, вложение в производство является более выгодным, чем чистое размещение под проценты.