V Pārejas procesi

Ņ.Nadežņikovs Pārejas procesi2 Komutācijas likumi Ja elektriskās ķēdes zaru strāvas un spriegumi nemainās vai mainās periodiski pēc vienas un tās pašas likumsakarības, tad tādu elektriskās ķēdes režīmu sauc par stacionāru darba režīmu. Ja elektrisko ķēdi vai ķēdes zaru pievieno spriegumam vai atvieno no sprieguma, vai maina ķēdes

Ņ.Nadežņikovs Pārejas procesi3 tā parametrus R, L vai C, tad šo darbību, jeb, komutāciju rezultātā mainās ķēdē uzkrātie elektriskās un magnētiskās enerģiju daudzumi, t.i., notiek ķēdes pāreja no viena darba režīma citā režīmā. Šo režīmu maiņu sauc par pārejas procesu. Pieņem, ka komutācija noris momentāni. Pārejas procesi parasti noris ļoti ātri, to ilgums

Ņ.Nadežņikovs Pārejas procesi4 bieži vien ir desmitdaļas, simtdaļas, pat miljondaļas sekundes; reti pārejas procesi ilgst vairākas sekundes. Plūstot strāvai, ķēdes induktīvie elementi magnētiskajā laukā uzkrāj noteiktu enerģijas daudzumu. Šī enerģija, ķēdi ieslēdzot, nevar momentāni uzkrāties vai, ķēdi izslēdzot, - momentāni izkliedēties. Tas pats notiek pieslēdzot vai atslēdzot

Ņ.Nadežņikovs Pārejas procesi5 kapacitatīvu elementu – enerģijas uzkrājēju elektriskajā laukā. Šo procesu norisei nepieciešams noteikts laiks. Šīs elektrisko ķēžu īpašības ir ietvertas divos t.s. komutācijas likumos: 1.strāva ķēdes induktīvā elementā komutācijas momentā nemainās; i L (-0)=i L (+0).

Ņ.Nadežņikovs Pārejas procesi6

7 2. spriegums uz ķēdeskapacitatīvā elementa komutācijas momentā nemainās; u C (-0)=u C (+0).

Ņ.Nadežņikovs Pārejas procesi8

9 Pārejas procesu analīzes un aprēķina metodes Katrai elektriskajai ķēdei jebkuram laika momentam var uzrakstīt Kirhofa likumu izteiksmes spriegumu un strāvu momentānajām vērtībām. Lineārām ķēdēm ar nemainīgiem parametriem R, L un C šīs izteiksmes būs lineāri diferenciālvienādojumi ar konstantiem

Ņ.Nadežņikovs Pārejas procesi10 koeficientiem no kuriem aprēķina strāvas un spriegumus. Tā, piem., ja ķēdi ar pretestību R un induktivitāti L pievieno līdzspriegumam U 0, tad pārejas procesa laikā iR+u L -U 0 =0, vai

Ņ.Nadežņikovs Pārejas procesi11

Ņ.Nadežņikovs Pārejas procesi12

Ņ.Nadežņikovs Pārejas procesi13 Nehomogēna difereciālvienādojuma vispārīgais atrisinājums sastāv no divām daļām: šī vienādojuma partikulārā atrisinājuma un atbilstošā homogēnā vienādojuma vispārīgā atrisinājuma. Partikulārais atrisinājums attiecas uz ķēdes stacionāru režīmu, kas iestājas pārejas procesa beigās. Atrisinājumā iegūtās strāvas un spriegumus sauc par

Ņ.Nadežņikovs Pārejas procesi14 uzspiestām strāvām un spriegumiem (tos ķēdei uzspiež avoti). Diferenciālvienādojumam atbilstošais homogēnais vienādojums (bez labās puses) atbilst ķēdei, kurā avotu nav. Tāpēc režīmu sauc par brīvo un

Ņ.Nadežņikovs Pārejas procesi15 iegūtos atrisinājumus par brīvām strāvām un spriegumiem. Pārejas procesa strāvas un spriegumus var uzskatīt kā uzspiesto un brīvo komponenšu summu: i = i uz +i br, u = u uz +u br. Šo pārejas procesu analīzes metodi sauc par klasisko, jo tā balstīta uz

Ņ.Nadežņikovs Pārejas procesi16 lineāro diferenciālvienādojumu atrisinājumu īpašību. Izmanto arī citas aprēķinu metodes, kuras šeit netiek apskatītas.

Ņ.Nadežņikovs Pārejas procesi17 RL ķēdes pieslēgšana līdzsprieguma avotam

Ņ.Nadežņikovs Pārejas procesi18 Doti: U 0, R un L. Jānosaka, norises ķēdē tās pieslēgšanas laikā. Pēc komutācijas spriegumu līdzsvara vienādojums būs Atrisinājumu meklē formā i = i uz +i br,

Ņ.Nadežņikovs Pārejas procesi19 kur i uz ir stacionāra režīma strāva, kad pārejas process jau ir beidzies ( d/dt=0 ), t.i. i uz =U 0 /R. i br atrod, atrisinot atbilstošo homogēno vienādojumu

Ņ.Nadežņikovs Pārejas procesi20 Raksturīgais vienādojums Lp+R=0, kura sakne ir p =-R/L. Atrisinājums kur A – integrēšanas konstante. Nehomogēnā vienādojuma vispārīgais

Ņ.Nadežņikovs Pārejas procesi21 atrisinājums Saskaņā ar pirmo komutācijas likumu, momentā t=0, strāva i(-0)=i(0)=0, tāpēc A=-U 0 /R un

Ņ.Nadežņikovs Pārejas procesi22 Lielumam |1/p| ir laika dimensija s, to apzīmē ar τ un sauc par ķēdes laika konstanti τ = L/R. To, ievietojot atrisinājumā, iegūst Attēlojot šo funkciju grafiski, laiku t ir izdevīgi skaitīt τ vienībās. Reāli pārejas process ilgst 4τ sekundes.

Ņ.Nadežņikovs Pārejas procesi23

Ņ.Nadežņikovs Pārejas procesi24 Spriegums uz rezistora R uz induktīvā elementa L

Ņ.Nadežņikovs Pārejas procesi25 RC ķēdes pieslēgšana līdzsprieguma avotam

Ņ.Nadežņikovs Pārejas procesi26 Ieslēdzot slēdzi, notiek kondensatora C uzlāde caur rezistoru R no līdzsprieguma avota U 0. Pēc otrā Kirhofa likuma, ķēdē pēc komutācijas iR+u C =U 0. Tā kā i = Cdu c /dt, tad RCdu c /dt+u c = U 0. Tas ir pirmās kārtas nehomogēns diferenciālvienādojums.

Ņ.Nadežņikovs Pārejas procesi27 Atrisinājumu meklē formā u C = u Cuz +u Cbr. u Cuz ir spriegums uz kondensatora, kad pārejas process ir norimis. Acīm redzot, u Cuz = U 0. Atrisinājuma otru daļu atrod, atrisinot atbilstošo homogēno vienādojumu RCdu Cbr /dt+u Cbr =0.

Ņ.Nadežņikovs Pārejas procesi28 Raksturīgais vienādojums RCp+1 =0, kura sakne p=-1/RC. Homogēnā vienādojuma atrisinājums u Cbr = Be pt. Nehomogēnā vienādojuma atrisinājums u C =U 0 +Be pt. Integrēšanas konstantes B noteikšanai

Ņ.Nadežņikovs Pārejas procesi29 izmanto nosacījumu, ka pirms kondensatora pieslēgšanas, tas nebija uzlādēts – u C (-0) = 0. Tad saskaņā ar otro komutācijas likumu u C (0)=u C (-0)=0. Atrisinājums apmierina šo nosacījumu, ja B=-U 0. Lielumam |1/p|=RC ir laika dimensija s, To apzīmē ar simbolu τ un sauc par laika konstanti, τ =RC.

Ņ.Nadežņikovs Pārejas procesi30 Tādā veidā, spriegums uz kondensatora strāva ķēdē

Ņ.Nadežņikovs Pārejas procesi31

Ņ.Nadežņikovs Pārejas procesi32 Kondensatora izlāde caur rezistoru

Ņ.Nadežņikovs Pārejas procesi33 Līdzsprieguma avots uzlādējis kondensatoru C līdz spriegumam U 0. Slēdzi pārslēdzot, kondensators caur rezistoru R izlādējas. Kondensatora elektriskajā laukā uzkrātā enerģija rezistorā pārveidojas siltumā. Kontūrā, kurš izveidojas pēc komutācijas, iR+u C =0. Par cik avotu nav, u Cuz =0.

Ņ.Nadežņikovs Pārejas procesi34 Atrisinājums u C = u Cbr = Ae -t/τ, A integrēšanas konstante, τ =RC laika konstante. Tā kā kondensators bija uzlādēts līdz spriegumam U 0,tad saskaņā ar komutācijas likumu u C (-0)=u C (0)=U 0, un A = U 0. Līdz ar to,

Ņ.Nadežņikovs Pārejas procesi35

Ņ.Nadežņikovs Pārejas procesi36 Induktīvas spoles atslēgšana Atslēdzot elektriskās ķēdes zaru, kuram ir ievērojama induktivitāte L, tajā inducējas liels pašindukcijas EDS, kas var daudzkārt pārsniegt tīkla spriegumu. Šī pārsprieguma darbības rezultātā var notikt izolācijas vai gaisa spraugu caursite, kas izraisīs avārijas situāciju. Lai novērstu pārspriegumu

Ņ.Nadežņikovs Pārejas procesi37 rašanos, paralēli induktīviem elementiem ieslēdz izlādes rezistorus.

Ņ.Nadežņikovs Pārejas procesi38 Pēc komutācijas (slēdža atslēgšanas) i 1 +i 2 =0, i 1 R izl -i 2 R L -Ldi 2 /dt=0. Izslēdzot i 1 (i 1 =-i 2 ), iegūst Ldi 2 /dt+i 2 (R L +R izl )=0. Šī homogēnā diferenciālvienādojuma atrisinājums ir

Ņ.Nadežņikovs Pārejas procesi39 kur Spriegums uz izlādes rezistora u izl =i 2 R izl.

Ņ.Nadežņikovs Pārejas procesi40 Pārejas procesu aprēķins pirmās kārtas ķēdēs No iepriekš analizētajiem piemēriem redzams, ka ķēdēs ar vienu enerģijas uzkrājēju (L vai C) pārejas procesus apraksta pirmās kārtas diferenciālvienādojumi. Tāpēc šādas ķēdes sauc par pirmās kārtas ķēdēm. Lai noteiktu kādas strāvas vai

Ņ.Nadežņikovs Pārejas procesi41 sprieguma maiņas likumu pirmās kārtas ķēdē, nav jāraksta tam atbilstošais diferenciālvienādojums, jo jebkuras strāvas un sprieguma uzspiestās un sākuma vērtības var noteikt no Kirhofa vienādojumu sistēmas, kas sastādīta shēmai pēc komutācijas, ņemot vērā komutācijas likumus.

Ņ.Nadežņikovs Pārejas procesi42

Ņ.Nadežņikovs Pārejas procesi43 Kirhofa vienādojumi shēmai pēc komutācijas i 1 = i 2 +i 3, i 1 R 1 +Ldi 2 /dt=U 0, i 1 R 1 +i 3 R 3 =U 0. Uzspiestajā režīmā di 2 /dt =0, tāpēc i 1 = U 0 /R 1 un tālāk viss pārējais. Strāvu sākuma vērtības atrodamas no

Ņ.Nadežņikovs Pārejas procesi44 i 1 (0) = i 2 (0)+i 3 (0), i 1 (0)R 1 +Ldi 2 (0)/dt=U 0, i 1 (0)R 1 +i 3 (0)R 3 =U 0. Tā kā i 2 ir induktīva elementa strāva, tad tai jāpakļaujas pirmajam komutācijas likumam, t.i., i 2 (-0) =i 2 (0), bet i 2 (-0) = 0. Tas nozīmē, ka i 1 (0) = i 3 (0) = U 0 /(R 1 +R 3 ).

Ņ.Nadežņikovs Pārejas procesi45 Atrisinājums priekš i 1 i 1 = U 0 /R 1 +Ae -t/τ. Momentā t=0 i 1 (0) = U 0 /R 1 +Ae -0 = U 0 /(R 1 +R 3 ), no kurienes A = -U 0 R 3 /R 1 (R 1 +R 3 ). Atliek noteikt laika konstanti τ. Viena no metodēm paredz raksturīgā vienādojuma sastādīšanu, izmantojot

Ņ.Nadežņikovs Pārejas procesi46 ieejas pretestības izteiksmi. Darbību secība ir sekojoša: 1.sprieguma avota vietu savieno īsi, pārtrauc jebkuru pēc komutācijas izveidotās shēmas zaru; 2.Sastāda kompleksās ieejas pretestības izteiksmi attiecībā pret pārtraukuma vietu, j vietā rakstot parametru p ;

Ņ.Nadežņikovs Pārejas procesi47 3. iegūto izteiksmi pielīdzina nullei un atrod šī vienādojuma sakni. Aprēķinu shēma

Ņ.Nadežņikovs Pārejas procesi48 Rezistoru R 1 un R 3 zari savstarpēji ir slēgti paralēli, bet attiecībā pret L zaru – virknē, tāpēc Lp+R 1R 3 /(R 1 +R 3 ) = 0 un p= -R 1R 3 /L(R 1 +R 3 ). Laika konstante τ =|1/p|= L(R 1 +R 3 )/R 1R 3.

Ņ.Nadežņikovs Pārejas procesi49 Kondensatora uzlāde caur RL no līdzsprieguma avota

Ņ.Nadežņikovs Pārejas procesi50 Pēc otrā Kirhofa likuma ķēdē pēc komutācijas spriegumu līdzsvaru izsaka u R +u L +u C =U 0, vai ievērojot, ka u R =iR, u L =Ldi/dt, i=Cdu C /dt, iznāk

Ņ.Nadežņikovs Pārejas procesi51 Tas ir otrās kārtas nehomogēns diferenciālvienādojums, kura atrisinājumu meklē formā u C = u Cuz +u Cbr. Kad pārejas process beigsies, kondensators būs uzlādējies līdz U 0 un strāva ķēdē būs nulle. Tātad u Cuz =U 0. Brīvā režīma spriegumu apraksta atbilstošais homogēnais vienādojums.

Ņ.Nadežņikovs Pārejas procesi52 Raksturīgajam vienādojumam LCp 2 +RCp+1 = 0 ir divas saknes Atkarībā no R, L un C vērtībām

Ņ.Nadežņikovs Pārejas procesi53 iespējami trīs gadījumi. 1.Saknes p 1 un p 2 ir dažādi reāli skaitļi. Tādā gadījumā brīvā režīma izteiksme uzrakstāma šādi: Procesu sauc par aperiodisku, t.i., bez svārstībām.

Ņ.Nadežņikovs Pārejas procesi54 2. Saknes p 1 = p 2 = p ir vienādas, kad Atrisinājumu raksta formā u Cbr =(A 1 +A 2 t)e pt. 3. Saknes p1 un p2 ir kompleksi sistīti skaitļi

Ņ.Nadežņikovs Pārejas procesi55 kur Brīvā režīma atrisinājumu šajā gadījumā raksta formā u Cbr =Ae - t sin( 0 t+ ), kur A un integrēšanas konstantes

Ņ.Nadežņikovs Pārejas procesi56 Nehomogēnā vienādojuma vispārīgais atrisinājums u C =U 0 +Ae - t sin( 0 t+ ), Sākuma nosacījumi integrēšanas konstanšu noteikšanai i L (0)=0 un un u C (0)=0. Atrisinājums galīgā formā

Ņ.Nadežņikovs Pārejas procesi57 =arctg( 0 / ),.

Ņ.Nadežņikovs Pārejas procesi58

Ņ.Nadežņikovs Pārejas procesi59 Ja neņem vērā R, tad