Максимум и минимум функции

Повторение Найти область определения функции Найти множество значений функции Указать наибольшее значение функции Указать наименьшее значение функции у х [- 7; 8] [- 2; 4] у наиб. = 4 у наим. = – 2

Указать наибольшее значение функции на [-6; 0]. Указать наименьшее значение функции на [1; 6] у х Повторение

Геометрический смысл производной. Производная функции в точке x 0 равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f(x) в этой точке. Повторение

х 2 х 3 х 4 х у В точке х 2 угол наклона касательной – острый, значит, В точке х 4 угол наклона касательной – тупой, значит, В точке х 3 угол наклона касательной – равен 0°, значит,

Максимум функции на отрезке Определение Говорят, что функция у = f(х) принимает на отрезке [a; b] наибольшее значение в точке х 0 є [a;b], если для любого х є [a;b] выполняется f(x 0 ) f(x). Наибольшее значение называют максимумом функции на отрезке [a;b], а точку х 0 – точкой максимума Обозначение:

Минимум функции на отрезке. Определение Говорят, что функция у = f(х) принимает на отрезке [a; b] наименьшее значение в точке х 0 є [a;b], если для любого х є [a;b] выполняется f(x 0 ) f(x). Наименьшее значение называют минимумом функции на отрезке [a;b], а точку х 0 – точкой минимума Обозначение:

Точка О є (-1; 1) Интервал (-1; 1) – окрестность точки О. Определение Окрестностью точки называется некоторый интервал, содержащий данную точку x y 1 -1 О у = f(х)

Пусть т. О є (-1; 1) Для любого х из окрестности точки О: f(0) > f(х) f(0) – максимальное значение функции на данном промежутке, т.е. х = 0 – точка локального максимума. x y 1 -1 О

Точка А є (3; 5). Для любого х из окрестности точки А: f(4) < f(х) f(4) – минимальное значение функции на данном промежутке, т.е. х = 4 – точка локального минимума. x y 1 -1 А 4 5 3

y x O Сколько точек локального минимума и локального максимума имеет функция у=f(х)? у = f(х)

Точки локального максимума и локального минимума функции называются точками локальных экстремумов функции. y x O у = f(х) Чему равна производная в точках локального экстремума?

Теорема Ферма. (Необходимое условие экстремума) Теорема.Теорема. Если х 0 - точка экстремума дифференцируемой функции f(х), то f ´(х 0 ) = 0. Геометрический смысл. x y у = f(х) x1x1 x2x2 f´(х 1 ) = 0 f´(х 2 ) = 0 Ответим на вопрос - верно ли обратное утверждение: если функция дифференцируема в точке х 0 и f ´(х 0 ) = 0, то следует ли, что х 0 - точка экстремума?

f (х) = х 3 f ´(х) = 3 х 2 3 х 2 = 0; х = 0, т.е. f ´(0) = 0, но точка х = 0 не есть точка максимума или точка минимума (обоснуйте, используя определение) Значит, х = 0 – не является точкой экстремума. Интересно: f ´(х 0 ) = 0 х 0 - точка экстремума f (х)= х 3 Точки, в которых f´(х) = 0 называются стационарными точками.

Задача 1 Найти наибольшее и наименьшее значение функции f (х) = х х 2 на [-1; 4] Решение. 1) f ´ (х) = 3 х х 2) 3 х 2 – 6 х = 0 3 х (х - 2) =0 x = 0 и х - 2 = 0 х = 2 3) f (-1) = (-1) 3 – 3(-1) 2 =- 4 f (0) =0 f (2) = 2 3 – 32 2 = f (4) = 4 3 – 34 2 =

Найти максимум и минимум функции f(x)= |x-2| на отрезке [0; 6] В точке х = 2 функция не имеет производной (см. П.4.1) f(х)=|x-2| x y Решение Определение. Точки, в которых производная функции равна нулю или не существует, называют критическими точками этой функции. Задача 2

Ответьте на вопросы. Что называется максимумом функции на отрезке? Что называется минимумом функции на отрезке? Что называется локальным минимумом? Локальным максимумом? Какие точки называются точками экстремума? Чему равна производная в точке экстремума? Верно ли обратное утверждение? Как называются точки, в которых производная функции равна нулю? Какие точки называются критическими точками функции?

Проверь себя (пронумеруй задания 1 – 7, запиши ответы и сверь их с ответами, приведёнными в таблице на последнем слайде)

1 В каких точках производная функции равна нулю? x y 1 1 х 1 х 3 х 2 х 4 х 5 х 6 х 6 O у = f(х)

x y O В каких точках производная функции равна нулю? х 1 х 2 х 3 у = f(х)

x y 3 В каких точках производная функции равна нулю? O 1 1 х 1 х 2 х 3 у = f(х)

4 В каких точках производная функции равна нулю? Не существует? Ox y 1 1 х 1 х 2 х 3 х 4 у = f(х)

5 В каких точках производная функции равна нулю? Ox y 1 1 х 1 х 2 х 3 х 4 у = f(х)

6 В каких точках производная функции равна нулю? Не существует? Ox y 1 1 х 1 х 2 х 3 х 4 х 5 х 6 х 7 у = f(х)

7 В каких точках производная функции равна нулю? Не существует? Ox y 1 1 х 1 х 2 х 3 х 4 х 4 х 5 х 5 х 6 х 7 х 7 у = f(х)

задания Производная равна 0 в точках Производная не существует в точках 1 х 1, х 3, х 5 2 х ( х 3 ; х 4 )х 2 ; х 3 5 х 3 6 ( х 1 ; х 2 ), ( х 3 ; х 4 )х 1 ; х 2 ; х 3 ; х 4 ; х 5 ; х 6 7 х 1 ; х 4 ; х 6 х 2 ; х 3