Алгебра 11 класс Липлянская Татьяна Геннадьевна, учитель математики МОУ «СОШ 3» города Ясного Оренбургской области

Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла 1. О вычислении площади криволинейной трапеции 2. О вычислении массы стержня 3. О перемещении точки

Задача 1. О вычислении площади криволинейной трапеции х у О y= f(x) Фигура, ограниченная графиком непрерывной и неотрицательной на отрезке [a;b] функции, осью х, прямыми х=а и х= b (a<b), называется криволинейной трапецией а b х 1 х 1 х 2 х 2 x n-1 Площадь трапеции = сумме площадей столбиков

х у О хkхk x k+1 f (x k )

х у О y= f(x) а b х 1 х 1 х 2 х 2 x n-1 Площадь трапеции приближенно равна площади S n Чем больше n, тем точнее S Площадь криволинейной трапеции равна пределу последовательности S n

Задача 2. Дан прямолинейный неоднородный стержень. Найти массу стержня. ab 1. Разобьем отрезок [a;b] на равные части 2. Рассмотрим участок [x k ;x k+1 ], допустим что его плотность постоянна

Задача 3. По прямой движется точка. Зависимость скорости от времени v=v(t). Найти перемещение точки за промежуток времени [a;b] 1. Разделим промежуток времени [a;b] на n-равных частей 2. Рассмотрим [t k ;t k+1 ]. Будем считать, что на этом промежутке скорость была постоянной.

Три задачи привели к новой математической модели: Новый термин Обозначение Научиться с ней работать

Определенный интеграл Называют определенным интегралом от функции по отрезку [a;b]

Площадь криволинейной трапеции Масса неоднородного стержня Перемещение точки Геометрический смысл определенного интеграла Физический смысл определенного интеграла

История возникновения знака интеграла S сумма Интеграл от лат. integer - «целый»

Для вычисления определенного интеграла используют формулу Ньютона-Лейбница

Формула Ньютона -Лейбница Теорема:

Пример 1

Правила вычисления определенного интеграла