МОУ «СОШ с. Камелик Пугачевского района Саратовской области». Доклад на тему: «Прогрессии и банковские расчеты». Работу выполнила ученица 9 класса Губарькова Елена. Руководитель работы Сенина Сания Умерзаховна, учитель математики МОУ «СОШ с.Камелик Пугачевского района Саратовской области.

В нашей работе мы постараемся ответить на несколько вопросов: 1. Что представляют собой арифметичешская и геометричешская прогрессссии. 2. Кто автор теории о прогресссиях. 3. Как и каким образом прогрессссии применяются в банковских расчетах. 4. Как известные литературные герои извлекали выгоду, не владея знаниями о прогресссиях. 5. Как, используя имеющийся багаж знаний, выгодно сделать вклад.

Объектом исследования рассмотрим последовательности: арифметическую и геометрическую прогрессссии. Предметом исследования изучим: практическое применение этих прогрессссий в банковских расчетах.

Арифметичешская прогресссия – числовая последовательность, в которой каждое последующее число, начиная со второго, получается из предыдущего увеличением его на определенное число. Имеет вид: a 1, a 1 +d,a 1 +2d, a 1 +3d, … a 1 +(n-1)d, …

Геометри́чешская прогресс́сия последовательность чисел, в которой каждое последующее число, начиная со второго, получается из предыдущего умножением его на определённое число. Имеет вид: b 1, b 1 q, b 1 q 2, b 1 q 3,…,b 1 q n-1,…

Характеристические свойства прогрессссий. Арифметической прогрессссии:

Геометрической прогрессссии:

Формулы суммы прогрессссий. Арифметической прогрессссии: Геометрической прогрессссии:

Формула суммы бесконечной геометрической прогрессссии при /q/<1 :

Первые теоретические сведения, связанные с прогресссиями, дошли до нас в документах Древней Греции.

В Древнем Египте в V в до н.э. греки знали прогрессссии и их суммы: …+n = =2+4+6+…+2n = n·(n+1).

Некоторые формулы, относящиеся к прогресссиям, были известны китайским и индийским ученым (V в.)

В трудах АРХИМЕДА (ок гг. до н.э.) излагаются первые сведения о прогресссиях.

Итак,считается, что наряду с изобретением колеса создание банковской системы явилось одним из важнейших изобретений человечества.

Слово «банк» ведет свое происхождение от латинского слова banko (банко)-скамья, лавка.

По истечении первого года сумма начисленных процентов составит: И величина вклада станет равной: или Пусть на счет внесен вклад в размере S 0 р. Банк обязуется в конце каждого года выплачивать вкладчику p 0 % от первоначальной суммы.

Если вкладчик оставит всю сумму S 1 на счете, то по прошествии второго года ему вновь начислят р % на первоначальную сумму S 0 р. и величина вклада станет равной.

Если вкладчик снова оставляет на счете всю сумму денег, то по прошествии третьего года ему вновь начислят сумму И величина вклада достигнет значения

Пример 1. В сберкассу положили р., на которые начисляют 4 % годовых. Сколько денег будет в конце первого года хранения? Через 5 лет? Решение. 1. Прибыль в конце первого года составит х 0, 04=400 (р) Конечный капитал х 0,04=10400 (р). 2. Через 5 лет: S 5 =10000 х (1+ ), S 5 =10000 х(1+5 х 0.04 )= (р). Ответ: В конце первого года хранения на счете будет р., а через 5 лет р.

Пример 2. Вкладчик положил в банк р. При условии, что банк начислит 5% годовых. Через 2 года 4 месяца и 20 дней вкладчик закрыл счет. Какую сумму выплатит банк вкладчику? Решение. 1. За 2 года прибыль составит ( х 5 х 2):100=1000 (р). 2. За два месяца по ставке % банк начислит ( х 5 х 4):12 х 100=166,7 (р). 3. За 20 дней по ставке% банк начислит =27,4 (р). Итак, вкладчик получит S= ,7+27,4=11 194,1(р) Ответ: , 1 р.

Таким образом через два года. По истечении третьего года банк начислит р % на сумму S 2 р., и на счете окажется сумма. Теперь становится понятно. Что через n лет на счете вкладчика окажется сумма.

Мы видим, что эти числа образуют геометрическую прогрессссию с первым членом. и знаменателем первоначальный вклад растет как геометричешская прогресссия со знаменателем формула (1)

Пример. Вкладчик положил в банк р. по схеме сложных процентов под 8 % годовых. Какая сумма денег будет на вкладе через 5 лет. Решение. По формуле сложных процентов имеем: Ответ , 92 р.

Пример. Сколько денег нужно внести в банк под 8 % годовых, чтобы через 11 лет иметь на счете р.? Решение. Итак, Значит, S n = , p=8%, n=11. Тогда Ответ р

Задача. Банк «Магнат» принимает у населения вклады под 16% годовых и начисляет простой процент. Банк «Капитал» принимает вклады у населения под 15% годовых и начисляет сложный процент. Вы хотите положить в банк 500 тыс. рублей. В каком банке Вы откроете счёт, если срок вклада составит 1 год? 2 года, при условии, что деньги хранятся на счету весь срок? Решение. Срок вклада – 1 год: ( тыс. руб.); Срок вклада – 2 года: (тыс.руб); Ответ: на один год – в банке «Магнат»; на два года – в банке «Капитал».

ЗАДАЧА ИУДУШКИ ГОЛОВЛЁВА На вклады с длительными сроками хранения банки обычно устанавливают сложные проценты. Вот и ломбард, взяв на хранение деньги (а во времена описанных в романе событий он выполнял эту функцию банка), должен был начислять на них сложные проценты. Итак, согласно условию задачи a = 100 рублей, n = 50 и a50 = 800 рублей. Процент годовых найдём из уравнения 100×(1 + 0,01p)50 = 800. Получим p 4,25%. Ответ:4,25%.

Заключение. 1. Рассмотрели основные формулы арифметической и геометрической прогрессссий. 2. В банковских расчетах применяются простые и сложные проценты, непосредственно связанные с прогресссиями. 3. Установили, что сами по себе прогрессссии известны так давно, что нельзя говорить о том, кто их открыл. 4. Литературные герои извлекали для себя выгоду интуитивно, не владея знаниями о прогресссиях. 5. Сделать вклад выгодно можно, но нужно учесть процентную ставку и срок хранения.

Спасибо за внимание!