Ожидаемая ценность точной информации Ожидаемая ценность точной информации о фактическом состоянии рынка равна разности между ожидаемой денежной оценкой при наличии точной информации и максимальной ожидаемой денежной оценкой при отсутствии точной информации. При отсутствии точной информации максимальная ожидаемая денежная оценка равна: ОДО = 0, , = дол. Если точная информация об истинном состоянии рынка будет благоприятной, принимается решение строить крупное производство, если неблагоприятной, то наиболее целесообразное решение - продажа патента. Учитывая, что вероятности благоприятной и неблагоприятной ситуаций равны 0,5, значение ОДО точной информации определяется выражением: ОДО т.и = 0, , = дол. Тогда ожидаемая ценность точной информации равна: ОЦ т.и = ОДО т.и - ОДО = = дол. Значение ОЦ т.и показывает, какую максимальную цену должна быть готова заплатить компания за точную информацию об истинном состоянии рынка в тот момент, когда ей это необходимо.

Задачи с решениями Задача 3.5. Компания «Российский сыр» - небольшой производитель различных продуктов из сыра на экспорт. Один из продуктов -сырная паста - поставляется в страны ближнего зарубежья. Генеральный директор должен решить, сколько ящиков сырной пасты следует производить в течение месяца. Вероятности того, что спрос на сырную пасту в течение месяца будет 6, 7, 8 или 9 ящиков, равны соответственно 0,1; 0,3; 0,5; 0,1. Затраты на производство одного ящика равны 45 дол. Компания продает каждый ящик по цене 95 дол. Если ящик с сырной пастой не продается в течение месяца, то она портится и компания не получает дохода. Сколько ящиков следует производить в течение месяца? Решение. Пользуясь исходными данными, строим матрицу игры. Стратегиями игрока 1 (компания «Российский сыр») являются различные показатели числа ящиков с сырной пастой, которые ему, возможно, следует производить. Состояниями природы выступают величины спроса на аналогичное число ящиков.

Задачи с решениями Каждый ящик продается по 95 дол. Допустим компания продала 7, а произвела 8 ящиков. Следовательно, выручка будет 7 95, а издержки производства 8 45.Итого, прибыль от указанного сочетания спроса и предложения будет равна = 305 дол. Аналогично производятся расчеты при других сочетаниях спроса и предложения. В итоге получим следующую платежную матрицу в игре с природой (табл.3). Как видим, наибольшая средняя ожидаемая прибыль равна 352,5 дол. Она отвечает производству 8 ящиков.

Задачи с решениями На практике чаще всего в подобных случаях решения принимаются исходя из критерия максимизации средней ожидаемой прибыли или минимизации ожидаемых издержек. Однако, привлекая дополнительную информацию в форме расчета среднеквадратичного отклонения как индекса риска, мы можем уточнить принятое на основе максимума прибыли или минимума издержек решение. Проводя соответствующие вычисления получаем: M(ξ 2 ) = (0,1 + 0,3 + 0,5 + 0,1) = ; 6 ящиков: M(ξ 2 ) = (0,1 + 0,3 + 0,5 + 0,1) = ; (Mξ) 2 = = ; Dξ = = 0; Ϭ ξ = 0. (Mξ) 2 = = ; Dξ = = 0; Ϭ ξ = 0. M(ξ 2 ) = , ,9 = ,5; 7 ящиков: M(ξ 2 ) = , ,9 = ,5; (Mξ) 2 = 340,5 2 = ; Dξ = , = 812,5; Ϭ ξ = 28,5. M(ξ 2 ) = 0, , , =128317,5; 8 ящиков: M(ξ 2 ) = 0, , , =128317,5; (Mξ) 2 = = ,25; Dξ = , ,25 = 4 061,25; Ϭ ξ=63,73. M(ξ 2 )= 0, , , =106265; (Mξ) 2 = =100489; Dξ = = 5776; Ϭ ξ = ящиков: M(ξ 2 )= 0, , , =106265; (Mξ) 2 = =100489; Dξ = = 5776; Ϭ ξ = 76.

Задачи с решениями В ы в о д. Из представленных результатов расчетов с учетом полученных показателей рисков (среднеквадратичных отклонений) очевидно, что производить 9 ящиков сыра при любых обстоятельствах нецелесообразно, ибо средняя ожидаемая прибыль, равная 317, меньше, чем для 8 ящиков (352,5), а среднеквадратичное отклонение (76) для 9 ящиков больше аналогичного показателя для 8 ящиков (63,73). Ϭ ξ Ϭ ξ Ϭ ξ А вот целесообразно ли производство 8 ящиков по сравнению с 7 или 6 - неочевидно, так как риск при производстве 8 ящиков ( Ϭ ξ = 63,73) больше, чем при производстве 7 ящиков ( Ϭ ξ = 28,5) и тем более 6 ящиков, где Ϭ ξ = 0. Вся информация с учетом ожидаемых прибылей и рисков налицо. Решение должен принимать генеральный директор компании «Российский сыр» с учетом его опыта, склонности к риску и степени достоверности показателей вероятностей спроса: 0,1;0,3;0,5;0,1. Авторы, учитывая все приведенные числовые характеристики случайной величины - прибыли, склоняются к рекомендации производить 7 ящиков (не 8, что вытекает из максимизации прибыли без учета риска!).

Задачи с решениями Задача 3.6. Рассмотрим упомянутую выше проблему закупки угля для обогрева дома. Имеются следующие данные о количестве и ценах угля, необходимого зимой для отопления дома (табл. 3.4). Вероятности зим: мягкой - 0,35; обычной - 0,5; холодной - 0,15. Эти цены относятся к покупкам угля зимой. Летом цена угля 6 ф. ст. за 1 т, у вас есть место для хранения запаса угля до 6 т, заготавливаемого летом. Если потребуется зимой докупить недостающее количество угля, докупка будет по зимним ценам. Предполагается, что весь уголь, который сохранится до конца зимы, в лето пропадет. Сколько угля летом покупать на зиму?

Задачи с решениями Решение. Построим платежную матрицу. Произведем расчет ожидаемой средней платы за уголь (табл. 3.6). аналогично задаче 3.5 вычислим среднеквадратичные отклонения платы за уголь для мягкой, обычной и холодной зимы: Ϭ ξ для мягкой зимы Ϭ ξ = 5,357; Ϭ ξ для обычной зимы Ϭ ξ = 2,856; Ϭ ξ для холодной зимы Ϭ ξ = 0.

Задачи с решениями Минимальный риск будет для холодной зимы, однако при этом ожидаемая средняя плата за уголь оказывается максимальной - 36 ф. ст. Ϭ ξ Вывод. Авторы склоняются к варианту покупки угля для обычной зимы, так как согласно табл. 3.6 ожидаемая средняя плата за уголь по сравнению с вариантом для мягкой зимы возрастает на 3,5%, а степень риска при этом оказывается почти в 2 раза меньшей ( Ϭ ξ = 2,856 против 5,357). Отношение среднеквадратичного отклонения к математическому ожиданию, вариабельность (средний риск на затрачиваемый 1 ф. ст.) для обычной зимы составляет против аналогичного показателя для мягкой зимы, равного т.е.вновь различие почти в 2 раза. Эти соотношения и позволяют рекомендовать покупку угля, ориентируясь не на мягкую, а на обычную зиму.

Задачи с решениями Задача 3.7. АО «Фото и цвет» - небольшой производитель хи­ мических реактивов и оборудования, которые используются некото­ рыми фотостудиями при изготовлении 35-мм фильмов. Один из продуктов, который предлагает «Фото и цвет», - ВС-6. Президент АО продает в течение недели 11, 12 или 13 ящиков ВС-6. От прода­жи каждого ящика АО получает 35 дол. прибыли. Как и многие фо­ тографические реактивы, ВС-6 имеет очень малый срок годности. Поэтому, если ящик не продан к концу недели, он должен быть уничтожен. Каждый ящик обходится предприятию в 56 дол. Вероят­ ности продать 11, 12 и 13 ящиков в течение недели равны соответ­ ственно 0,45; 0,35; 0,2. Как вы советуете поступить? Как вы пореко­ мендуете поступить, если бы «Фото и цвет» мог сделать ВС-6 с до­ бавкой, значительно продлевающей срок его годности? Решение. Матрицу игры с природой (здесь АО «Фото и цвет» -игрок с природой, а природа - торговая конъюнктура) строим по аналогии с рассмотренными выше задачами (табл. 3.7).

Задачи с решениями Расчет средней ожидаемой прибыли производится с использованием вероятностей состояний природы, как и в задачах 3.5 и 3.6. Вывод. Наибольшая из средних ожидаемых прибылей (385 дол.) отвечает при заданных возможностях спроса производству 11 ящиков. Ϭ ξ Производство 11 ящиков в неделю и следует рекомендовать АО «Фото и цвет», ибо показатель риска - среднеквадратичное отклонение Ϭ ξ = 0 - минимален при максимальной средней ожидаемой прибыли. Если срок службы химического реактива будет удлинен, то его производство даже при прежнем спросе можно увеличить, частично производя на склад для последующей реализации.