Задачи по теме «Объемы тел вращения»

Цель работы: И ИИ Исследовать тела, полученные при вращении плоских фигур вокруг заданной оси. Задачи: Построение тел вращения, полученных при вращении различных фигур вокруг оси; Нахождение объема, полученного тела вращения в каждом случае.

Прямоугольный треугольник с острым углом А = 30° и противолежащим катетом 4 см вращается вокруг оси, проходящей через вершину прямого угла параллельно гипотенузе. Найти объем полученного тела вращения. А В Решение: Vт =Vц – Vк 1 – Vк 2 Конус 1 имеет основание с диаметром АА 1 ; Конус 2 имеет основание с диаметром ВВ 1. Vц = Sосн*H; Vк = 1/3 Sосн*h СВ=СВ 1 =4 см, тогда АВ=А 1 В 1 =8 см=H, АС=А 1 С=82+42=48 см; АА 1 С -равносторонний; АА 1 = 48 см=4 3, R 1 =R 2 =2 3 см, О 1 С= 48 – 12= 36=6 см=h 1 h 2 =8-6=2 см Vц= П( 2 3)2 8=96 П Vк 1 =1/3 П( 2 3)2 6=24 П Vк 2 =1/3 П (2 3)2 2=8 П Vт=96 П - 24 П - 8 П = 64 П Ответ: 64 Псм 3 А1А1 В1В1 С О О1О1 R1R1 R2R2

Параллелограмм со стороной 3 см и 6 см, острым углом А= 60° вращается вокруг оси, проходящей через вершину острого угла, параллельно высоте параллелограмма. Найти объем полученного тела вращения. А B C D С 1 В1В1 А1А1 Решение: Vт=Vук – Vк; Vук=1/3 П h(R 2 +R 1 2 +RR 1 ); Vк=1/3 П R 2 h; угол D=A, угол СDC 1 =60°, CC 1 D – равносторонний, СС 1 =6 см, Rк=3 см, h= =27=33 см R=BD+B 1 D=3+3=6cм; R 1 =AC+CC 1 +A 1 C 1 =3+6+3=12 см Vк=1/3 П 6 233=363 П Ответ: 2163 П см 3 Vук=1/3 П 33( )=2523 П Vт= 2523 П П =2163 П

Равнобокая трапеция вращается вокруг оси, проходящей через вершину нижнего основания параллельно высоте. Найдите объем полученного тела вращения, если нижнее основание трапеции 10 см, верхнее основание 6 см, а острый угол 60°. А В СС1С1 А1А1 В1В1 D Эта задача решается аналогично предыдущей. Ответ: 8803П /3

Квадрат со стороной 4 см вращается вокруг оси, проходящей через одну из его вершин параллельно диагонали квадрата Найти объем полученного тела вращения. А В С D А1А1 В1В1 С1С1 Решение: Полученное геометрическое тело состоит из двух равных усеченных конусов, следовательно достаточно найти объем одного из них и умножить его на два. Vт=2V, V =Vук-Vк AA1=42+42=32=42, Rк=R1=22cм, BD=42,R=82 см OD=h=16-8=8= 22cм R1R1 R O Vук=1/3 П h(R 2 +R 1 2 +RR 1 ); Vк=1/3 П R 2 h Vк=1/3 П( 22) 222=16 П2/3 Vук=1/3 П 22((82) 2 +(22) 2 +32)=112 П2; V= 112 П2-16 П2/3=320 П2/3 Vт=2V=2320 П2/3=640 П2/3 см 3 Ответ: 640 П2/3 см 3

Выводы: Вращаясь, плоские фигуры, вокруг заданной оси образуют известные тела вращения: цилиндр, усеченный конус, или комбинацию этих тел; Объемы полученных тел находятся вычислением объемов составляющих их тел и действий с ними.

Литература: Зив Б.Г. Дидактические материалы по геометрии для 11 класса. Москва, Просвещение, 2003 год; Цыпкин А.Г. Справочник по математике для средней школы. Москва, Просвещение 2000 год.