Перестановки

Перестановки Определение 1 Перестановкой из n элементов называется всякий способ нумерации этих элементов Пример 1 Дано множество. Составить все перестановки этого множества. Решение.

Число перестановок Теорема 1. Число всех различных перестановок из n элементов равно n! Замечание. Например, Считают, что 0!=1 читается «n факториал» и вычисляется по формуле

Число перестановок Доказательство теоремы 1. Любую перестановку из n элементов можно получить с помощью n действий: 1)выбор первого элемента n различными способами, 2)выбор второго элемента из оставшихся (n-1) элементов, т.е. (n-1) способом, 3)выбор третьего элемента (n-2) способами, …… n) выбор n-го элемента 1 способом. По правилу умножения число всех способов выполнения действий, т.е. число перестановок, равно Теорема доказана.

Перестановки Число всех перестановок обозначается Итак, Пример В команде 6 человек. Сколькими способами они могут построиться для приветствия? Решение Число способов построения равно числу перестановок 6 элементов, т.е.

Перестановки с повторениями Теорема 2 Число перестановок n – элементов, в котором есть одинаковые элементы, а именно элементов i –того типа ( ) вычисляется по формуле где Доказательство. Так как перестановки между одинаковыми элементами не изменяют вид перестановки в целом, количество перестановок всех элементов множества нужно разделить на число перестановок одинаковых элементов.

Пример Задача: Сколько слов можно составить, переставив буквы в слове «экзамен», а в слове «математика»? Решение: В слове «экзамен» все буквы различны, поэтому используем формулу для числа перестановок без повторений В слове «математика» 3 буквы «а», 2 буквы «м», 2 буквы «т», поэтому число перестановок всех букв разделим на число перестановок повторяющихся букв:

Размещения

Размещения Определение 1 Размещением из n элементов по k называется всякая перестановка из k элементов, выбранных каким-либо способом из данных n. Пример Дано множество. Составим все 2- размещения этого множества.

Число размещений Теорема 1 Число всех размещений из n элементов по k вычисляется по формуле Доказательство. Каждое размещение можно получить с помощью k действий: 1) выбор первого элемента n способами; 2) выбор второго элемента (n-1) способами; и т. д. k) выбор k –го элемента (n-(k-1))=(n-k+1) способами. По правилу умножения число всех размещений будет n(n-1)(n-2)…(n-k+1). Теорема доказана.

Число размещений Замечание. Формулу для числа размещений можно записать в виде Действительно

Пример Абонент забыл последние 3 цифры номера телефона. Какое максимальное число номеров ему нужно перебрать, если он вспомнил, что эти последние цифры разные? Решение. Задача сводится к поиску различных перестановок 3 элементов из 10 ( так как всего цифр 10). Применим формулу для числа перестановок.

Размещения с повторениями Определение 2 Размещением с повторением из n элементов по k называется всякая перестановка из k элементов, выбранных каким-либо способом из данных n элементов возможно с повторениями. Пример Дано множество Составим 2- размещения с повторениями:

Число размещений с повторениями Теорема 2. Число k- размещений с повторениями из n элементов вычисляется по формуле Доказательство. Каждый элемент размещения можно выбрать n способами. По правилу умножения число всех размещений с повторениями равно

Пример Сколько существует номеров машин? Решение. Считаем, что в трех буквах номера машины не используются буквы «й», «ы», «ь», «ъ», тогда число перестановок букв равно. Число перестановок цифр равно. По правилу умножения получим число номеров машин

Решение задач

Задачи 1)Сколькими способами можно составить список из 8 учеников, если нет полного совпадения ФИО ? Решение Задача сводится к подсчету числа перестановок ФИО.

Задачи 2)Сколькими способами можно составить список 8 учеников, так, чтобы два указанных ученика располагались рядом? Решение Можно считать двоих указанных учеников за один объект и считать число перестановок уже 7 объектов, т.е. Так как этих двоих можно переставлять местами друг с другом, необходимо умножить результат на 2!

Задачи 3) Сколькими способами можно разделить 11 спортсменов на 3 группы по 4, 5 и 2 человека соответственно? Решение. Сделаем карточки: четыре карточки с номером 1, пять карточек с номером 2 и две карточки с номером 3. Будем раздавать эти карточки с номерами групп спортсменам, и каждый способ раздачи будет соответствовать разбиению спортсменов на группы. Таким образом нам необходимо посчитать число перестановок 11 карточек, среди которых четыре карточки с одинаковым номером 1, пять карточек с номером 2 и две карточки с номером 3.

Задачи 4) Сколькими способами можно вызвать по очереди к доске 4 учеников из 7? Решение. Задача сводится к подсчету числа размещений из 7 элементов по 4

Задачи 5)Сколько существует четырехзначных чисел, у которых все цифры различны? Решение. В разряде единиц тысяч не может быть нуля, т.е возможны 9 вариантов цифры. В остальных трех разрядах не может быть цифры, стоящей в разряде единиц тысяч (так как все цифры должны быть различны), поэтому число вариантов вычислим по формуле размещений без повторений из 9 по 3 По правилу умножения получим

Задачи 6)Сколько существует двоичных чисел, длина которых не превосходит 10? Решение. Задача сводится к подсчету числа размещений с повторениями из двух элементов по 10

Задачи 7)В лифт 9 этажного дома зашли 7 человек. Сколькими способами они могут распределиться по этажам дома? Решение. Очевидно, что на первом этаже никому не надо выходить. Каждый из 7 человек может выбрать любой из 8 этажей, поэтому по правилу умножения получим Можно так же применить формулу для числа размещений с повторениями из 8 (этажей) по 7(на каждого человека по одному этажу)

Задачи 8)Сколько чисел, меньше можно написать с помощью цифр 2,7,0? Решение. Так как среди цифр есть 0, то, например запись 0227 соответствует числу 227, запись 0072 соответствует числу 72, а запись 0007 соответствует числу 7. Таким образом, задачу можно решить, используя формулу числа размещений с повторениями