Свойства делимости Подготовила ученица 5,, б класса Маркина Мария

Цели: Задачи: Ознакомиться со свойствами делимости натуральных чисел. Научиться применять свойства делимости для решения задач.

Отношение делимости. Делимость чисел – это отношение, связь между целыми числами. Целое число а делится на целое число b, если существует целое число с, такое что а = b с. При этом число b считается отличным от нуля. Число а называется делимым, b называется делителем, а число с называется частным. Также говорят: "a кратно b".

Число 1 является делителем любого целого числа. Число 0 делится на любое число, в том числе и на ноль, но ни одно целое число, отличное от нуля, не делится на 0. Например, делителями числа 132 являются числа 1, 2, 3, 4, 6, 11,12, 22, 33, 44, 66, 132.

Свойства делимости Свойство 1. Если один из множителей делится на некоторое число, то и произведение делится на это число. Например, 15 делится на 3, значит, и 15*11 делится на 3, потому что 15*11=(3*5)*11= 3*(5*11)

Свойство 2. Если первое число делится на второе, а второе делится на третье, то первое число делится на третье. Например, 777 делится на 111, потому что 777=7*111, а 111 делится на 3, потому что 111=3*37. Из этого следует, что 777 делится на 3, так как 777=3*(37*7)

Свойство 3. Если каждое из двух чисел делится на некоторое число, то их сумма и разность делятся на это число. Например, 100 делится на 4, потому что 100=25*4; 36 тоже делится на 4, потому что 36=9*4. Из этого следует, что что 136 делится на 4, потому что 136=100+36=25*4+9*4=(25+9)*4 Можно также заключить, что число 64 делится на 4, потому что 64=100-36=25*4-9*4=(25-9)*4

Свойство 4. Если одно из двух чисел делится на некоторое число, а другое на него не делится, то их сумма и разность не делится на это число.

Частные случаи делимости чисел.

Делимость на 10. Число делится на 10 нацело, если в разряде единиц числа цифра 0. Пример: Число 1540 делится на 10, так как в разряде единиц стоит 0, а число 893 на 10 не делится на 10, так как в разряде единиц стоит 3.

Делимость на 5. Число делится на 5 нацело, если в разряде единиц этого числа стоят цифры 5 или 0. Пример: Число 1250 делится на 5 так, как в разряде единиц стоит 0, а число 1562 не делится на 5, так как в разряде единиц стоит 2.

Делимость на 2. Число делится на 2 нацело, если оно является четным, то есть в разряде единиц стоят цифры 2, 4, 6, 8 или 0. Пример: Число делится на 2, так как в разряде единиц стоит 8, а число не делится на 2, так как в разряде единиц стоит 3.

Делимость на 4. Число делится на 4 нацело, если число, образуемое цифрами, стоящими в разряде десятков и единиц, делится на 4. Пример: Число делится на 4, так как 84 делится на 4, а число не делится на 4, так как 97 не делится на 4.

Делимость на 3. Число делится на 3, если сумма цифр, использующихся для его записи, делится на 3. Пример: Число делится на 3, так как сумма цифр – 24, а 24 делится на 3. Число не делится на 3, так как сумма цифр – 26, а 26 не делится на 3.

Делимость на 9. Число делится на 9, если сумма цифр, использующихся для записи числа, делится на 9. Пример: Число 3645 делится на 9 так как сумма - 18, а 18 делится на 9. Число не делится на 9, так как сумма – 19, а 19 не делится на 9.

Делимость на 11. Число делится нацело на 11, если сумма цифр, стоящих при записи этого числа на четных местах, равна сумме цифр, стоящих на нечетных местах. Пример: Число делится на 11, так как на чётном месте 6, 7 и 1, а на нечётных местах 3,9 и 2, 6+7+1= =14, значит число делится на 11. Число 5689 не делится на 11, так как на нечетных местах 5 и 8, а на нечетных 6 и 9, 5+8=13, а 6+9=15, 15 неравно 13, поэтому число 5689 не делится на 11.