Кафедра математики и моделирования Старшие преподаватели Е.Д. Емцева и Е.Г. Гусев Курс «Высшая математика» Лекция 4. Тема: Множество. Операции над множествами. Цель: Рассмотреть понятие множества, подмножества, пустого, универсального множества. Определить основные операции на множествами.

Введение в теорию множеств 1. Основные определения, терминология Под множеством А мы понимаем совокупность объектов произвольной природы, объединенных общим свойством Р(х). Обозначение 1)Указанием определяющего свойства 2)Перечислением элементов Пример 1 Иногда второе обозначение распространяется и на некоторые бесконечные множества. Так, N={1,2,3,...,n,...} Z={...,-n,...,-2,-1,0,1,2,...,n,...}.

Определение 1 Множество А называется подмножеством В, если для любого х ( ) Обозначение: Другими словами, символ " " есть сокращение для высказывания Теорема 1 Для любых множеств А, В, С верно следующее: а) ; б) и.

Определение 2 Множества А и В называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов (A=В). Другими словами, обозначение А=В служит сокращением для высказывания Пример Указать равные множества A={0;1;2}, B = {1;0;2}, C={0;1;2;0}, D={{1;2};0}, E={1;2}, F={x:x 3 -3x 2 +2x=0}.

Определение 3 Множество называется пустым, если оно не содержит ни одного элемента, то есть х не принадлежит этому множеству (для любого х). Обозначение:.

2. Операции над множествами Определение 1 Объединением двух множеств А и В называется множество Пример Пусть А={1,2,3,4}, B={2,4,6,8}, тогда = {1,2,3,4,6,8}. AB

Объединение множеств Теорема 1 Пусть А, В, С – произвольные множества. Тогда: а) – идемпотентность объединения; б) – коммутативность объединения; в) – ассоциативность объединения; г) ; д)

Пересечение множеств Определение 2 Пересечением множеств А и В называется множество Пример Пусть A={1,2,4,7,8,9}, B={1,3,5,7,8,10}, тогда A B

Теорема 2 Пусть А, В, С – произвольные множества, тогда: а) - идемпотентность пересечения; б) - коммутативность пересечения; в) - ассоциативность пересечения; г) Пересечение множеств

Объединение и пересечение множеств Теорема 3 1) 2) 3) 4)

Разность множеств, дополнение, симметрическая разность Определение 3 Разностью множеств A и B называется множество. Пример Пусть А={1,3,4,7,8,9,10}, B={2,3,4,5,6,7}, тогда A\B={1,8,9,10}, B\A={2,5,6}. A B

Разность множеств Теорема 4 Пусть А, В, С – произвольные множества, тогда: 1) 2) 3) 4) Теорема 5 (законы Моргана) а) б)

Множество U назовем "универсальным", если оно содержит все элементы и все множества являются его подмножествами. Понятие "универсального множества" у нас будет зависеть от круга задач, которые мы рассматриваем. Довольно часто под универсальным множеством понимают множество R –– множество вещественных чисел или множество С – комплексных чисел. Возможны и другие примеры. Всегда в контексте необходимо оговорить, что мы понимаем под универсальным множеством U.

Дополнение множеств Определение 4 Пусть U – универсальное множество. Дополнением А в U (или просто дополнением А) называется множество. Пример Если U – множество вещественных чисел и А – множество рациональных чисел, то – множество иррациональных чисел A

Дополнение множеств 1) 2) 3) Законы Моргана для дополнений а) ; б).

Симметрическая разность Определение 5 Симметрической разностью множеств A и B называют множество Задача (3 балла). Доказать, что A B

Вопросы: 1) Приведите пример множества, состоящего из 3 элементов. Опишите это множество свойством. 2) Перечислите все подмножества указанного множества. Чему равно их пересечение?

18 Лекция 5. Тема: Вычисление множеств. Выражение множеств через данные. Цель: Овладеть навыками вычисления множеств и выражения множеств через данные. Вопросы: 1)Чему равно объединение и пересечение пустого и универсального множеств? 2)Выразить множество 1;4 через данные: А = 1;3;5 В = 2;5;4;6 U = 1;2;3;4;5;6;7;8 С = 1;2;3;7

19 Лекция 6. Тема: Размещения. Цель: Рассмотреть формулы для числа размещений без повторений и с повторениями. Вопросы: 1)Является ли перестановка – размещением? 2)Сравнить выражения А и А

20 Лекция 7. Тема: Сочетания. Цель: Разобрать формулы для числа сочетаний с повтором и без повтора. Освоить их применение при решении задач. Вопросы: 1)Сравнить выражения С и А 2)Вычислить С k nn k 8 2

21 Лекция 8. Тема: Случайное событие. Вероятность события. Цель: Разобрать понятия опыта случайного события, вероятности. Обсудить условия применения классической формулы вероятности. Вопросы: 1)Ответить на вопрос слайда 5. 2)Можно ли в задаче 3 (слайд 12) случай А и А объединить в один и применить классическую формулу? Почему? 14

22 Лекция 9. Тема: Теоремы сложения и умножения вероятностей. Цель: Рассмотреть события и действия над ними на языке теории множеств. Разобрать теоремы сложения и умножения вероятностей. Вопросы: 1)Чему равно произведение противоположных событий? 2)Описать множество элементарных событий для последнего примера.

23 Лекция 10. Тема: Решение задач по классической формуле для подсчета вероятностей. Цель: Привить навыки применения классической формулы вероятности. Вопросы: 1)Каким условиям должны удовлетворять события, чтобы допустимо было применить классическую формулу вероятности. 2)Найти вероятность, угадать задуманное двузначное число с первого раза.

24 Лекция 11. Тема: Решение задач с использованием теорем сложений и умножения вероятностей. Цель: Вопросы:

25 Лекция 12. Тема: Формула полной вероятности. Формула Бейеса. Цель: Разъяснить формулу полной вероятности и как следствие из неё – формулу Бейеса. Вопросы: 1)Каким условиям должны отвечать гипотезы Н для события А? 2)В примере 2 (слайд 13) найти вероятность того, что ошибся 2 студент? i

26 Лекция 13. Тема: Решение задач с использованием формулы полной вероятности и формулы Бейеса. Цель: Овладеть навыками решения задач по формулам полной вероятности и формуле Бейеса. Вопросы: 1)Чему равна сумма вероятностей гипотез Н для события А? 2)Чему равна сумма гипотез события А? i

27 Лекция 14. Тема: Повторение опытов. Формула Бернулли. Цель: Ознакомиться с формулой Бернулли и приближенными формулами в схеме Бернулли. Вопросы: 1)Укажите условия применения формулы Бернулли. 2)

28 Лекция 0. Тема: Метод математической индукции. Цель: Научиться применять ММИ при доказательстве утверждений, свойств. Вопросы: 1)Перечислить основные этапы доказательства ММИ. 2)Слайд 11.

29 Лекция 6. Тема: Основные принципы комбинаторики. Цель: Ознакомиться с основными принципами комбинаторики. Вопросы: 1)Перечислите основные принципы комбинаторики. 2)Сколькими способами могут совершить обмен 1 диска два студента, если у одного 7 дисков, а у другого 5?