где q=1-p. Случайная величина Х называется распределенной по биномиальному закону с параметрами n,p >0, если Х принимает значения: 0,1,2,…n и вероятность того, что случайная величина примет значение X=m находится по формуле Бернулли:

Случайную величину Х, распределенную по биномиальному закону, можно трактовать следующим образом: Рассмотрим событие А, которое происходит в опыте с вероятностью р и не происходит с вероятностью q=1-p. Производится серия из n опытов в одинаковых условиях и независимо друг от друга. Случайная величина Х - сколько раз событие А произошло в данной серии опытов.

Составить ряд распределения величины, распределенной по биномиальному закону с параметрами n=4, р=1/3.

Производится серия из n=4 опытов. Случайная величина Х - число опытов, в которых может произойти событие А, может принимать значения 0, 1, 2, 3, 4. Соответствующие вероятности находятся по формуле Бернулли при n=4, p=1/3, q=1-1/3=2/3. Вероятность того, что событие А не произойдет ни в одном опыте (m=0):

Вероятность того, что событие А произойдет в одном опыте (m=1): Аналогично находим вероятности того, что это событие произойдет в двух (m=2), в трех (m=3) и в четырех (m=4) опытах:

Можно убедиться, что суммарная вероятность действительно равна 1. Таким образом, ряд распределения случайной величины Х будет выглядеть так: ХmХmХmХm01234 PmPmPmPm16/81 32/81 24/818/811/81

Найдем математическое ожидание случайной величины, распределенной по биномиальному закону. Х - число опытов в серии из n, в которых произошло событие А. Введем для каждого i=1,2…n случайную величину Z i. Пусть Z i принимает всего два значения: 1 - если событие А произойдет в i-ом опыте и 0 - если событие А не произойдет в i-ом опыте. Тогда событие Х выразится через сумму событий Z i : Х= Z 1 +Z 2 +…+Zn

Тогда математическое ожидание случайной величины Х: M[X]=M[Z 1 ]+M[Z 2 ]+…+M[Z n ] Найдем математическое ожидание Z i Ряд распределения Z i имеет вид: Тогда M[Z i ]=p и M[X]=np. ZiZiZiZi01 PiPiPiPiqp

Найдем дисперсию случайной величины Z i Так как случайные величины Z i независимы, то Таким образом, для случайной величины, распределенной по биномиальному закону,