Пусть функция y=f(x) определена на промежутке Х. Выберем точку Дадим аргументу x приращение Δx, тогда функция получит приращение Δy=f(x+Δx)- f(x).

Производной функции y=f(x) называется предел отношения приращения функции к приращению независимого аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю:

Обозначения производной: Нахождение производной функции называется дифференцированием. Если функция имеет конечную производную в некоторой точке, то она называется дифференцируемой в этой точке.

Вернемся к рассматриваемым задачам. Из задачи о касательной вытекает Производная f / (x 0 ) есть угловой коэффициент (тангенс угла наклона) касательной, проведенной к кривой y=f(x) в точке x 0 :

Тогда уравнение касательной к кривой в данной точке будет иметь вид:

Из задачи о скорости движения вытекает Производная пути по времени S / (t 0 ) есть скорость точки в момент времени t 0 :

Производная объема производимой продукции по времени u / (t 0 ) есть производительность труда в момент времени t 0 : Из задачи о производительности труда вытекает

График функции y=f(x) есть полуокружность. Найти f / (x) в точках A,B,C,D,E, делящих полуокружность на четыре равные части.

Из геометрического смысла производной вытекает, что производная f / (x 0 ) есть тангенс угла наклона касательной, проведенной к кривой y=f(x) в точке x 0. В точке В угол наклона касательной составляет Следовательно: В точке D угол наклона касательной составляет Следовательно:

В точке С угол касательная параллельна оси х: В точках А и Е угол наклона касательной составляет Тангенс этого угла не существует, следовательно функция в этих точках не дифференцируема.

Если функция y=f(x) дифференцируема в точке x 0, то она непрерывна в этой точке.

По условию теоремы функция y=f(x) дифференцируема в точке x 0 : На основании теоремы о связи бесконечно малых величин с пределами функций функцию, стоящую под знаком предела, можно представить как сумму этого предела и бесконечно малой величины:

где α(Δx) – бесконечно малая величина при Отсюда: Прии Следовательно, по определению непрерывности функции, функция y=f(x) непрерывна в точке x 0.

Обратная теорема, в общем случае, неверна. Например, функция непрерывна в точке x=0: Проверим, будет ли эта функция дифференцируема в данной точке.

Т.е. общего предела не существует и функция не дифференцируема в этой точке.

Непрерывность функции является необходимым, но не достаточным условием дифференцируемости функции. Если функция имеет непрерывную производную на промежутке Х, то она называется гладкой на этом промежутке. Если производная функции имеет конечное число точек разрыва 1 рода, то такая функция называется кусочно-гладкой.