ТЕМА XXVIII ВОЛНОВЫЕ ПРОЦЕССЫ §1. МЕХАНИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ

1. ВИДЫ ВОЛН Волнами называется процесс распространения колебаний в пространстве с течением времени. Характерное свойство волн состоит в том, что перенос энергии волной происходит без переноса вещества. Основными видами волн являются механические (упругие ) волны: в частности звуковые и сейсмические волны, волны на поверхности воды; и электромагнитные волны: в частности световые волны и радиоволны.

2. ПОПЕРЕЧНЫЕ И ПРОДОЛЬНЫЕ ВОЛНЫ В зависимости от направления колебаний частиц среды по отношению к направлению, в котором распространяется волна, различают продольные и поперечные волны. В продольной волне частицы среды колеблются вдоль направления распространения волны (звуковая волна). В поперечной волне частицы среды колеблются в направлениях, перпендикулярных к направлению распространения волны. Упругие поперечные волны могут возникать лишь в средах, обладающих сопрот ивлением сдвигу (кристаллах). Поэтому в жидкостях и газах возможны только продольные волны. В твердых телах (кристаллах) возможно существование двух типов волн, как продольных, так и поперечных волн.

3. ВОЛНОВОЙ ФРОНТ. ВОЛНОВАЯ ПОВЕРХНОСТЬ Распространяясь от источника колебаний, волновой процесс охватывает все новые и новые области пространства. Геометрическое место точек, до которых доходят колебания к данному моменту времени, называется фронтом волны или волновым фронтом. Фронт волны отделяет часть пространства, уже вовлеченную в волновой процесс, от области, в которой колебания еще не возникли. Геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе, называется волновой поверхностью. Волновую поверхность можно провести через любую точку пространства, охваченного волновым процессом. Волновых поверхностей бесконечно много.

4. ВОЛНЫ ПЛОССКАЯ И СФЕРИЧЕСКАЯ Волновые поверхности могут быть любой формы. В простейших случаях они имеют форму плоскости (плоская волна) или сферы (сферическая волна). В плоской волне волновые поверхности представляют собой множество параллельных плоскостей, в сферической волне – концентрических сфер.

5. ДЛИНА ВОЛНЫ На рисунке показано смещение равновесия точек с разными в близкие моменты времени Расстояние на которое распространяется волна за время, равное периоду колебаний частиц среды, называется длиной волны. где Длину волны можно определить также как расстояние между ближайшими точками среды, колеблющимися в одной фазе (с разностью фаз, равной Выразив период колебаний получим из положения и Очевидно, что – период колебаний.– скорость волны, радиан). через частоту колебаний

6. УРАВНЕНИЕ ПЛОССКОЙ ВОЛНЫ (I) Уравнением волны называется выражение, которое определяет смещение колеблющейся частицы от её равновесного положения как функцию его координат и времени: Эта функция периодическая относительно времени и относительно пространственных координат Упростим ситуацию, направив ось по направлению распространения волны.Тогда плоские волновые поверхности будут перпендикулярными оси Поскольку все точки волновой поверхности колеблются одинаково, то смещение будет зависеть только от и Колебания точек, лежащих в плоскости имеют вид Найдём вид колебаний в плоскости с произвольным значением

6. УРАВНЕНИЕ ПЛОССКОЙ ВОЛНЫ (II) Для того, чтобы пройти путь от начала координат до плоскости с координатой требуется время – скорость распространения волны. Следовательно, колебания частиц в плоскости будут отставать по времени на от колебаний частиц, лежащих в плоскости то есть Аргумент гармонической функции – это фаза волны: – волновое число (модуль волнового вектора). При произвольной ориентации осей

7. УРАВНЕНИЕ СФЕРИЧЕСКОЙ ВОЛНЫ Всякий реальный источник волн обладает некоторой протяженностью (размером). будут совершать колебания с запаздыванием по времени на Даже если волна не поглощается средой, ее амплитуда уменьшается с удалением от источника по закону по поверхности все большего радиуса. – амплитуда на единичном радиусе. Однако если ограничиться рассмотрением волны на расстояниях от источника значительно превышающих его размеры, то источник можно считать точечным. В изотропной и однородной средах волна, от точечного источника будет сферической. Допустим, что фаза колебаний источника имеет вид Тогда точки среды, лежащие на волновой поверхности радиуса Тогда т.к. энергия распределяется

8. ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ Уравнение любой волны является решением уравнения, называемого волновым. Чтобы установить вид волнового уравнения, сопоставим вторые частные производные по времени и координатам от функции, Сложим производные по координатам: описывающей плоскую волну:

9. СКОРОСТЬ УПРУГИХВОЛН Сравнивая полученное уравнение движения с одномерным волновым уравнением скорость упругих волн равна корню квадратному из отношения модуля Юнга среды к ее плотности: Пусть в направлении оси распространяется продольная плоская волна. цилиндрический объём с площадью Выделим в среде и длиной Составим для этого объёма уравнение движения: – относительная деформация цилиндра, – модуль упругости среды (модуль Юнга).Таким образом, приходим к выводу, что

10. ЭНЕРГИЯ УПРУГОЙ ВОЛНЫ Пусть в однородной среде вдоль оси распространяется плоская продольная волна Выделим в среде элементарный объем Сумма кинетической и потенциальной энергии упругой деформации выделенного объема дает его полную механическую энергию, то есть

11. ПОТОК И ПЛОТНОСТЬ ПОТОКА ЭНЕРГИИ ВОЛНЫ Среда, в которой распространяется волна, обладает дополнительным запасом энергии. различные точки среды самой волной; Количество энергии, переносимое волной через некоторую поверхность в единицу времени, называется потоком энергии: Эта энергия доставляется от источника колебаний в волна переносит с собой энергию. Для характеристики течения энергии в разных точках введена векторная физическая величина – плотность потока энергии: Зная плотность потока энергии во всех точках произвольной поверхности можно вычислить поток энергии через эту поверхность:

12. ИНТЕНСИВНОСТЬ ВОЛНЫ Плотность потока энергии как и объемная плотность энергии различна в разных точках пространства (меняется амплитуда и плотность среды), а в данной точке изменяется со временем по закону квадрата синуса. Среднее значение квадрата синуса за период равно среднего по времени значение плотности потока энергии справедливо Эта величина называется интенсивностью волны Интенсивность волны в данной точке это среднее по времени значение плотности потока энергии волны в этой точке пространства. Полученные выражения для интенсивности и объемной плотности энергии справедливы для всех механических волн. поэтому для

13. СТОЯЧИЕ ВОЛНЫ Колебания, возникающие при наложении двух плоских встречных волн с одинаковой амплитудой, называются стоячей волной. В каждой точке стоячей волны происходят колебания той же частоты, что у встречных бегущих волн. Выбирая подходящим образом начало отсчётаиполучим: Амплитуда колебаний периодически меняется В точках, для которых: амплитуда максимальна – это пучности; минимальна – узлы.

14. КОЛЕБАНИЯ СТРУНЫ В закрепленной с двух концов натянутой струне стоячие волны возникают при возбуждении поперечных колебаний. Причем, в точках закрепления струны обязательно располагаются узлы. Поэтому в струне устойчиво существуют только такие колебания, для которых половина длины волны укладывается на длине струны целое число раз. Отсюда вытекает условие – длина струны, Собственным длинам волн соответствуют частоты Фазовая скорость стоячей волны зависит от силы натяжения струны и ее массы единицы длины. Частоты собственными частотами струны или гармониками. называются В общем случае колебание струны представляют собой наложение различных гармоник.

15. ЗВУК Упругие волны в воздухе, имеющие частоту в пределах от 16 Гц до 20 к Гц вызывают в ушах человека ощущение звука. Поэтому упругие волны в любой среде, имеющие частоту в этом диапазоне, называют звуковыми волнами или просто звуком. Упругие волны с частотами, меньшими чем 16 Гц, называют инфразвуком. Упругие волны с частотами больше чем 20 к Гц, называют ультразвуком. Воспринимаемые звуки люди различают по высоте (частоте), тембру (акустическому спектру) и громкости (интенсивности волны).

16. ГРОМКОСТЬ ЗВУКА Уровень громкости звука определяется как десятичный логарифм отношения интенсивности данного звука к интенсивности на пороге слышимости: Принято, что для человека На практике принято использоваться в 10 раз меньшими единицами уровня громкости звука – децибелами (дб): Весь диапазон интенсивностей, при которых волна вызывает в ухе человека звуковое ощущение, соответствует уровню громкости от 0 до 130 дб. Отношение интенсивностей двух волн:

§2. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ

1. УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА Запишем уравнения Максвелла в дифференциальной форме: В случае однородной Сделаем замену для и с помощью материальных уравнений: нейтральной непроводящей среды уравнения примут вид: Переменное магнитное поле порождает электрическое и наоборот. Значит последовательность взаимных превращений электрического и магнитного полей может представлять собой волну. Убедимся в этом.

2. ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ Для однородной нейтральной непроводящей среды система уравнений Максвелла имеет вид Возьмем ротор от обеих частей уравнения (1): Воспользуемся выражением для ротора из уравнения (3): Раскроем двойное векторное произведение с учетом уравнения (4):

3. СКОРОСТЬ ЭМВ Для однородной нейтральной непроводящей среды получено волновое уравнение Электрическая и магнитная постоянные связаны простым соотношением со скоростью света в вакууме С учётом этого волновые уравнения для напряженности электрического и напряженности магнитного полей принимают вид: Полученные волновые уравнения неразрывно связаны между собой, так как они получены из уравнений Максвелла, которые одновременно содержат напряженности и электрического и магнитного полей. Из этих волновых уравнений следует, что электромагнитные поля могут существовать в виде электромагнитных волн, фазовая скорость которых зависит от свойств среды

4. УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА ДЛЯ ПЛОСКОЙ ЭМВ (I) Перепишем уравнения Максвелла для однородной нейтральной непроводящей среды в координатной форме: Направим ось x перпендикулярно волновым поверхностям плоской ЭМВ. Тогда векторы не будут зависеть от координат y и z. То есть а значит, и их проекции на координатные оси и и

4. УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА ДЛЯ ПЛОСКОЙ ЭМВ (II) Упростим систему уравнения Максвелла для однородной нейтральной диэлектрической (непроводящей) среды для случая плоской волны, распространяющей вдоль оси x. пропадает зависимость всех компонент поля от поперечных координат y и z. При этом Поэтому система уравнений упрощается к виду:

4. УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА ДЛЯ ПЛОСКОЙ ЭМВ (III) Выпишем в координатной форме систему уравнений Максвелла для плоской волны, распространяющейся вдоль оси x в однородной нейтральной диэлектрической (непроводящей) среде Уравнение (4) и первое из уравнений (3) показывают, что зависеть ни от x, ни от t. такой же результат для могут быть обусловлены лишь постоянными однородными полями, накладывающимися на электромагнитные волны. имеет составляющих вдоль оси x. перпендикулярны к направлению распространения волны, то есть электромагнитные волны в однородном диэлектрике поперечны. не может Уравнение (2) и первое из уравнений (1) дают и Следовательно, отличные от нуля Само поле волны не и Отсюда вытекает, что векторы

4. УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА ДЛЯ ПЛОСКОЙ ЭМВ (IV) Предполагая отсутствие постоянных (стационарных) полей запишем упрощенную систему уравнений Максвелла для плоской ЭМВ, распространяющейся вдоль оси x однородной нейтральной непроводящей (диэлектрической) среды: Можно заметить, что оставшиеся 4 уравнения объединяются в две независимые группы: Первая группа уравнений связывает компоненты а вторая – компоненты Если в пространстве было создано переменное электрическое поле то оно будет порождать переменное магнитное поле которое в свою очередь создаст переменное электрическое поле Поля и и при этом не возникают.и

5. ПЛОСКАЯ ЭМВ (I) Возьмем для описания ЭМВ первую группу уравнений Продифференцируем первое уравнение по координате x Подставим выражение для из второго уравнения. Проводя аналогичные преобразования для магнитного поля получим Тогда

5. ПЛОСКАЯ ЭМВ(II) Решения волновых уравнений должны удовлетворять и уравнениям Максвелла Это уравнение будет выполняться, если в любой момент времени и в каждой точке пространства колебания полей происходить в одной фазе. Это означает, что колебания полей происходят с одинаковой частотой и начальной фазой; эти колебания распространяются с одинаковой будути Это возможно, если скоростью (длиной волны).

5. ПЛОСКАЯ ЭМВ(III) Решения волновых уравнений должны удовлетворять и уравнениям Максвелла После сокращения на синус получим связь между амплитудами полей Аналогичное соотношение для первого уравнения Максвелла имеет вид Перемножая эти соотношения, получим:

6. ЭНЕРГИЯ ЭМВ Электромагнитные волны переносят энергию. Плотность потока энергии волны можно получить, умножив объемную плотность энергии волны на её фазовую скорость: Плотность энергии ЭМВ слагается из плотности энергии электрического и магнитного полей: В векторном виде Вектор плотности потока энергии ЭМВ называется вектором Пойнтинга. Среднее по времени значение модуля вектора Пойнтинга – это интенсивность волны:

7. ЭМВ В ПРИРОДЕ И ТЕХНИКЕ