Вероятностный подход к уравнениям Ричардсона (абзаца Бете) В. В. Погосов, Институт теоретической и прикладной электродинамики РАН, Москва Центр фундаментальных и прикладных исследований, ВНИИА им. Н. Л. Духова W. V. Pogosov, J. Phys.: Condens. Matter 24, (2012).

Motivation / Introduction General formulation Evaluation of binomial sums Virial expansion Electron-hole symmetry Summary Outline

Motivation / Introduction -Bardeen-Cooper-Schrieffer (BCS) theory of superconductivity -BCS Hamiltonian is exactly solvable through the Richardson approach -Richardson equations can be used to study small-sized systems (nano-scale), as well as delicate phenomena like BEC-BCS crossover

Reduced BCS Hamiltonian fermions of two sorts

Richardson wave function The configuration without broken pairs (no unpaired electrons/no blocked levels): Richardson equations

Example: 3 pairs N enters through the number of equations

Связь уравнений Ричардсона с другими областями физики -Точно решаемые модели, анзац Бете модель Годена (Gaudin) – спиновые цепочки. Алгебраический анзац Бете J. von Delft and R. Poghossian, PRB (2002). Последние годы: вычисления корреляционных функций – квантовый метод обратной задачи Bettelheim, Osterloh, Links и др. -Конформная теория поля. Теория Черна-Саймонса. G. Sierra (1999, 2001, 2002): connection between BCS and Witten-Zumino-Wess model

Problems with Richardson equations: Analytical solution in general case is an open problem Numerical methods are widely used Analytical methods are highly desirable Evaluation of correlators, wave function, etc. The only one nontrivial solution known so far is a large-N limit result (Gaudin 1975, Richardson 1976) -energy-like quantities are arranged in arcs in the complex plane (hypothesis) -continuous approximation to solve equations Standard method to evaluate Bethe equations

General formulation

Electrostatic analogy * charges of free particles: charges of fixed particles: magnitude of the external force: * by Gaudin and Richardson (1975) Remarkable example of quantum-to-classical correspondence

Electrostatic analogy – very general observation: random-matrix models, zeros of polynomials, zeros of wave functions for 1D exactly solvable potentials, Bethe equations, conformal field theories, fractional Hall effects, growth problems

Probabilistic approach Probability: Analogies with the square of the Laughlin wave function factorizable

Landscape of S is very sharp! One can find a position of the saddle point without solving Richardson equations explicitly, but using an integration Can be extended to the case of many variables Freezing Heuristic argument: More rigorous arguments will be presented later

Single-pair configuration (Cooper problem) - объем -- количество состояний в окне Дебая -- безразмерная константа взаимодействия -- плотность состояний -- амплитуда взаимодействия

Partial-fraction decomposition is a binomial coefficient Transformation of S(R)

Problem: equilibrium is not stable. No confining potential. Saddle point. 1 2 Line 1: steepest descent of the energy, 1D integration instead of 2D However, the position of the saddle point is unknown! Z Integration path

- Since the probability is a meromorphic function, we can use various paths (Cauchy theorem) -Thus, we can reconstruct an information on saddle point(s) using the nonlocal nature of S. Known result for N=1 (one-pair problem) -- nonanalytic function, typical for BCS

Excited states of a single pair topology of an integration path is of importance Energy is again reconstructed correctly by this method

- объем -- количество состояний в окне Дебая -- количество пар -- фактор заполнения (1/2 в БКШ) -- безразмерная константа взаимодействия -- плотность состояний -- амплитуда взаимодействия Термодинамический предел

Many pairs partition function thermodynamics

Quantum-mechanical energy = minus logarithmic derivative of the classical partition function An interesting example of quantum-to-classical correspondence Есть ли какой-то скрытый глубокий смысл?

Z has a form of the integral of Selberg type (Coulomb integral) Conformal field theory, random matrices (Dyson gas), 2D gravitation, etc. -Integration contour for each R encloses all poles -Choice of contours – various states -How to calculate other integrals? -How to sort out wrong sets of contours?

At the same time, Z is an integral of Nörlund-Rice type Canonical form: Z has a form of the integral of Selberg type (Coulomb integral) Conformal field theory, random matrices (Dyson gas), 2D gravitation, etc.

Evaluation of binomial sums

Probability

Partition function (after the integration of probability)

Vandermonde matrix Trick:

Transformation of the Vandermonde matrix Pochhammer symbol (or falling factorial)

Can be replaced by

can be replaced by что-то вроде матрицы моментов (но факториальных и взятых «с двух сторон»)

Useful identity Соответствует выбиванию первых a и последних b полюсов в интеграле для N = 1.

Hankel (Toeplitz) matrix

Full agreement with BCS-like treatment for the whole crossover from BEC to BCS. Pair binding energy as an energy scale. Any observables?

Coefficient A superfactorial

Оценка точности метода Условие применимости метода:

Factorization of probability

Single pair in the environment with bands of states removed Similarities with Hubbard-Stratonovich transformation, sign-change problem

Возбужденные состояния Вероятность (один уровень заблокирован) Другая форма: Снова аналогии с в.ф. Лафлина, но уже для возбужденных состояний

После взятия интеграла и проведения суммирования

В термодинамическом пределе после замены суммы на интеграл и использования метода седловой точки: -Три режима для энергии первого возбужденного состояния - Обобщенная теория БКШ дает точные результаты для энергии основного и первого возбужденных состояний

Open problem

Virial expansion

New variables r Energy by the saddle-point method

- Iterative integration by parts – tree-like procedure - Energy density as an expansion in pair density (virial expansion) - Third and fourth terms are exactly zero - Difficult to proceed with higher-order terms

Single-pair saddle point

Rescaling

In new variables Integrating by parts

Derivative in the integrand Substitute back

Derivative in the integrand

Energy delta couples with N

How to prove that remaining terms are underextensive? We keep integrating by parts

First magic cancellation:

Second magic cancellation Energy as a continued fraction?

Electron-hole symmetry

Энергия конденсации: II – неаналитическая зависимость от v ; экстенсивная величина I – пропорциональна v ; интенсивная величина Как описать (аналитически) переход от конденсата БКШ (II) к режиму, в котором доминируют флуктуации (I)? (возникновение макроскопических свойств системы) Решаемые случаи -безразм. константа взаимодействия -плотность состояний в окне Дебая вероятностный подход Заполнение окна Дебая 1/2

Гамильтониан в дырочном представлении Операторы рождения и уничтожения дырок (пустых состояний в окне Дебая) - Симметрия между парами электронов и парами дырок с точностью до переопределения некоторых величин. -Скрыта в уравнениях Ричардсона. -Уравнения Ричардсона для куперовских пар, составленных из дырок. Приём: будем рассматривать заполнение окна Дебая в качестве добавочной степени свободы W. V. Pogosov, J. Phys.: Condens. Matter 24, (2012).

Функциональное уравнение для энергии основного состояния: - число состояний в окне Дебая N – дискретная переменная. Разложение по полиномам: - символ Похгаммера

Предположение: --- граничное условие в пространстве дискретных N Именно эта простая зависимость от дополнительной степени свободы возникает во всех трех точно решаемых случаях, несмотря на то, что зависимость от v меняется кардинально – от аналитической к неаналитической Следствие: -- дигамма-функция

Решаемые пределы Предел I (очень слабая связь) Предел II (макроскопическая система) От аналитической зависимости к неаналитической зависимости

Сравнение аналитики с численными результатами и с БКШ Сплошные линии – аналитический результат, пунктир – численный расчет, точки – БКШ. энергия нормирована на W. V. Pogosov, N. S. Lin, V. R. Misko, Eur. Phys. J. B (2013) N = 50 N = 25 N = 5

Когда теория БКШ перестает давать точные результаты (при уменьшении v)? -- когда нельзя перейти от суммирования к интегрированию, то есть: -- энергия связи единичной пары, найденная Купером Обычный энергетический масштаб – щель: Энергия связи пары – еще один масштаб энергии

Однако можно заметить, что и есть в точности энергия связи единичной пары Разложение из предела I (очень слабая связь): Сравнивая поправки с результатом для предела II, был сделан вывод о том, что теория БКШ перестает работать при загадочная величина с непонятным физическим смыслом

Использование электронно-дырочной симметрии – новый инструмент анализа решений уравнений Ричардсона (и уравнений Бете вообще?). Пример использования: G. Gorohovsky, E. Bettelheim, Coherence factors beyond the BCS expressions a derivation, J. Phys. A: Math. Theor. (2014) -- вычисление матричных элементов между разными точными собственными состояния гамильтониана

-New method for the analytical evaluation of Richardson- Gaudin (Bethe ansatz) equations. Basic ingredients are the occupation probability and the partition function. -Energy in the thermodynamical limit. -Rich math structure as well as numerous links with other topics of modern theoretical physics. -Small-sized systems – analytical expression for the ground state energy. -e-h symmetry in combination with Richardson approach. -Pair binding energy -- another energy scale? Summary

Волновая функция БКШ Проекция на состояние с фиксированным N амплитуда вероятности того, что два состояния заняты = произведению амплитуд вероятностей для индивидуальных ф-й.

«патроны»

- Arbitrary filling of window (toy model of density-induced BEC-BCS crossover, related to systems with low carrier density) Configuration - Equally-spaced model: energy levels are distributed equidistantly within the Debye window - Interaction within the Debye window, between two cutoffs W. P., M. Combescot, and M. Crouzeix, PRB 2010; W. P., M. Combescot, Письма в ЖЭТФ 2010, M. Combescot and M. Crouzeix, PRL 2011.

Thermodynamical limit - density of states - interaction amplitude - dimensionless interaction constant -Debye window & Fermi energy of frozen electrons (lower cutoff) - number of states in the Debye window - number of pairs - filling factor of the window (1 / 2 in BCS) - volume