«По-видимому, невозможно дать точное определение того, что подразумевается под словом случайный». Смысл этого слова лучше всего разъяснить на примерах. (шведский ученый Харальд Крамер) Учитель математики: Демешкина Татьяна Дмитриевна

Случайные события и их вероятности Пример 1 Рассмотрим случайный эксперимент, который может завершиться одним из n возможных исходов, причем все исходы равновозможны, т.е. нет никаких оснований считать один исход вероятнее другого. Например: а) бросаем монету: n=2 б) бросаем кубик: n=6 в) вытягиваем карту из колоды: n=36

Пример 2 Пусть ровно m из этих n исходов приводят к наступлению некоторого события A. Будем называть такие исходы благоприятными для этого события (они ему благоприятствуют, т.е. событие А наступает при любом из этих исходов). Например а) выпадет герб: m=1 б) на кубике выпадет четное число: m=3 в) из колоды вытянут туза: m=4

Вероятностью случайного события А в этой ситуации назовем дробь m/n, где n – число всех возможных исходов эксперимента, m – число исходов, благоприятных для события А: P(A)=m/n Обозначение P(A) происходит от первой буквы французского слова probabilite - вероятность. Например: а) P{выпадает герб}=1/2 б) P{на кубике выпадает четное число}=3/6=1/2 в) P{из колоды вытянут туза}=4/36=1/9

Пример 3 Колоду из 36 карт хорошо перетасовали и вытянули из нее одну карту. Для каждого из следующих событий найдем его вероятность: А={вытянули красную масть};B={вытянули пику}; C={вытянули красную пику};D={вытянули даму}; E={вытянули даму пик}. Все пять событий относятся к одному и тому же случайному эксперименту – вытягиванию карты из полной колоды. Общее число исходов в этом эксперименте равно 36 (по числу разных карт), причем, поскольку колода хорошо перетасована, все они равновозможны, следовательно, n=36. Для событий А благоприятный исход – любая карта красной масти. В колоде 18 карт красной масти, значит, m=18. Следовательно, P(A)=18/36=1/2=0,5.

Для события В благоприятный исход – любая пика. Таких исходов 9 (Столько в колоде карт пиковой масти): m=9. Отсюда P(B)=9/36=1/4=0,25. Совершенно аналогично находим число благоприятных исходов и вероятности для оставшихся событий: для события С m=0, P(C)=0/36=0; для события D m=4, P(D)=4/36=1/9=0,111; для события E m=1, P(E)=1/36=0,028. Рассмотренное выше определение вероятности было впервые дано в работах французского математика Лапласа и называется классическим. Использовать его можно только для опытов с равновозможными исходами!

Задача 1 Для каждого из следующих событий найдите число всех равновозможный исходов, число благоприятных исходов и вероятность. В урне 15 белых и 25 черных шаров. Из урны наугад вынимается один шар. Какова вероятность того, что он будет белым? Из русского алфавита случайным образом выбирается одна буква. Какова вероятность того, что она окажется гласной? Из слова СОБЫТИЕ случайным образом выбирается одна буква. Какова вероятность того, что она окажется гласной. Из 365 дней 2001 года случайно выбирается один. Какова вероятность, что он будет воскресеньем, если известно, что 2001 год начинается в понедельник?

Ответ на задачу 1 а) 15/40=3/8=0,375 б) 10/33=0,303 в) 4/7=0,571 г) 52/365=0,142 Ответ 1/7=0,143 тоже годится, но он неточный! Каждый год содержит лишь приблизительно одинаковое количество понедельников, вторников и т.д. На самом деле эти количества могут отличаться на 1.

Задача 2 А={при бросании монеты выпал «орел»}; B={при бросании кубика выпала тройка}; C={при бросании кубика выпало четное число}; D={из колоды карт вытянули туза}; E={из колоды карт вытянули шестерку}; F={из колоды карт вытянули не туза}. Ответ P(A)=1/2=0,5; P(B)=1/6=0,167; P(C)=1/2=0,5; P(D)=4/36=1/9=0,111; P(E)=4/36=1/9=0,111; P(F)=32/36=8/9=0,889.

Задача 3 Абонент забыл последнюю цифру телефонного номера и набрал ее наудачу, помня только, что эта цифра нечетная. Найдите вероятность того, что номер набран правильно. Ответ 5/10=1/2=0,5.

Задача 4 В классе учится 10 мальчиков и 20 девочек. а) На класс дали один билет в цирк, который решено разыграть по жребию. Какова вероятность, что в цирк пойдет девочка? б) Учитель истории знает, что 3 мальчика и 5 девочек из класса были накануне в кино, поэтому не выучили домашнее задание. К сожалению, он не знает их фамилий, но он хочет поставить кому-нибудь двойку. Кого ему лучше вызвать к доске – мальчика или девочку? в) Федя не решил домашнюю задачу по математике. Какова вероятность, что учитель этого не узнает, если за урок он успевает спросить пятерых?

Ответ задачу 4 а) 20/30=2/3=0,667; б) 3/10>5/20, поэтому лучше вызвать мальчика; в) 20/30=5/6=0,833.

Вероятность и комбинаторика 1. Самый надежный способ найти n и m – выписать все возможные и все благоприятные исходы, придумав для них подходящие обозначения. Но во многих задачах исходов оказывается слишком много, тогда на помощь приходит комбинаторика – наука о переборе и подсчете комбинаций. 2. Правило умножения: если первое действие в эксперименте можно выполнить «а» способами, после чего второе действие – «b» способами, после чего третье – «с» способами и т.д., то общее число исходов всего эксперимента будет n=a b c …

Например, в рассмотренных экспериментах: а) одновременно бросают две монеты: n=22=4 б) два раза бросают одну и ту же монету: n=22=4 в) друг за другом из колоды вынимают две карты, не возвращая карту обратно («выбор без возвращения»): n=3635=1260 г) друг за другом из колоды вынимают две карты, возвращая карту обратно(«выбор с возвращением»): n=3636=1296

Пример 1. Из колоды в 36 карт одну за другой вытягивают две карты. Какова вероятность того, что они одного цвета? Решим эту задачу в двух вариантах: а) «Выбор без возвращения». Подсчитаем общее количество исходов по правилу умножения: для первой карты у нас 36 вариантов, для второй – 35 вариантов (одну уже вытянули). Отсюда общее количество исходов n=3635=1260

Теперь подсчитаем исходы, при которых обе карты одного цвета: для первой карты – 36 вариантов, для второй карты (если мы хотим, чтобы она была того же цвета, что и первая) – 17 вариантов. Отсюда количество благоприятных для нашего события исходов будет m=3617=612

И искомая вероятность P=(A)=m/n=612/1260=17/35=0,486. б) «выбор с возвращением» Отличие от пункта а) только в том, что можно повторно вытянуть ту же самую карту. Поэтому общее количество исходов будет, n=3636=1296 а количество благоприятных n=3618=648 Вероятность, что карты окажутся одного цвета, P(A)=m/n=648/1296=1/2 Попробуйте объясните, почему в пункте а) эта вероятность оказалась меньше.

3. Правило сложения : если все исходы эксперимента можно разбить на непересекающиеся классы, содержащие a, b, c … возможных исходов, то общее число исходов всего эксперимента будет n=a + b + c +… Пример 2. На один ряд из 7 мест случайным образом рассаживаются 4 мальчика и 3 девочки. Какова вероятность того, что все девочки будут сидеть рядом?

Решение Общее количество всех возможных вариантов расположения 7 человек в один ряд легко подсчитать с помощью правила умножения: на первое место может сесть любой из 7 человек, на второе – любой из 6 оставшихся и т.д. Всего получаем =7! исходов. N! – это факториал числа N, равный произведению всех натуральных чисел от 1 до N.

- Девочки сидят на местах 1,2,3: ДДДММММ - Девочки сидят на местах 2,3,4: МДДДМММ - Девочки сидят на местах 3,4,5: ММДДДММ - Девочки сидят на местах 4,5,6: МММДДДМ - Девочки сидят на местах 5,6,7: ММММДДД Общее число благоприятных исходов: 53!4! Получаем, что искомая вероятность равна: P=53!4!/7!=32/67=1/7

Правило вычитания : для любого события число благоприятных исходов можно найти вычитанием числа неблагоприятный исходов из числа всех исходов эксперимента. Пример 3. Вы получаете 6 карт из колоды. Какова вероятность, что среди них есть хотя бы один туз?

Решение Число всех равновозможных исходов данного эксперимента будет n= Число неблагоприятных исходов, при которых среди 6 сданных карт нет тузов, равно а значит, по правилу вычитания число благоприятных исходов равно m= Ответ: 0,535

Число сочетаний Часто при подсчете вероятностей возникает необходимость определить, сколькими способами можно выбрать k предметов из N? Например: одновременно вынимают две карты из колоды; наугад зачеркивают 6 чисел из 49; случайно отбирают трех человек из 25. Число комбинаций, о которых идет речь в этих экспериментах, часто используется в математике. Оно называется числом сочетаний из N по k и обозначается

Теперь можно найти общее количество исходов в каждом из приведенных выше экспериментов: одновременно вынимают две карты из колоды: наугад зачеркивают 6 чисел из 49: случайно отбирают 3 человек из 25:

Пример 4 Класс, в котором учиться 12 девочек и 12 мальчиков, случайным образом делят на две равные группы для занятий на компьютерах. Какова вероятность того, что мальчиков и девочек в них окажется поровну?

Переформулируем задачу: из 24 учеников этого класса случайно отбирают 12. Какова вероятность, что среди них есть ровно 6 мальчиков? Всего способов выбора 12 человек из 24 будет причем все эти способы равновозможны. Благоприятные исходы: среди выбранных 12 человек содержат ровно 6 мальчиков. Как сформировать любой такой исход? Сначала нужно выбрать любые 6 из 12 мальчиков, а потом добавить к ним любые 6 из 12 девочек. Общее количество таких вариантов выбора можно найти по правилу умножения:

Всего способов выбора 12 человек из 24 будет причем все эти способы равновозможны. Благоприятные исходы: среди выбранных 12 человек содержат ровно 6 мальчиков. Как сформировать любой такой исход? Сначала нужно выбрать любые 6 из 12 мальчиков, а потом добавить к ним любые 6 из 12 девочек. Общее количество таких вариантов выбора можно найти по правилу умножения: Искомая вероятность будет равна: P(A)=

Задача В кооперативном доме 93 квартиры, из которых 3 находятся на первом этаже, а 6 – на последнем. Квартиры распределяются по жребию. Какова вероятность того, что жильцу не достанется квартира, расположенная на первом или на последнем этаже? Решение Общее число равновозможных исходов n=93. Пусть событие А – «жильцу досталась квартира на первом или на последнем этаже»; m=3+6=9 Нас интересует ненаступление события А; понятно, что А не наступит при любом из n и m исходах, то есть P(A)=n-m/n=93-9/93=84/93. Ответ: 84/93.

Задача В ящике находятся 2 белых, 3 черных, 4 красных шара. Наугад вынимается шар. Какова вероятность того, что этот шар: 1) белый, 2) черный, 3) красный, 4) не белый, 5) не черный, 6) не красный? Решение В ящике содержится n=2+3+4=9 шаров. Извлечение шара считаем равновозможным. 1) А – «вынут белый шар»; m(A)=2; P(A)=2/9 2) B – «вынут черный шар»; m(B)=3; P(B)=3/9=1/3 3) C – «вынут красный шар»; m(C)=4; P(C)=4/9 4) D – «вынут не белый шар»; m=n-m(A)=7; P(D)=7/9 5) E – «вынут не черный шар»; m=n-m(B)=6; P(E)=6/9=2/3 6) F – «вынут не красный шар»; m=n-m(C)=5; P(F)=5/9 Для нахождения P(D), P(E), P(F) можно воспользоваться теоремой о вероятности противоположного события. Ответ: 1) 2/9, 2) 1/3, 3) 4/9, 4) 7/9, 5) 2/3, 6) 5/9.

Задача В коробке находится 12 шаров, среди которых n белых, а остальные цветные. Вероятность того, что вынутый наугад шар окажется белым, равна 1/6. Сколько белых шаров в коробке? Решение По условию задачи вероятность события А – «вынутый шар оказался белым» равна P(A)=1/6. Но по формуле классической вероятности P(A)=n/12, то есть получаем уравнение: n/12=1/6. Отсюда n=12/6=2. Ответ: 2 белых шара.

Задача Набирая номер телефона, состоящий из 7 цифр, абонент забыл, в какой последовательности идут 3 последние цифры. Помня лишь, что эти цифры 1, 5 и 9, он набрал первые четыре цифры, которые знал, и наугад комбинацию из цифр 1, 5 и 9. Какова вероятность того, что абонент набрал верный номер? Решение Исходы – перестановки из трех элементов (1, 5 и 9); общее число исходов n=P(3)=3!=6 Событие А – «абонент набрал верный номер»; M(A)=1 (есть только один правильный вариант расположения цифр 1, 5 и 9 в номере телефона); P(A)=m(A)/n=1/6. Ответ: 1/6.

Задача Чтобы открыть сейф, надо набрать в определенной последовательности пять цифр (без их повторения): 1, 2, 3, 4, и 5. Какова вероятность того, что если набирать цифры в произвольном порядке, то сейф откроется? Решение Исходы – все возможные перестановки из 5 цифр (1, 2, 3, 4, и 5); общее число исходов n=P(5)=5!=120/ Событие А – «после набора цифр сейф откроется»; m(A)=1 (есть только один правильный выбор); P(A)=m(A)/n=1/120. Ответ: 1/120.

Задача На полке стоит 12 книг, из которых 4 – это учебники. С полки наугад снимают 6 книг. Какова вероятность того, что 3 из них окажутся учебниками? Решение Исходы – все возможные наборы из 6 книг без учета порядка, снимаемых с полки; общее число исходов Событие А – «из 6 снятых книг 3 оказались учебниками»; m(A)= (выбор 3 учебников из 4 имеющихся)х (дополнение набора 3 книгами из 8 книг – не учебников)= =224 Искомая вероятность P(A)=m(A)/n=224/924=8/33/ Ответ: 8/33.