Ведение в Математический анализ – часть математики, в которой функции и их обобщения изучаются с помощью пределов. Классификация Чисел

СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ФУНКЦИИ 1) словесный; 2) табличный; 3) графический; ОПР. Графиком функции y = f(x) называется геометрическое место точек плоскости с координатами (x; f(x)). График функции y = f(x) будем также называть «кривой y = f(x)». 4) аналитический: а) явное задание (т.е. формулой y = f(x) ) б) неявное задание (т.е. с помощью уравнения F(x,y)=0 ).

Классификация вещественных функций вещественного аргумента

ОСНОВНЫЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ: 1) степенные: y = x r (r ) 2) показательные: y = a x (a > 0, a 1) 3) логарифмические: y = log a x (a > 0, a 1) 4) тригонометрические: y = sinx, y = cosx, y = tgx, y = ctgx 5) обратные тригонометрические: y = arcsinx, y = arccosx, y = arctgx, y = arcctgx ОПР. Элементарной функцией называется функция, которая может быть задана одной формулой y = f(x), где f(x) – выражение, составленное из основных элементарных функций и действительных чисел с помощью конечного числа операций сложения, вычитания, умножения, деления и взятия функции от функции.

Многочленом степени n (полиномом, целой рациональной) называется функция вида Рациональной (дробной рациональной) функцией называют отношение двух многочленов Иррациональными функциями называют функции, полученные конечным числом арифметических операций над аргументом х и конечным числом композиций степенных функций с рациональным показателем.

Алгебраическими функциями называют рациональные (целые рациональные и дробные рациональные) и иррациональные функции. Трансцендентными называют остальные элементарные функции.

Основные характеристики поведения функции 1) Чётность функции (чётная, нечётная, общего вида); 2) Периодичность функции; 3) Монотонность функции (возрастающая, убывающая, неубывающая, невозрастающая); 4) Ограниченность функции (ограниченная сверху, ограниченная снизу, ограниченная).

§ Предел функции Определение предела функции по Коши Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки x 0 ̄, кроме, может быть, самой точки x 0. U * (x 0, ) = U(x 0, ) \ {x 0 } – проколотая окрестность точки x 0. ОПР. (по Коши, на языке - ). Число A называется пределом функции f(x) при x, стремящемся к x 0 (пределом функции f(x) в точке x 0 ), когда >0 >0 такое, что если x U * (x 0, ), то f(x) U(A, ).

Геометрическая интерпретация понятия предела функции x y f(x) A x0x0 2δ2δ 2ε2ε x0+h2x0+h2 x0-h1x0-h1 A-ε A+ε

Свойства пределов 1)Если функция имеет предел при x x 0, то этот предел единственный. 2)Если функция f(x) имеет предел при x x 0, то она ограничена в некоторой проколотой окрестности точки x 0 (говорят: функция локально ограничена).

3) Пусть f(x) и g(x) имеют предел при x x 0. Тогда их сумма, разность, произведение и частное тоже имеют предел при x x 0, причем Следствие свойства 3. Если f(x) имеет предел при x x 0, то c функция с f(x) тоже имеет предел при x x 0, причем Говорят: «константу можно вынести за знак предела». Замечание. Свойство 3 и его следствие обычно называют теоремами о пределах.

ОПР. Функция (x) называется бесконечно малой при x x 0, если 4) ЛЕММА Число A является пределом функции f(x) при x x 0 f(x) = A + (x), где (x) – бесконечно малая при x x 0. 5) Пусть f(x) – ограничена в некоторой проколотой окрестности точки x 0, (x) – бесконечно малая функция при x x 0. Тогда f(x) (x) – бесконечно малая функция при x x 0.

6) Пусть f(x) имеет предел при x x 0 и >0 такое, что f(x) 0 (или f(x) > 0), x U * (x 0, ). Тогда 7) Пусть f(x) и g(x) имеют пределы при x x 0 и >0 такое, что f(x) g(x) (или f(x) > g(x)), x U * (x 0, ). Тогда 8) ЛЕММА (о сжатом элементе). Пусть f(x) и g(x) имеют одинаковый предел при x x 0 и >0 такое, что f(x) (x) g(x), x U * (x 0, ). Тогда функция (x) тоже имеет предел при x x 0, причём

9)Пусть f: X Y, : Y Z и существуют пределы Тогда сложная функция (f(x)) имеет предел при x x 0, причем Формула (1) называется формулой замены переменной в пределе.

Односторонние пределы. Условие существования (x 0 ). Пусть f(x) определена в некоторой окрестности точки x 0, кроме, может быть, самой точки x 0. ОПР. 1) Число A называется пределом функции f(x) при x, стремящемся к x 0 слева (в точке x 0 слева), если >0 >0 такое, что если x удовлетворяет условию 0 < x 0 – x <, топ(x) U(A, ). 2) Число B называется пределом функции f(x) при x, стремящемся к x 0 справа, если >0 >0 такое, что если x удовлетворяет условию 0 < x – x 0 <, топ(x) U(B, ).

Обозначают: – предел f(x) в точке x 0 слева, – предел f(x) в точке x 0 справа. Если x 0 = 0, то пределы слева и справа обозначают:

ТЕОРЕМА (необходимое и достаточное условие существования предела f(x) при x x 0 и x 0 ). Функция f(x) имеет предел (конечный) при x x 0 существуют конечные и равные между собой односторонние пределы функции f(x) при x x 0. При этом Замечание. Все свойства пределов остаются справедливыми и для односторонних пределов.

§ Непрерывность функции Три определения непрерывности Пусть f(x) определена в некоторой окрестности точки x 0. ОПР 1. Функция f(x) называется непрерывной в точке x 0, если предел функции в точке x 0 равен значению функции в этой точке: Замечание. В силу теоремы о существовании предела равенство (1) можно записать в виде Условие (2) – определение непрерывности функции в точке на языке односторонних пределов.

ОПР 2. (на языке - ). Функция f(x) называется непрерывной в точке x 0, если >0 >0 такое, что дляx U(x 0, )(т.е. | x – x 0 | < ), выполняетсяf(x) U(f(x 0 ), )(т.е. | f(x) – f(x 0 ) | < ). Пусть x, x 0 D( f ) (x 0 – фиксированная, x – произвольная) Обозначим: x = x – x 0 – приращение аргумента f(x 0 ) = f(x) – f(x 0 ) – приращение функции в точке x 0 ОПР 3. (на языке приращений). Функция f(x) называется непрерывной в точке x 0, если в этой точке бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции, т.е.

Пусть функция f(x) определена на промежутке [x 0 ; x 0 + ) (на промежутке ( x 0 – ; x 0 ] ). ОПР. Функция f(x) называется непрерывной в точке x 0 справа (слева), если справедливо равенство Очевидно, что f(x) непрерывна в точке x 0 f(x) непрерывна в точке x 0 справа и слева. ОПР. Функция f(x) называется непрерывной на интервале (a; b) если она непрерывна в каждой точке этого интервала. Функция f(x) называется непрерывной на отрезке [a; b] если она непрерывна на интервале (a; b) и имеет одностороннюю непрерывность в граничных точках (т.е. непрерывна в точке a справа, в точке b – слева).

СВОЙСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ Пусть X = {x 0 } или X = (a; b) или X = [a; b]. 1)Сумма, разность и произведение конечного числа непрерывных на множестве X функций является функцией непрерывной на X. 2)Если функции f(x) и g(x) непрерывны на X и g(x) 0, x X, то частное f(x)/g(x) – непрерывная на множестве X функция. 3)Пусть f: X Y, : Y Z. Если f(x) непрерывна на X, (x) – непрерывна на Y, то сложная функция (f(x)) непрерывна на X. Свойства 1, 2, 3, следуют из свойств пределов функций.

4) Основные элементарные функции непрерывны во всех точках области определения этих функций. Если функция непрерывна всюду в области определения, то её называют непрерывной. 5) Элементарные функции непрерывны во всех точках области определения этих функций. (следствие свойств 1– 4) ВЫВОД. В точках области определения функции предел функции равен значению функции в точке: Но часто при вычислении пределов возникают неопределённости, для раскрытия которых применяют различные приёмы.

Различают следующие виды неопределённостей:

§ Бесконечно большие функции Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки x 0 ̄, кроме, может быть, самой точки x 0. ОПР. (на языке - ). Функцию f(x) называют бесконечно большой при x x 0 (в точке x 0 ), если M>0 >0 такое, что если x U * (x 0, ), то | f(x) |>M. Говорят: «f(x) стремится к при x x 0 » «предел функции f(x) при x x 0 равен ».

Частные случаи бесконечно больших функций: 1) f(x) – б.б.ф. при x x 0 и f(x) 0, x U * (x 0, ). Тогда| f(x) | = f(x) >M, x U * (x 0, ) Записывают: Говорят: «f(x) стремится к + при x x 0 » «предел функции f(x) при x x 0 равен + ». 2) f(x) – б.б.ф. при x x 0 и f(x) 0, x U * (x 0, ). Тогда| f(x) | = – f(x) > M f(x) < – M, x U * (x 0, ) Записывают: Говорят: «f(x) стремится к – при x x 0 » «предел функции f(x) при x x 0 равен – ».

СВОЙСТВА БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИХ ФУНКЦИЙ 1) Если f(x) – б.б.ф. при x x 0, то функция 1/f(x) – б.м.ф. при x x 0. Если (x) – б.м.ф. при x x 0, то функция 1/ (x) – б.б.ф. при x x 0. (связь бесконечно больших и бесконечно малых функций). 2) Если f(x) и g(x) – б.б.ф. функции одного знака, то их сумма f(x) + g(x) – б.б.ф. того же знака. 3) Если f(x) и g(x) – б.б.ф. функции одного знака, то их разность f(x) - g(x) – неопределённость вида.

Определение предела функции символы определение картинка пример x y f(x) A x0x0 2δ2δ 2ε2ε x y x0x0 2ε2ε 2δ2δ |2x+5-7|=2|x-1|<ε |x-1|<δ= ε/2 f(x) называется б. м., если f(x) называется б. б., если f(x) называется б. б., если

Определение предела функции (продолжение) символы определение картинка пример x y f(x) 1 x y 2ε2ε A C -C

§ Замечательные пределы Название замечательных пределов в математическом анализе получили следующие два утверждения: – первый замечательный предел; – второй замечательный предел. СЛЕДСТВИЯ ПЕРВОГО ЗАМЕЧАТЕЛЬНОГО ПРЕДЕЛА

СЛЕДСТВИЯ ВТОРОГО ЗАМЕЧАТЕЛЬНОГО ПРЕДЕЛА Замечание. Из формулы замены переменной 1-й и 2-й замечательный пределы и их следствия остаются верными, если x заменить любой б.м. функцией (x).

§ Сравнение б.м. и б.б. функций Пусть функции (x) и (x) – б.м.ф. при x x 0. ОПР. 1) (x) называется бесконечно малой более высокого порядка чем (x), если Записывают: (x) = o( (x)). 2) (x) и (x) называются бесконечно малыми одного порядка, если где С и C 0. Записывают: (x) = O( (x)). 3) (x) и (x) называются эквивалентными, если Записывают: (x) ~ (x).

4) (x) называется бесконечно малой порядка k относительно бесконечно малой (x), если бесконечно малые (x) и ( (x)) k имеют один порядок, т.е. если где С и C 0. ТЕОРЕМА (о замене бесконечно малых на эквивалентные). Пусть (x), (x), 1 (x), 1 (x) – б.м. при x x 0. Если (x) ~ 1 (x), (x) ~ 1 (x), то ТЕОРЕМА (о главной части бесконечно малой). Пусть (x) и (x) – б.м. при x x 0, причем (x) – б.м.ф. более высокого порядка, чем (x). Тогда (x) = (x) + (x) ~ (x). Б.м.ф. (x) называют в этом случае главной частью бесконечно малой (x).

Замечание. Из 1-го и 2-го замечательных пределов и их следствий можно получить таблицу эквивалентных бесконечно малых функций:

Аналогично бесконечно малым сравниваются и бесконечно большие функции. А именно, если f(x) и g(x) – бесконечно большие при x x 0, то 1)f(x) называется бесконечно большой более высокого порядка чем g(x) если 2)f(x) и g(x) называются бесконечно большими одного порядка, если где С и C 0 ; 3)f(x) и g(x) называются эквивалентными бесконечно большими (записывают: f(x) ~ g(x)), если 4)f(x) называется бесконечно большой порядка k относительно бесконечно большой g(x), если где С и C 0.

ТЕОРЕМА (о замене бесконечно больших на эквивалентные). Пусть f(x), g(x), f 1 (x), g 1 (x) – б.б. при x x 0. Если f(x) ~ f 1 (x), g(x) ~ g 1 (x), то ТЕОРЕМА (о главной части бесконечно большой функции). Пусть f(x) и g(x) – б.б. при x x 0, причем g(x) – бесконечно большая функция более высокого порядка, чем f(x). Тогда z(x) = f(x) + g(x) ~ g(x). Б.б.ф. g(x) называют в этом случае главной частью бесконечно большой z(x).

Нельзя заменять эквивалентные б.м.ф. (б.б.ф.) в разности; предварительно надо выполнить тождественные преобразования, чтобы избавиться от разности, если (x) ~ (x) при x x 0 ( ).

§ Предел последовательности ОПР. Последовательностью называется функция, заданная на множестве натуральных чисел. Если область значений последовательности – числовое множество, то последовательность называют числовой, если область значений – множество функций, то последовательность называют функциональной.

Принято обозначать: аргумент последовательности: n (или k) значения функции: x n, y n и т.д. Называют:x 1 – первый член последовательности, x 2 – второй член последовательности и т.д. x n – n-й (общий) член последовательности. Способы задания последовательностей: 1) явно (т.е. формулой x n = f(n) ) 2) рекуррентным соотношением (т.е. формулой x n = F(x n-1, x n-2,…, x n-k ) ) Записывают последовательность: { x 1, x 2, …, x n, …} – развернутая запись; { x n } – короткая запись (где x n – общий член последовательности).

ОПР. Число a называется пределом последовательности { x n }, если >0 N такое, что n>N: | x n – a | <. Записывают: Говорят: последовательность { x n } сходится (стремится) к a. Последовательность, имеющую предел, называют сходящейся (сходящейся к числу a) Последовательность, не имеющую предела, называют расходящейся.

ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ предела последовательности Пусть r, M(r) Ox M(r) – геометрическая интерпретация числа r. Пусть x 0, >0. Интервал (x 0 – ; x 0 + ) называют -окрестностью точки x 0. (геометрическое определение -окрестности точки) Будем обозначать: U(x 0, ) U(x 0, ) = {x : |x – x 0 | < } (алгебраическое определение -окрестности точки)

Из определения предела последовательности следует: если {x n } a, то с геометрической точки зрения это означает, что в любой -окрестности точки a находятся все члены последовательности {x n }, за исключением, может быть, конечного числа членов этой последовательности. (Геометрическая интерпретация предела последовательности). a – точка «сгущения» последовательности { x n }.

Число А называется пределом последовательности {x n } при n, если Пишут: n xnxn Доказать: 1±1/ n

Последовательность {x n } называется бесконечно малой, если то есть если n xnxn ε=0,2 ε=0,1 2ε2ε 2ε2ε

Последовательность {x n } называется бесконечно большой, если Пишут: n xnxn x n =n 2 8 C=9 C=100 11

Опр. Последовательность {x n } называется - возрастающей, если для любого n x n < x n+1 ; обозначают () - неубывающей, если для любого n x n x n+1 ; () - убывающей, если для любого n x n > x n+1 ; () - невозрастающей, если для любого n x n x n+1 ; () Опр. Возрастающая и убывающая последовательности называются монотонными. Теорема Вейерштрасса (о существовании предела монотонной последовательности) Если последовательность {x n } монотонно возрастает (убывает) и ограничена сверху (снизу), то она имеет конечный предел, равный sup{x n } ( inf {x n } ). Предел монотонной последовательности

Определение предела функции по Гейне (на языке последовательностей)

§ Точки разрыва и их классификация ОПР. Если функция f(x) определена в некоторой окрестности точки x 0, но не является непрерывной в этой точке, то f(x) называют разрывной в точке x 0, а саму точку x 0 называют точкой разрыва функции f(x). Замечания. 1)f(x) может быть определена в односторонней окрестности точки x 0. Тогда рассматривают соответствующую одностороннюю непрерывность функции. 2)Из определения точка x 0 является точкой разрыва функции f(x) в случаях, когда нарушается хотя бы одно из равенств:

Пусть x 0 – точка разрыва функции f(x). ОПР. Точка x 0 называется точкой разрыва первого рода, если функция f(x) имеет в этой точке конечные пределы слева и справа. Если при этом односторонние пределы равны, то точка x 0 называется точкой устранимого разрыва, при неравных односторонних пределах – точкой скачка. ОПР. Точка x 0 называется точкой разрыва второго рода, если хотя бы один из односторонних пределов функции f(x) в этой точке равен или не существует.

План исследования функции на непрерывность 1. Найти точки, подозрительные на разрыв. (точки, в которых функция не определена или не задана). 2. Найти односторонние пределы для каждой подозрительной точки. Вычислить значение функции в этой точке, если оно существует. 3. Классифицировать характер разрыва. 4. Построить эскиз графика. (При необходимость вычислить пределы функции на плюс - бесконечности и минус - бесконечности). Примеры y x 1 1 y x

Дан график функции. Классифицировать точки разрыва y x

§ Свойства функций, непрерывных на отрезке ТЕОРЕМА (Вейерштрасса). Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a; b]. Тогда 1) f(x) – ограничена на [a; b] ; 2) f(x) принимает на [a; b] свое наибольшее и наименьшее значения. ОПР. Значение функции m = f(x 1 ) называется наименьшим, если m f(x), x D(f). Значение функции M = f(x 2 ) называется наибольшим, если M f(x), x D(f). Замечание. Наименьшее (наибольшее) значение функция может принимать в нескольких точках отрезка.

ТЕОРЕМА (Коши, о промежуточных значениях). Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a; b] и – число, заключенное между f(a) и f(b). Тогда существует хотя бы одна точка x 0 [a; b] такая, что f(x 0 ) =. СЛЕДСТВИЕ 1 (теоремы Коши). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a; b] и на его концах принимает значения разных знаков, то на (a; b) существует хотя бы одна точка, в которой функция обращается в ноль. СЛЕДСТВИЕ 2 (теорем Коши и Вейерштрасса). Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a; b], то множеством ее значений является отрезок [m; M], где m и M – соответственно наименьшее и наибольшее значения функции f(x) на отрезке [a; b].