Непрерывность функции Рассмотрим функцию f(x), определенную в некоторой окрестности точки Функция f(x) называется 1) она имеет предел в точке если 2) этот. - презентация

1 Непрерывность функции Рассмотрим функцию f(x), определенную в некоторой окрестности точки Функция f(x) называется 1) она имеет предел в точке если 2) этот предел равен значению функции f(x) в точке непрерывной в точке Определение 1.

2 Замечания. 1. Для непрерывной функции символ lim предельного перехода и символ f функции можно менять местами. 2. Пусть Если нарушено хотя бы одно из этих условий, то функция f(x) в точке имеет разрыв.

3 Пусть функция y=f(x) определена в некоторой окрестности точки x. (). Приращение аргумента и функции - приращение аргумента - приращение функции f в точке, отвечающее приращению аргумента точки.

4 Условие непрерывности f(x) в точке Замечание.

5 Определение непрерывности через приращения аргумента и функции приращение функции в этой точке, стремится к нулю при. Определение 3. Функция f(x) называется если непрерывной в точке отвечающее приращениюаргумента,

6 Пример. Показать, что функция непрерывна в любой точке числовой оси. Решение.

7 Определение непрерывности на языке Определение 2. Функция f(x) называется непрерывной в точке для любого числа если существует число такое, что для всех, удовлетворяющих условию выполняется неравенство

8 Определение непрерывности по Гейне Функция f(x) называется если для любой последовательности точек соответствующаяпоследовательность значений функции Пусть функция f(x) задана на произвольном множестве и пусть точка Определение 4. непрерывной в точке сходящихся к точке сходится к точке

9 Пример. Функция Дирихле По определению Гейне функция Дирихле не является непрерывной в любой точке

10 Непрерывность в точке

11 Локальные свойства функции, непрерывной в точке Теорема 13. Если функция то существует такое, что для всех x из интервала 1)непрерывна в точке 2)

12 Доказательство. Зададим Пусть По определению непрерывности f(x) в точке

13 Устойчивость знака непрерывной функции Доказательство следует из теоремы 13, если задать Если функция 1)непрерывна в точке 2) то существует окрестность точки в которой функция 1) не обращается в нуль 2) сохраняет один и тот же знак (знак числа Теорема 14.

14

15 Основные элементарные функции и их непрерывность

16 Степенная функция Область определения: Монотонно возрастает, если и монотонно убывает, если

17 Область определения: нечётное чётное

18 Показательная функция Область определения: Монотонно возрастает, если и монотонно убывает, если а- основание степени

19 Логарифмическая функция Область определения: а- основание логарифма Монотонно возрастает, если и монотонно убывает, если обратная функция для

20 Тригонометрические функции Область определения: Периодическая синусоида Область определения: Периодическая

21 Тригонометрические функции Область определения: Периодическая Область определения: Периодическая

22 Обратные тригонометрические функции монотонно возрастает. Область определения: Область значений:

23 Функции, Утверждение. Все основные элементарные функции непрерывны в каждой точке своих областей определения. конечного числа арифметических операций или которые получены из основных с помощью операций взятия функции от функции, применённое конечное число раз, называются элементарными функциями.

24 Доказательство. Покажем непрерывность функции Докажем неравенство. О А В С Пусть

25 ВозьмёмЗададим приращение По теореме о пределе промежуточной функции непрерывна в любой точке R.

26 Замечательные пределы

27 1-й замечательный предел. А В О С Разделим на Верно для и верно для Функция непрерывна в любой точке x, в том числе в точке x=0. По теореме о пределе промежуточной функции

28 2-й замечательный предел Нам известен предел последовательности Докажем для Рассмотрим случай по т. 4 ПустьЗададим

29 Операции над непрерывными функциями

30 Арифметические операции над непрерывными функциями Пусть функция и определены в некоторой окрестности точки Если и непрерывны в точке Теорема 15. то также непрерывны в точке их сумма разность произведение частное

31 Доказательство. Пусть и непрерывны в точке и По теореме 14 (устойчивость знака непрерывной функции) окрестность точки определена в окрестности По теореме о пределе частного По определению непрерывности Функциянепрерывна в точке Докажем для

32 Сложная функция. Непрерывность сложной функции Пусть функция задана на множестве -множество значений u. Пусть функция задана на множестве... x u y x E Функция - сложная функция от x. Пример.

33 Переход к пределу под знаком непрерывной функции Если Теорема 16. 1) функция в точке имеет предел, равный числу А, то функция в точке имеет предел, равный 2) функция непрерывна в точке

34 Доказательство. непрерывна в точке u=A. По условию Правило перехода под знаком непрерывной функции.

35 Пример. Показать, что Решение. Функция -сложная: Функция непрерывна в точке u=e.

36 Непрерывность сложной функции Теорема 17. Если функция то сложная функция а функция непрерывна в точке

37 Доказательство. Функция По теореме 16 о переходе к пределу под знаком непрерывной функции Функция непрерывна в точке

38 Непрерывность функции определения непрерывности в точке, локальные свойства непрерывности, основные элементарные функции, замечательные пределы, арифметические операции над непрерывными функциями, сложная функция и её непрерывность.