Квадратные уравнения Учитель математики ГБОУ Лицей 126 г.Санкт-Петербург Ольшина Марина Валерьевна

Цели: 1. Систематизация знаний по теме «Квадратные уравнения»; 2. Развитие интереса к предмету. Задачи: 1. Знать определение квадратного уравнения, типы, методы решения; 2. Понимать отличительные особенности квадратных уравнений; 3. Применять полученные знания при решении рациональных, иррациональных уравнений, сокращении дробей, решении задач.

Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до н. э. вавилоняне.

325 – 409 г.г. по Р. Х. знаменитый александрийский математик. ДИОФАНТ В арифметике Диофанта отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений. При составлении уравнений Диофант для упрощения решения умело выбирает неизвестные.

Задача Диофанта Найти два числа, зная, что их сумма равна 20, а произведение 96. Если бы искомые числа были равны: 10 То произведение чисел было бы равно 100 ПРОТИВОРЕЧИЕ С УСЛОВИЕМ!!!

Найти два числа, зная, что их сумма равна 20, а произведение 96. Значит, одно из этих чисел будет больше половины их суммы, т. е. (10 + х), другое же меньше, т. е. (10 – х). Разность между ними 2 х. Отсюда уравнение: (10+x)(10x) =96, 100 x 2 = 96. x = 0 х = 2 Одно из искомых чисел равно 12, другое 8. Решение х = - 2 для Диофанта не существует, так как греческая математика знала только положительные числа.

Интересные способы решения квадратных уравнений встречаются в трудах индийского ученого Бхаскары Бхаскары (600 – около 680 г.г.). И арабского ученого Ал – Хорезми (780 – около 850 г.г.)

Задача знаменитого индийского математика XII в. Бхаскары: Обезьянок резвых стая всласть поевши, развлекалась, их в квадрате часть восьмая на поляне забавлялась, а двенадцать по лианам стали прыгать, повисая. Сколько ж было обезьянок, ты скажи мне, в этой стае?

Решение Бхаскары свидетельствует о том, что он знал о двузначности корней квадратных уравнений. Бхаскара пишет: x x = и, чтобы дополнить левую часть этого уравнения до квадрата, прибавляет к обеим частям 1024, получая затем: x х = , (х - 32) 2 = 256, х - 32= ±16, x 1 = 16, x 2 = 48.

Квадрат и число 21 равны 10 корням. Найти корень (подразумевается корень уравнения х = 10 х). Решение автора гласит примерно так: раздели пополам число корней, получишь 5, умножь 5 само на себя, от произведения отними 21, останется 4. Извлеки корень из 4, получишь 2. Отними 2 от 5, получишь 3, это и будет искомый корень. Или же прибавь 2 к 5, что даст 7, это тоже есть корень. Задача Ал – Хорезми:

Квадратным уравнением называется уравнение вида где коэффициенты a,b,c-любые действительные числа, причем Определение квадратного уравнения

Определение корня Корнем квадратного уравнения называют такое значение переменной х, при котором квадратный трехчлен обращается в нуль;

Типы квадратных уравнений полные неполные а) б) в)

a)9 х 2 =0; б)3x+ x 2 +1=0; в)2x 2 -32=0; г) x 2 +4x=0; д)2 х 2 +5 х-7=0; е)12-х 2 +3 х=0. Данные уравнения разбейте на полные и неполные:

а) 9 х 2 = 0; в) 2 х 2 -32=0; г ) х 2 +4 х=0. б) 3 х+х 2 +1=0; д)2 х 2 +5 х-7=0; е)12-х 2 +3 х=0. неполные: полные:

Способы решения неполных квадратных уравнений c=0b=0b=0;c=0

Решите уравнения:

Формулы корней полного квадратного уравнения Корней нет Один корень Два корня

Формула четного коэффициента b=2k a=1

Теорема Виета - корни квадратного уравнения

1. Найдите корни квадратного уравнения, не используя формулы корней: Корней нет 2. Составьте приведенное квадратное уравнение, корнями которого являются числа 3 и -7:

Применение квадратных уравнений -решение рациональных уравнений; -решение иррациональных уравнений; -решение задач; - разложение квадратного трехчлена на множители; - сокращение дробей.

1. Решите уравнения: 2. Сократите дробь: 3. При каком значении параметра a уравнение имеет один корень? Задание:

Проверь себя! Ответ: 1;2.

Проверь себя! Корней нет Ответ: -4;4.

Проверь себя! Проверка: Ответ: посторонний корень

Проверь себя! 2. Сократить дробь:

Проверь себя! Квадратное уравнение имеет один корень, если D=0; Ответ: а=-6;а=6. 3.

Составьте математическую модель для решения задачи: В прямоугольном треугольнике один катет меньше гипотенузы на 4 см, а другой – на 8 см. Найдите гипотенузу.

Домашнее задание: 1. Решите уравнения: 2. Сократите дробь: 3. При каком значении параметра а уравнение имеет один корень?

Использованные ресурсы 1.Ш.А.Алимов.Алгебра.Учебник для 8 класса. М. :Просвещение, М.В.Ткачева.Алгебра 8 класс. Дидактические материалы к учебнику Алимова. -М. :Просвещение, Изображения: Диофант Бхаскара content/uploads/2013/02/Bhaskarach%C4%81rya.jpghttp://living-smartly.com/wp- content/uploads/2013/02/Bhaskarach%C4%81rya.jpg Ал-Хорезми 03_html_64e7f358. jpg 03_html_64e7f358. jpg Вавилон 9_Mesopotamiya.jpghttp://forexaw.com/TERMs/Geografiya/img228249_4- 9_Mesopotamiya.jpg Веселая картинка