В треугольнике АВС биссектриса ВЕ и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 4. Найти стороны треугольника АВС. Урок одной задачи (длительная проектная деятельность)

Общим для всех способов решений данной задачи является: - О – точка пересечения ВЕ и AD; - АВО = DBO; - AO = OD = 2 и AB = BD, и, значит ВС = 2АВ.

Способ 1 (координатный). В данной системе точки А, D, В имеют координаты А (-2; 0), D (2; 0) и B (0; b). Для того, чтобы определить длины сторон треугольника АВС, надо найти число b. Выразим через b координаты точек С и Е. Так как D – середина отрезка ВС, то С (4; -b). Для точки Е имеем координаты (0; у). Вторую координату точки Е найдём, пользуясь тем, что точка Е принадлежит прямой АС. Уравнение прямой АС имеет вид Координаты точки Е (0; у) удовлетворяют этому уравнению. Подставив в него 0 вместо х, получим. Следовательно. По условию, ВЕ = 4, значит, или b = 3. Итак, А (-2; 0), В(0; 3), С (4; -3). Зная координаты вершин треугольника АВС найдём его стороны:

Способ 2 (векторный). Положим. Векторы и выразим через и. Т. к. ВС = 2 BD, то СЕ = 2 АЕ (по свойству биссектрисы треугольника). Пользуясь формулой деления отрезка в данном отношении, получим: Согласно правилу вычитания векторов, имеем: Длины векторов и известны. Пусть = а, тогда = 2 а. Вычислив скалярные квадраты векторов и, получим уравнения: и. Отсюда а 2 = 13 и. Значит. Найдём теперь сторону АС, пользуясь векторной формулировкой теоремы косинусов:. Подставив вместо а 2 и найденные выше значения, получим

Способ 3 (аналитический) Медиану AD и биссектрису ВЕ треугольника АВС выразим через длины a, b, c сторон треугольника по формулам: ВЕ 2 = ас – а 1 с 1, где а 1 = СЕ, и с 1 = АЕ. Пусть АВ=х, АЕ=у, тогда ВС=2 х и СЕ=2 у. Получим систему уравнений: Отсюда х 2 = 13, у 2 = 5. Значит и Способ 4 (тригонометрический с применением теоремы косинусов) Обозначим АВ = х,. По теореме косинусов из треугольников АВС и ВСЕ находим: АЕ 2 = х – 8 х cos α, СE 2 = 4x – 16x cos α. Учитывая, что СЕ = 2АЕ или СЕ 2 = 4АЕ 2, получаем: x cos α = 3. Но cos α = ВО, значит, ВО = 3 и ОЕ = 1. Остаётся, пользуясь теоремой Пифагора, вычислить сторона треугольника АВС.

Способ 5 (с помощью площадей). Так как АО = OD = 2, ВЕ = 4 и, то площадь каждого из треугольников BAE и BDE равна 4 (см. рисунок). Площадь треугольника CDE также равна 4, так как медиана ED делит треугольник ВСЕ на два равновеликих треугольника. Значит, площадь треугольника АВС равна 12. Поскольку AD – медиана треугольника АВС, то площадь треугольника ABD равна 6. Остаётся применить формулу площади треугольника. Получим: АО · ВО = 6. Но АО = 2, значит ВО = 3. Стороны треугольника АВС найдём по теореме Пифагора.

Способ 6 (с помощью осевой симметрии). Точки A и D симметричны относительно биссектрисы ВЕ. Построим ещё точку, симметричную точке С относительно прямой ВЕ. Для этого продолжим отрезок DE до пересечения с прямой АВ и обозначим через F точку пересечения прямых АВ и DE (см. рисунок). Получим равно- бедренный треугольник BCF; из равенства треугольников BEF и ВЕС следует, что BF = BC. Продолжим ещё биссектрису ВЕ до пересечения с CF в точке Н. Тогда ВН – биссектриса треугольника BCF, а следовательно, и его медиана. Таким образом Е – точка пересечения медиан треугольника BCF, и поэтому ЕН = 0,5 ВЕ= 2, а ВН = 6. Средняя линия AD треугольника BCF делит медиану ВН пополам, поэтому ВО = 3. Дальнейший ход решения аналогичен предыдущим.

Способ 7 (по теореме о средней линии треугольника). Проведём среднюю линию DK треугольника ВСЕ (см. рисунок). Так как DK || BE и АО = OD, то ОЕ – средняя линия треугольника ADK. Следовательно: и, т. е.. Так как ВЕ = 4, то ОЕ = 1 и ВО = 3. Из приведённого решения видно, что отношение ВО/ОЕ не зависит от длин отрезков ВЕ и AD. Найти это отношение можно также, используя лишь то факт, что AD – медиана треугольника АВС и АО = ОВ, причём без всяких вспомогательных построений.