ОБЛАСТНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ТОМСКИЙ ЭКОНОМИКО-ПРОМЫШЛЕННЫЙ КОЛЛЕДЖ Кривые поверхности второго порядка Томск Преподаватель: Стратьева А.В Выполнил: Аюбов Фарход

Поверхности второго порядка Поверхностью второго порядка S называется геометрическое место точек, декартовы прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида: где по крайней мере один из коэффициентов отличен от нуля. Это уравнение называют общим уравнением поверхности второго порядка S (обозначим это ур-е 1), а систему координат Oxyz называют общей системой координат. Теорема: Для произвольной поверхности S, заданной общим уравнением существует такая декартова прямоугольная система координат что в этой системе поверхность S имеет уравнение одного из следующих семнадцати канонических видов. 1) эллипсоид, 2) мнимый эллипсоид, 3) однополостный гиперболоид, 4) двуполостный гиперболоид, 5) конус, 6) мнимый конус (точка), 7) эллиптический параболоид,

8) гиперболический параболоид, 9) эллиптический цилиндр, 10) мнимый эллиптический цилиндр, 11) две мнимые пересекающиеся плоскости (ось O'Z), 12) гиперболический цилиндр, 13) две пересекающиеся плоскости, 14) параболический цилиндр, 15) две параллельные плоскости, 16) две мнимые параллельные плоскости, 17) две совпадающие плоскости (плоскость XOZ). В выше перечисленных уравнениях a, b, c, p ­ положительные параметры. Систему координат называют канонической.

Поверхность второго порядка, рассматриваемая как геометрический объект, не меняется, если от данной декартовой прямоугольной системы координат перейти к другой декартовой системе координат. Отметим, что исходное уравне­ние (1) и уравнение, полученное после преобразования координат, алгебраически эквивалентны. Классификация центральных поверхностей. Пусть S центральная поверхность второго порядка. Перенесем начало координат в центр этой поверхности, а затем произведем стандартное упрощение уравнения этой поверхности. В результате уравнение поверхности примет вид: a11 х 2 + а 22 у 2 + a33z2 + а 44 =0 (2) Так как инвариант I3 для центральной поверхности отличен от нуля и его значение, вычисленное для уравнения (2), равно a11 а 22 a33, то коэффициенты a11,а 22, a33 удовлетворяют условию :.

Эллипсоид Каноническое уравнение эллипсоида имеет вид: Свойства эллипсоида: Эллипсоид обладает 1) Центральной симметрией относительно начала координат, 2) Осевой симметрией относительно координатных осей, 3) Плоскостной симметрией относительно начала координат. В сечении эллипсоида плоскостью, перпендикулярной любой из координатных осей, получается эллипс.

1. Однополостный гиперболоид. Каноническое уравнение однополостного гиперболоида имеет вид: Свойства гиперболоида: Однополостный гиперболоид обладает 1) Центральной симметрией относительно начала координат, 2) Осевой симметрией относительно координатных осей, 3) Плоскостной симметрией относительно начала координат. В сечении однополостного гиперболоида плоскостью, перпендикулярной оси координат Oz, получается эллипс, а плоскостями, ортогональными осям Ox и Oy – гипербола. Гиперболоиды

2. Двуполостный гиперболоид. Каноническое уравнение двуполостного гиперболоида имеет вид: Свойства двуполостного гиперболоида: Двуполостный гиперболоид обладает 1) Центральной симметрией относительно начала координат, 2) Осевой симметрией относительно координатных осей, 3) Плоскостной симметрией относительно начала координат. В сечении однополостного гиперболоида плоскостью, перпендикулярной оси координат Oz, при |z| > c получается эллипс, при |z| = c – точка, а в сечении плоскостями, перпендикулярными осям Ox и Oy, – гипербола. Гиперболоиды

Параболоиды 1. Эллиптический параболоид. Каноническое уравнение эллиптического параболоида имеет вид: Свойства эллиптического параболоида: Эллиптический параболоид обладает 1) Осевой симметрией относительно оси Oz, 2) Плоскостной симметрией относительно координатных осей Oxz и Oyz, В сечении эллиптического параболоида плоскостью, ортогональной оси Oz, получается эллипс, а плоскостями, ортогональными осям Ox и Oy – парабола. 2. Гиперболический параболоид. Каноническое уравнение гиперболического параболоида имеет вид: Свойства гиперболического параболоида: Гиперболический параболоид обладает 1) Осевой симметрией относительно оси Oz, 2) Плоскостной симметрией относительно координатных осей Oxz и Oyz, В сечении гиперболического параболоида плоскостью, ортогональной оси Oz, получается гипербола, а плоскостями, ортогональными осям Ox и Oy – парабола.

Конус и цилиндры второго порядка 1. Конус. Конусом второго порядка называется поверхность, которая в некоторой прямоугольной системе координат определяется уравнением: 2. Эллиптический цилиндр. Каноническое уравнение эллиптического цилиндра имеет вид: 2. Эллипти ческий цилиндр. 1. Конус.

Конус и цилиндры второго порядка 3. Гиперболический цилиндр. Каноническое уравнение гиперболического цилиндра имеет вид: 4. Параболический цилиндр. Каноническое уравнение параболического цилиндра имеет вид: 4. Параболи ческий цилиндр. 3. Гипербол ический цилиндр.

Задачи Определите вид цилиндрической поверхности F, найдите уравнение её направляющей y, направление образующих и изобразите эту поверхность, если в прямоугольной системе координат поверхность F задана уравнением F: Решение: Приведем уравнение поверхности F к каноническому виду : Следовательно, F – эллиптический цилиндр. Его направляющая y задается уравнением y: (Она лежит в плоскости Oxz), а образующие параллельные координатному вектору. Поверхность F изображена на рисунке 1.

Определите вид цилиндрической поверхности F, найдите уравнение её направляющей y, направление образующих и изобразите эту поверхность, если в прямоугольной системе координат поверхность F задана уравнением F: Решение: Приведем уравнение поверхности F к каноническому виду : Следовательно, F – гиперболический цилиндр. Его направляющая y задается уравнением y: (Она лежит в плоскости Oxy). y – гипербола с мнимой осью Ox. Поверхность F изображена на рисунке 2.

Спасибо за внимание !!!