Ребята, на двух последних уроках мы разбирали, как правильно строить графики с помощью операции параллельного переноса. Сегодня мы объединим полученные знания и опишем единый алгоритм построения графиков, с использованием операции параллельного переноса. Давайте рассмотрим конкретный пример и опишем процесс построения графиков таких функций. Пример 1. Построить график функции Решение. Мы знаем, как получить график функции y=f(x+l) используя график функции y=f(x), нам нужно сдвинуть график y=f(x) влево или вправо, в зависимости от знака числа l. Мы можем заметить, что у функции, которую требуется построить, присутствует как раз таки такая операция.

Таким образом первое что нам требуется 1) сделать построение обычной параболы: 2) так как мы прибавляем положительное число, то сдвигаем график этой параболы на 3 единицы влево. Конечно от нашей функции отнимается число, а значит следует воспользоваться приемом построения графиков функций y=f(x)+m 3) Переместим график функции полученный в пункте два на две единицы вниз. Строим наши графики:

Нам пришлось построить целых три графика, согласитесь это довольно таки неудобно и скучно. Можно ли как то упростить данную операцию? Давайте внимательно посмотрим на графики, получившиеся в итоге. Первое, что бросается в глаза, были построены три совершенно одинаковых параболы, отличающиеся координатой вершины. Значит, нам надо обратить особое внимание на вершину. Какая координата получилась по х в итоге? Ответ, сразу же виден это координата равна минус 3, то насколько сместили всю параболу влево совпало с координатой вершины по х. А что за координата вершины получилась по y? Очевидно, что минус 2. Опять же то насколько сместили график исходной параболы вниз.

Таким образом, мы построили график обычной параболы с вершиной, которая имеет координаты (-3;-2); В таких случаях, для более быстрого и удобного способа принято переходить к вспомогательной системе координат. Мы рисуем пунктирной линией две прямые x=-3 и y=-2 – прямые как бы численно совпадающие с координатами вершины (хотя это выражение не правильное с математической точки зрения). Точка пересечения этих прямых – начало координат вспомогательной системы, в этой точке мы начинаем строить график обычной параболы

Давайте разберем еще один пример построения графиков с помощью вспомогательной системы координат. Пример 2. Построить график функции Решение. Воспользуемся вспомогательной системой координат. Построим две прямые x=2 и y=3, точка их пересечения – начало координат вспомогательной системы. В новой системе координат построим график функции. Сделать это довольно просто мы можем построить табличку значений для данной функции и отмечать соответствующие точки в новой системе координат, давайте так и поступим:

Мы получили два способа построения графиков функций y=f(x+l)+m. Опишем оба алгоритма: Алгоритм 1 построения графика функции y=f(x+l)+m. 1. Построить график функции y=f(x). 2. Перенести построенный график на l единиц влево, если l>0, или на l единиц вправо, если l<0. 3. Перенести полученный в пункте выше график на m единиц вверх, если m>0, или на m единиц вниз, если m<0. Алгоритм 2 построения графика функции y=f(x+l)+m. 1. Перейти к вспомогательной системе координат, построив две прямые x=-l и y=m, точка пересечения этих прямых – начало координат новой системы. 2. В новой вспомогательной системе построить график функции y=f(x). Каким алгоритмом пользоваться – ваш выбор. Но все таки, второй гораздо более быстрый метод, что может быть важным при решении многих задач, выиграть время и решить больше всегда полезно!

Пример 3. Построить график функции Решение. Воспользуемся вторым алгоритмом. Перейдем к новой системе координат построим прямые x=-2 и y=-3. В новой системе построим график гиперболы

Пример 4. Построить график функции Решение. Казалось бы, к теме урока данная функция не имеет отношения, но давайте выделим полный квадрат в данной функции Таким образом, нам требуется построить график Перейдем к вспомогательной системе координат, построим прямые x=-3 и у=-4, в этой системе построим график параболы