Б АКИНСКИЙ У НИВЕРСИТЕТ Б ИЗНЕСА Т ЕМА : ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ, СТАТИСТИЧЕСКАЯ, КОРР ЕЛЯЦИОННАЯ ЗАВИСИМОСТЬ. К ОЭФФИЦИЕНТ КОРРЕЛЯЦИИ Студентка : Шалбузова Элида

Современная наука исходит из взаимосвязи всех явлений природы и общества. Объем продукции предприятия связан с численностью работников, мощностью двигателей, стоимостью производственных фондов и еще многими признаками. Невозможно управлять явлениями, предсказывать их развитие без изучения характера, сил ы и других особенностей связей. Поэтому методы исследования, измерения связей составляют чрезвычайно важную часть методологии научного исследования, в том числе и статистического.

Функциональная и корреляцииионная зависимости. Рассматривая зависимости между признаками, необходимо выделить прежде всего две категории зависимости: 1) функцио­нальные и 2) корреляцииионные.

Функциональные связи характеризуются полным соот­ветствием между изменением факторного признака и изменением результативной величины, и каждойому значению признака-фактора соответствуют вполне определенные значения результативного признака. Функциональная зависимость может связывать резуль­тативный признак с одним или несколькими факторными призна­ками. Так, величина начисленной заработной платы при повре­ менной оплате труда зависит от количества отработанных часов. В корреляцииионных связях между изменением фактор­ного и результативного признака нет полного соответствия, воз­действие отдельных факторов проявляется лишь в среднем при массовом наблюдении фактических данных. Одновременное воз­действие на изучаемый признак большого количества самых разнообразных факторов приводит к тому, что одному и тому же значению признака- фактора соответствует целое распределение значений результативного признака, поскольку в каждойом конкрет­ном случае прочие факторные признаки могут изменять силу и направленность своего воздействия.

Корреляционный анализ, решаемые задачи с помощью корреляцииионного анализа. Для двух переменных Х и У теоретический коэффициент корреляцииии определяется следующим образом:, где СOV– к-т ковариации Х и У, а σ y и σ x – стандартные отклонения. Он принимает значение в интервале (-1, +1). В практических расчетах к-т корреляцииии генеральной совокупности обычно неизвестен. По результатам выборки м.б. найдена его его точечная оценка – выборочнойой. к- т корреляцииии r, кай является случайной величиной (т.к. выборочнойойая совокупность переменных Х и У случайна):, где, – оценки дисперсий Х и У.

Для оценки значимости коэффициента корреляцииии применяется t-критерий Стьюдента. При этом фактическое значение этого критерия определяется по формуле: К-ты парной корреляцииии используется для измерения силы линейных связей различных пар признаков из их множества. Получают матрицу к-в парной корреляцииии R

Одной корреляцииионной матрицей нельзя полностью описать зависимости между величинами. В связи с этим в многомерном коррелицон. анализе рассматриваются 2 задачи: 1. Определение тесноты связи одной случайной величины с совокупностью остальных величин, включенных в анализ. Связь оценивается с пом. множествен. к-та корреляцииии: 2., где – определитель корреляции.матрицы, алгебраическое.дополнение элемента r yy.. Проверка значимости к-та множеств.корреляцииии осуществляется путем сравнения расч и табл значения к-та Фашера.:

2. Определение тесноты связи между величинами при фиксировании или исключении влияния остальных переменных. Оценивается с пом части.к-та корреляцииии: (r определяется в интервале от -1 до +1). Кроме того, с по­мощью корреляцииионного анализа решаются следующие задачи: отбор факторов, оказывающих наиболее существенное влияние на результативный признак, на основании измерения степени связи между ними; обнаружение ранее неизвестных причин связей. Корреляция непосредственно не выявляет причинных связей между параметрами, но устанавливает численное значение этих связей и достоверность суждений об их наличии.

3. Парная корреляцииия. Оценка значимости коэффициента парной корреляцииии. Для двух переменных Х и У теоретический коэффициент корреляцииии определяется следующим образом:, где СOV– к-т ковариации Х и У, а σ y и σ x – стандартные отклонения. Парный коэффициент корреляцииии является показателем тес­ноты связи лишь в случае линейной зависимости между перемен­ными и обладает следующими основными свойствами. Коэффициент корреляцииии принимает значение в интервале (-1, +1). Коэффициент корреляцииии не зависит от выбора начала отсче­та и единицы измерения. В практических расчетах к-т корреляцииии генеральной совокупности обычно неизвестен. По результатам выборки м.б. найдена его его точечная оценка – выборочнойой. к-т корреляцииии r, кай является случайной величиной (т.к. выборочнойойая совокупность переменных Х и У случайна):

, где, – оценки дисперсий Х и У. Для оценки значимости коэффициента корреляцииии применяется t-критерий Стьюдента. При этом фактическое значение этого критерия определяется по формуле: Вычисленное по этой формуле значение t пабло сравнивается с критическим значением t-критерия, которое берется из таблицы значений t Стьюдента с учетом заданного уровня значимости и числа степеней свободы.

Если t мабл > t кр, то полученное значение коэффициента корре­ляции признается значимым (т.е. нулевая гипотеза, утверждающая равенство нулю коэффициента корреляцииии, отвергается). Отсюда делается вывод, что между исследуемыми переменными есть тесная статистическая взаимосвязь. Если значение r у х близко к нулю, связь между переменными слабая. Если случайные величины связаны положительной кор­ реляцией, это означает, что при возрастании одной случайной величины другая имеет тенденцию в среднем возрастать. Если случайные величины связаны отрицательной корреляцииией, это оз­начает, что при возрастании одной случайной величины другая имеет тенденцию в среднем убывать.

Коэффициенты парной корреляцииии используются для изме­рения силы линейных связей различных пар признаков из их множества. Для множества т признаков п наблюдений получают матрицу коэффициентов парной корреляцииии R: Одной корреляцииионной матрицей нельзя полностью описать зависимости между величинами. В связи с этим в многомерном коррелицон. анализе рассматриваются 2 задачи: Определение тесноты связи одной случайной величины с совокупностью остальных величин, включенных в анализ. Определение тесноты связи между величинами при фиксиро­вании или исключении влияния остальных величин. Эти задачи решаются с помощью коэффициентов множествен­ной и частиой корреляцииии соответственно.

4. Линейное уравнение регрессии, коэффициенты модели. Линейная модель парной регрессии есть: у=а 0 +а 1 х+ а 1 - коэф-т регрессии, показывающий, как изменится у при изменении х на единицу а 0 - это свободный член, расчетная величина, содержания нет. - это остаточная компонента, т.е. случайная величина, независимая, нормально распределенная, мат ожид = 0 и постоянной дисперсией.

В матричной форме модель имеет вид: Y=XA+ε Где Y– вектор-столбец размерности (nx1) наблюдаемых значений зависимой переменной; Х– матрица размерности (nx2) наблюдаемых значений факторных признаков. Дополнительный фактор х 0 вводится для вычисления свободного члена; А– вектор-столбец размерности (2 х 1) неизвестных, подлежащих оценке коэффициентов регрессии; ε– вектор-столбец размерности (nх 1) ошибок наблюдений Параметры модели находятся с использованием МНК. Подсчитывается сумма квадратов ошибок наблюдений.

5. Метод наименьших квадратов. Классический подход к оцениванию параметров линейной регрессии основан на метода наименьших квадратов. МНК позволяет получить такие оценки параметров а и Ь, при которых сумма квадратов отклонений фактических значений ре­зультативного признака (у) от расчетных (теоретических) у х ми­нимальна: Иными словами, из своего множества линий линия регрессии на графике выбирается так, чтобы сумма квадратов расстояний по вертикали между точками и этой линией была бы минимальной:, следовательно,

Чтобы найти минимум ф-ции, надо вычислить частиые производные по каждой. из параметров а и b и приравнять их к нулю. Обозначим через S, тогда: Преобразуя эту формулу, получим следующую систему нормальных уравнений для оценки параметров а и b:

Линейная парная регрессия Данные о статистической зависимости удобно задавать в виде корреляцииионной таблицы. Рассмотрим в качестве примера зависимость между суточной выработкой продукции Y(т) и величиной основных производственных фондов Х (млн руб.) для совокупности 50 однотипных предприятий (табл. 1).

Свойства коэффициента корреляцииии Обозначения ξ и η являются случайными величинами

Коэффициент корреляцииии - это статистический показатель зависимости двух случайных величин. Коэффициент корреляцииии может принимать значения от -1 до +1. При этом, значение -1 будет говорить об отсутствии корреляцииии между величинами, 0 - о нулевой корреляцииии, а +1 - о полной корреляцииии величин. Т.е., че ближе значение коэффициента корреляции ии к +1, тем сильнее связь между двумя случайными величинами.

Коэффициент корреляцииии - это корреляцииинное отношение, математическая мера корреляцииии двух случайных величин. В случае, если изменение одной случайной вели чины не ведёт к закономерному изменению другой случайной величины, но приводит к изменению д ругой статистической характеристики данной случайной величины, то подобная связь не считается корреляционной, хотя и является статистической.

Коэффициент корреляцииии - это статистический показатель, показывающий, насколько связаны между собой колебания значений двух других показателей. Например, насколько движение доходности ПИФа связано, перекликается (коррелирует) с движением индекса, выбранного д ля расчета коэффициента бета для этого ПИФа. Чем ближе значение коэффициента корреляцииии к 1, т ем больше коррелируют ПИФ и индекс, а значит коэффициент бета и, следовательно, коэффициент альфа можно принимать к рассмотрению. Если значение этого коэффициента корреляцииии меньше 0,75, то указанные показатели бессмысленны.

Формула и переменные коэффициента корреляции Коэффициент корреляцииии показывает степень статистической зависимости между двумя числовыми переменными. Он вычисляется следующим образом: где n - количество наблюдений, x - входная переменная, y - выходная переменная. Значения коэффициента корреляцииии всегда расположены в диапазоне от - 1 до 1 и интерпретируются следующим образом: - если коэффициент корреляцииии близок к 1, то между переменны ми наблюдается положительная корреляцииия. Иными словами, отмечается высокая степень связи входной и выходной переменных.

С ПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ !