ВЗАИМНОЕ ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВРАЩЕНИЯ

Линия пересечения Линия пересечения распадается на две отдельные кривые Полное (проницание) – все образующие одной поверхности пересекаются со второй поверхностью. Частичное (врезание) – часть образующих одной поверхности пересекается частью образующих другой. Линия пересечения – замкнутая пространственная кривая Линия пересечения

Теорема 1 Если две поверхности пересекаются по одной плоской кривой, то существует и другая плоская кривая, по которой они пересекаются поверхности пересекаются

m2m2 n2n2 B2B2 A2A2 m3m3 n3n3 O2O2

– пересекающиеся криволинейные поверхности имеют в одной точке общую плоскость касания Одностороннее внутреннее соприкасание Линия пересечения Линия пересечения – замкнутая пространственная кривая, пересекающаяся сама с собой в точке касания (точка самопересечения)

Двойное соприкасание Двойное соприкасание – пересекающиеся криволинейные поверхности имеют две общие касательные плоскости В пересечении участвуют все образующие одной поверхности и все образующие второй

M N Если две поверхности имеют касание в двух точках M и N, то линия перехода распадается на две плоские кривые 2-го порядка, плоскости которых проходят через отрезок MN, соединяющий точки касания Теорема (о двойном касании)

M N и – плоскости касательные к конусу и к цилиндру

M1M1 N1N1 A1A1 B1B1 N2M2N2M2 N3N3 M3M A2A2 B2B2 Теорема (о двойном касании)

Теорема Монжа Если две поверхности второго порядка описаны около третьей поверхности второго порядка или вписаны в нее, то линия их пересечения распадается на две плоские кривые второго порядка Плоскости этих кривых проходят через прямую, соединяющую точки пересечения линий касания Проекция линии касания (окружность) цилиндра и сферы Проекция линии касания (окружность) конуса и сферы Эллипсы

Пересечение поверхностей вращения способом секущих плоскостей

2 1 3

1. Заданные поверхности пересекаются вспомогательной плоскостью – посредником 2. Строят линии пересечения плоскости – посредника с заданными поверхностями 3. Отмечают точки пересечения полученных линий, которые и являются точками линии пересечения поверхностей Алгоритм:

Задача экв 2 I 2 II 2 гм 1 А2А2 В2В2 12(1I2)12(1I2) 2 2 (2 I 2 ) 3 2 (3 I 2 ) 1I11I1 1 А1А1 CI1CI1 2I12I1 3I13I1 B1B1 C1C Линия пересечения III 2 – 1 гм(конуса) 1 гм(сферы) А,В Опорные точки: 1. Очерковые точки на П 2 s s Промежуточные точки находят способом секущих плоскостей Rк 2Rк 2 Rсф 2. Очерковые точки на П 1 – 2 экв С,С I Rк 1Rк 1 C2(CI2)C2(CI2)

Пересечение поверхностей вращения Способ концентрических сфер

Соосными называются поверхности, имеющие общую ось общую ось А В С С2С2 А2А2 В2В2 А1А1 А3А3 В3В3 С3С3 С1С1 Соосные поверхности i2i2 i3i3 i2i2 i i1i1

Концентрические сферы Концентрическими называются сферы, имеющие общий центр О О i2i2 i2i2

Способ сфер применяется в случаях, когда: 1. Пересекаются поверхности вращения 2. Оси вращения поверхностей пересекаются 3. Пересекающиеся оси вращения образуют плоскость уровня, или проецирующую плоскость

Ф2Ф2 Q2Q2 Ф Q = tФ Q = t, f – ? t2t2 f2f2 f1f1 t1t1 A2A2 C2C2 D2D2 D1D1 B1B1 A1A I11I Rmin Rmax i2i2 j2j2 i 1 1 j1j I I 2 1. Ф(i, i // l) Q(j, k, k j = S) 2. i j = О 3. i j = ; // П 2 О2О2 RkRk B2B I I I 2 Применим ли способ концентрических сфер для решения данной задачи? C1C I12I1 3I13I I14I1 5I15I1 Задача

Ф2Ф2 Q2Q2 j2j2 G2G2 G Ф = k G Q = m m k = 1,2 k m k2k2 m2m2 Ф1Ф1 G1G1 G Ф Q