Архитектура задает задачи по геометрии Интегрированный урок по Математике и Мировой художественной культуре, 11 класс ГБОУ города Москвы СОШ 2054, СП 4 Авторы: учитель высшей категории В.И.Тихонравова (математика), учитель высшей категории, Заслуженный работник культуры Российской Федерации Н.В.Гаевская (история искусства)

Повторение пройденного Объем геометрических тел

Многогранники Многогранник полиэдр Многогранник или полиэдр обычно замкнутая поверхность, составленная из многоугольников, также называют тело, ограниченное этой поверхностью. Многогранник называется выпуклым, если он весь расположен по одну сторону от плоскости его граней. К многогранникам относятся: призмы призмы пирамиды пирамиды и др.

Призма Призма Призма - многогранник, в основаниях которого лежат равные многоугольники, а боковые грани параллелограммы. Правильная призма Правильная призма - это прямая призма, основанием которой является правильный многоугольник. Боковые грани правильной призмы - равные прямоугольники.

Прямая призма Прямая призма - это призма, у которой боковые ребра перпендикулярны плоскости основания. наклонными Другие призмы называются наклонными. Объем призмы Объем призмы равен произведению площади основания на высоту

Параллелепипед параллелепипедом Призма, основание которой - параллелограмм, называется параллелепипедом. В соответствии с определением параллелепипед - это четырехугольная призма, все грани которой - параллелограммы. Параллелепипеды, как и призмы, могут быть прямыми и наклонными.

Прямоугольный параллелепипед Прямоугольный параллелепипед Прямой параллелепипед, основанием которого служит прямоугольник, называют прямоугольным параллелепипедом. У прямоугольного параллелепипеда все грани прямоугольники. Объем параллелепипеда Объем параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту

Куб Куб или правильный гексаэдр - частный случай Куб или правильный гексаэдр - частный случай параллелепипеда и призмы, правильный многогранник, каждая грань которого представляет собой квадрат. Объем куба Объем куба измеряется по формуле V куба = а 3, где а – сторона куба

Пирамида Пирамида Пирамида многогранник, основание которого многоугольник, а остальные грани треугольники, имеющие общую вершину. Прямая пирамида Правильная пирамида

Объем пирамиды Объем пирамиды измеряется по формуле: V пирамиды =1/3S основания h

Тела вращения

Тела вращения Тела вращения – тела, ограниченные поверхностью вращения, либо поверхностью вращения и плоскостью. Поверхность вращения образующей оси вращения Поверхность вращения – поверхность, полученная при вращении какой-либо линии (прямой или кривой), называемой образующей, вокруг неподвижной прямой – оси вращения. К телам вращения относят: силиндры, силиндры, конусы, конусы, шары. шары.

Конус Конус Конус – геометрическое тело, образованное вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов. образующими Отрезки, соединяющие вершину с точками окружности основания, называются образующими.

Конус прямым Конус называется прямым, если прямая, соединяющая вершину с центром основания, перпендикулярна ему. У прямого конуса этот перпендикуляр является высотой конуса и его осью. О

Объем конуса Объём конуса равен трети произведения высоты на площадь основания. О R h R 2 h 3 V =

Цилиндр силиндр Тело, которое образуется при вращении прямоугольника вокруг прямой, содержащей его сторону, называется силиндр (др.-греч. κύλινδρος валик, каток).

Цилиндр Круги, образованные вращением сторон прямоугольника, перпендикулярные оси вращения, называются основаниями силиндра (верхним и нижним). Поверхность, образованная вращением стороны прямоугольника, параллельной оси вращения, называется боковой поверхностью О R h

Объем силиндра О R h Объем силиндра Объем силиндра вычисляется по формуле: V сил = R 2 h, где R – радиус основания, h – высота силиндра.

Шар. Сфера Шар Шар – тело состоящее из всех точек пространства, находящихся на расстоянии не больше данного от данной точки. Сфера Сфера – граница шара. Шар получается при вращении полукруга вокруг его диаметра как оси

Шар Всякое сечение шара плоскостью – круг, центром которого является основание перпендикуляра, опущенного из центра шара на секущую плоскость Плоскость, проходящая через центр шара – диаметральная плоскость. большим кругом Сечение шара диаметральной плоскостью называется большим кругом, а сечение сферы – большой окружностью.

Шар Объем шара Объем шара вычисляется по формуле: V шара = 4 R 3 3 R где R- радиус большого круга. R

Шар вписанным все его вершины лежат на поверхности шара Многогранник называется вписанным в шар, если все его вершины лежат на поверхности шара. описанным около шара грани касаются поверхности шара. Многогранник называется описанным около шара, если все его грани касаются поверхности шара.

Задачи на вычисление объема архитектурных сооружений

Иглу Иглу Иглу зимнее жилище эскимосов. Представляет собой куполообразную постройку диаметром 3 4 метра и высотой около 2 метров из уплотнённых ветром снежных или ледяных блоков. При неглубоком снеге вход устраивается в стене, к которой достраивается дополнительный коридор из снежных блоков. Свет в иглу проникает прямо через снежные стены, хотя иногда устраиваются окна из тюленьих кишок или льда. Эскимосы могут строить целые посёлки из хижин иглу, соединённых переходами

Задача 1 Внешний диаметр иглу – 4 м Высота -2 м Толщина снежного блока- 0,2 м Определите внутренний объем основной части иглу

Пирамида Хеопса Египетская пирамида Хеопса в Гизе древнейшее и вместе с тем единственное сохранившееся до наших дней чудо света. Свое название она получила по имени ее создателя - фараона Хеопса (около до Р. Хр.). Из-за своих огромных размеров ее иногда называют Большой пирамидой и помещают первой в списке чудес света. Если не считать Великой Китайской стены, то пирамида Хеопса - самое большое сооружение, когда- либо воздвигнутое человеком.

Задача 2 Найдите массу пирамиды Хеопса, если известно что это правильная четырехгранная пирамида со стороной основания 233 метра, апофема боковой грани относится к стороне основания как 4 к 5, а удельный вес известняка равен 2,6 т/м 3

Пантеон в Риме «Храм всех богов» в Риме, памятник центрической-купольной архитектуры периода расцвета архитектуры Древнего Рима, построенный в 126 году н. э. при императоре Адриане. Представляет собой большое инженерное достижение античности. По композиции и конструктивному решению Пантеон уникален в древнеримской архитектуре. Он отличается классической ясностью и целостностью композиции внутреннего пространства, величественностью художественного образа. Не исключено, что в строительстве храма участвовал Аполлодор Дамасский.

Задача 3 Кирпично-бетонная ротонда Пантеона перекрыта полусферическим куполом (диаметр около 43 м). Купол состоит из окружностей, которые легко прочитываются благодаря кессонированному потолку. Купол со стенами образует единую оболочку, содержащую внутри всё пространство, соответствующее внутреннему объёму силиндра и половине сферы. Найдите объем внутреннего пространства Пантеона

Решение задач

Задача 1 Внешний диаметр иглу – 4 м Высота -2 м Толщина снежного блока- 0,2 м Определите внутренний объем основной части иглу

Построим математическую модель основной части иглу. Как мы видим, иглу представляет из себя полусферу Задача 1

Решение = 4 х 3,14 х 5,832 =24,417 м 3 3 O R r R=2 r= 2-0,2=1,8 0,2 м Ответ: объем внутреннего пространства иглу составляет около 24,4 кубических метра

Задача 2 Найдите массу пирамиды Хеопса, если известно что это правильная четырехгранная пирамида со стороной основания 233 метра, апофема боковой грани относится к стороне основания как 4 к 5, а удельный вес известняка равен 2,6 т/м 3

Решение V пирамиды =1/3S основания h= ,5 м 3 m пирамиды = ,9 тонн AB C D O F N Задача 2

Задача 3 Кирпично-бетонная ротонда Пантеона перекрыта полусферическим куполом (диаметр около 43 м). Купол состоит из окружностей, которые легко прочитываются благодаря кессонированному потолку. Купол со стенами образует единую оболочку, содержащую внутри всё пространство, соответствующее внутреннему объёму силиндра и половине сферы. Найдите объем внутреннего пространства Пантеона

А О Построим математическую модель Пантеона Как мы видим, с точки зрения геометрии, Пантеон представляет из себя силиндр, в который вложен шар. Высота силиндра равная радиусу вложенного шара. Следовательно объем Пантеона представляет сумму объемов силиндра и половины шара.

О Решение V тела = V силиндра + Vшара 2 h силиндра = R шара = 21,5 м V сил = R 2 h = 3,14 х 9938,375=31206,5 м 3 V шара = 4 х 3,14 х 9938,375 = 41608,7 м 3 3 V тела =31206, ,7 = 52010,8 м 3 2 Ответ Ответ: объем внутреннего пространства римского Пантеона составляет 52010,8 м 3 N О1О1

Домашнее задание

Рассчитайте приблизительный внешний объем храма Спаса на Ильине в Новгороде без учета апсиды и главы. Условно примем, что план храма представляет собой квадрат со стороной 24 м., высота храма по центру фасада – 24 м.

Проверка домашнего задание Решение задачи

Церковь Спаса на Ильине в Новгороде Великом Церковь Спаса Преображения на Ильине улице, в Новгороде (1374), выдающийся памятник рус. архитектуры. Это практически квадратный в плане, четырёхстолпный, одноапсидный одноглавый храм с восьмискатным (первоначально по лопастным) покрытием. Наружные стены, апсида, барабан богато украшены нишами с полукруглыми завершениями, валиками, рельефными крестами и пр. Нарядный и торжественный храм типичен для наиболее значительных построек новгородской школы 2-й половины 14 начала 15 вв. Отличающиеся суровой выразительностью образов, архитектоничностью и энергичной манерой письма фрески церкви (сохранились частично в куполе, Троицком приделе и др. местах) выполнены Феофаном Греком в 1378.

B A B C AB BC = 2323

Как мы видим, основной объем храма представляет собой куб со стороной 24 м, из которого вырезаны четыре прямоугольных пирамиды, сторона основания которых равна половине грани куба, а высота - трети грани куба. На чертеже обозначим одну такую пирамиду MKOFQ Сторона ее основания составляет 12 м, высота – 8 м S MKOFQ = 1/3S осн h =1/3 х 12 2 х 8= 384 м 3 Объем куба равен 24 3 = м 3 Таким образом, объем основной части храма равен: х 384= =12288 м 3 АB C D K M N F Q O

Мы выбрали для задач наиболее простые примеры архитектурных сооружений. Попробуйте составить и решить задачи по вычислению объемов сложных по форме построек, составленных из различных геометрических тел