Модели в переменных состояния Представление моделей в векторно-матричной форме

Современная теория автоматического управления оперирует с векторно- матричными моделями динамических систем. При этом рассматриваются в общем случае многомерные системы, т.е. системы произвольного порядка со многими входами и многими выходами, в связи, с чем широко используются векторно-матричные уравнения и аппарат векторной алгебры. Для получения векторно-матричной модели (ВММ) исследуемая динамическая система представляется в виде черного ящика с некоторым числом входных и выходных каналов

Все переменные, характеризующие систему, можно разделить на три группы. 1. Входные переменные или входные воздействия, генерируемые системами, внешними по отношению к исследуемой системе. Они характеризуются вектором входа. r - число входов 2. Выходные переменные, характеризующие реакцию системы на указанные входные воздействия. Представляются вектором выхода m - число выходов 3. Промежуточные переменные, характеризующие внутреннее состояние системы, - переменные состояния, представляются вектором n - число переменных состояния Таким образом, совокупность входов можно рассматривать как один обобщенный вход, на который воздействует вектор входа u, совокупность выходов как вектор y, а совокупность промежуточных координат, характеризующих состояние системы, - в виде вектора состояния x

Состояние системы - это та минимальная информация о прошлом, которая необходима для полного описания будущего поведения (т.е. выходов) системы, если поведение ее входов известно. Собственно система, ее входы и выходы - это три взаимосвязанных объекта, которые в каждой конкретной ситуации определяются соответственно математической моделью системы, заданием множеств входных и выходных переменных. Решение задач анализа и синтеза связано с исследованием состояний системы, множество которых образует пространство состояний, Векторно-матричные модели в непрерывном времени В общем случае динамическая система в непрерывном может быть описана парой матричных уравнений: где F - n-мерная вектор-функция системы; Q - m-мерная вектор-функция выхода. уравнением состояния системы уравнение выхода

Частный случаи зависимости Переход к стационарным моделям позволяет оперировать с коэффициентными матрицами, т.е. со стационарными уравнениями где: А - функциональная матрица размером n x n, называемая матрицей состояния системы (объекта); В - функциональная матрица размером n x r, называемая матрицей управления (входа); С - функциональная матрица размером m x n, называемая матрицей выхода по состоянию; D - функциональная матрица размером m x r, называемая матрицей выхода по управлению. Очень часто D=0, т.е. выход непосредственно не зависит от входа.

Пример 1 Дифференциальные уравнения для такого объекта могут быть записаны относительно следующих переменных состояния: - скорости вращения ротора, тока якоря i(t), углового перемещения ротора При использовании знакомых зависимостей для электродвижущей силы и вращающего момента двигателя получим уравнение электрической цепи и уравнения вращающейся части где J – приведенный момент инерции электродвигателя. Представляя векторы состояния, входа и выхода как получим следующую векторно-матричную модель электродвигателя постоянного тока

То есть для рассматриваемой системы матрицы А, В, С векторно- матричной модели будут иметь следующий вид: Пример 2 Получим уравнения состояния для простейшей RLC-цепи Динамическое поведение этой системы при полностью определяется, если известны начальные значения и входное напряжение U(t) при Следовательно, можно выбрать в качестве переменных состояния, то есть Для указанных переменных состояния можно записать дифференциальные уравнения или в векторно- матричной форме Тогда