Если дифференцируемая на промежутке Х функция y=f(x) достигает наибольшего или наименьшего значения во внутренней точке х 0 этого промежутка, то производная функции в этой точке равна 0:

Пусть функция y=f(x) дифференцируема на промежутке Х и в точке принимает наименьшее значение. Тогда если Величина Следовательно при

и По условию функция y=f(x) дифференцируема в точке х 0, следовательно ее предел при Переходим в этих неравенствах соответственно к пределу справа и слева: не должен зависеть от способа стремления Δх к нулю, т.е.

В точке наибольшего или наименьшего значения, достигаемого внутри промежутка Х, касательная к графику функции параллельна оси Х.

Пусть функция y=f(x) удовлетворяет следующим условиям: 1. Непрерывна на отрезке [a,b]. 2. Дифференцируема на интервале (a,b). 3. На концах отрезка принимает равные значения: f(a)=f(b). Тогда внутри отрезка существует по крайней мере одна такая точка ξ, в которой производная равна нулю:

По теореме Вейерштрасса, функция, непрерывная на отрезке, достигает на нем своего наибольшего М и наименьшего m значений. Если оба этих значения достигаются на концах отрезка,то они по условию равны: М= m, а это значит, что функция постоянна на [a,b]. Тогда во всех точках этого отрезка. Если же хотя бы одно из этих значений достигается внутри отрезка, то по теореме Ферма, производная функции в этой точке равна нулю:

Найдется хотя бы одна точка, в которой касательная к графику функции параллельна оси Х, в этой точке производная функции будет равна нулю.

Если же хотя бы одно условие теоремы Ролля нарушено, то заключение теоремы может быть неверным. Например: Отсутствует непрерывность на [a,b]. 1

Отсутствует дифференцируемость на (a,b). 2

3

Пусть функция y=f(x) удовлетворяет следующим условиям: 1. Непрерывна на отрезке [a,b]. 2. Дифференцируема на интервале (a,b).

Тогда внутри отрезка существует по крайней мере одна такая точка ξ, в которой производная функции равна частному от деления приращения функции на приращение аргумента на этом отрезке:

Введем новую функцию g(x): Эта функция удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля: Она непрерывна на [a,b], дифференцируема на (a,b) и на концах отрезка принимает равные значения:

Следовательно, по теореме Ролля существует точка такая, что

или отсюда

Эту теорему часто записывают в виде:

Если перемещать прямую АВ параллельно начальному положению, то найдется хотя бы одна точка в которой касательная к графику функции y=f(x) и хорда АВ, проведенная через концы дуги АВ будут параллельны.

Если производная функции y=f(x) равна 0 на некотором промежутке Х, то эта функция постоянна на всем промежутке.

Возьмем на промежутке Х [a,х], тогда по теореме Лагранжа По условию теоремы То есть