Вероятностный подход к решению уравнений Ричардсона-Годена (абзаца Бете) В. В. Погосов, Институт теоретической и прикладной электродинамики РАН, Москва; ВНИИА им. Н. Л. Духова

Motivation / Introduction General formulation Evaluation of binomial sums Virial expansion Electron-hole symmetry Summary Outline

Motivation / Introduction -Bardeen-Cooper-Schrieffer (BCS) theory of superconductivity plays a very important role in a modern physics -BCS Hamiltonian is exactly solvable through the Richardson (Richardson-Gaudin) approach -Richardson approach can be used to study small-sized systems (nano-scale), as well as such delicate phenomena as BEC-BCS crossover

Reduced BCS Hamiltonian fermions of two sorts

Richardson wave function The configuration without broken pairs (no unpaired electrons/no blocked levels): Richardson equations

Example: 3 pairs N enters through the number of equations

Связь уравнений Ричардсона с другими областями физики -Точно решаемые модели, анзац Бете модель Годена (Gaudin) – спиновые цепочки. Алгебраический анзац Бете J. von Delft and R. Poghossian, PRB (2002). Последние годы: вычисления корреляционных функций – квантовый метод обратной задачи Bettelheim, Osterloh, Links и др. -Конформная теория поля. Теория Черна-Саймонса. G. Sierra (1999, 2001, 2002): connection between BCS and Witten-Zumino-Wess model

Difficulties with Richardson equations: Analytical solution in general case is an open problem Numerical methods are widely used Analytical methods are highly desirable Evaluation of correlators, wave function, etc. The only one nontrivial solution known so far is a large-N limit result (Gaudin 1975, Richardson 1976) -energy-like quantities are arranged in arcs in the complex plane (hypothesis) -continuous approximation to solve equations Standard method to evaluate Bethe equations Our aim is to develop new approaches to evaluate Richardson equations (with possible extensions to other types of Bethe equations)

General formulation

Электростатическая аналогия * (кулоновская плазма в 2D – логарифмическое взаимодействие) заряды свободных частиц: заряды фиксированных частиц: однородное внешнее поле (сила = 2) * Gaudin (1976), Richardson (1977).

- Необычный пример соответствия между классической и квантовой физикой - Существует для ряда других уравнений Бете – определенная универсальность - Метод решения уравнений в термодинамическом пределе (Годен, Ричардсон). Гипотеза Годена о распределении решений вдоль арок на плоскости. Условие равновесия зарядов на плоскости

Electrostatic analogy – very general observation: random-matrix models, zeros of some polynomials, zeros of wave functions / 1D Schroedinder equation + exactly solvable potentials, Bethe equations, conformal field theories, fractional Hall effects, growth problems

(Квази-)вероятность: Аналогия с квадратом волновой функции Лафлина термодинамический предел, подходящий выбор T eff : W. V. Pogosov, J. Phys. Condens. Matter (2012). Свойство Кулона в 2D (особый случай!): «замораживание» степенная функция, можно интегрировать! Probabilistic approach

Landscape of S is very sharp! One can find a position of the saddle point without solving Richardson equations explicitly, but using an integration Can be extended to the case of many variables Freezing Heuristic argument: More rigorous arguments will be presented later on

Single-pair configuration (Cooper problem) - объем -- количество состояний в окне Дебая -- без разерная константа взаимодействия -- плотность состояний -- амплитуда взаимодействия

Partial-fraction decomposition is a binomial coefficient Transformation of S(R) -- to simplify the integration

Problem: the equilibrium is not stable. No confining potential. Saddle point. 1 2 Line 1: steepest descent of the energy, 1D integration instead of 2D However, the position of the saddle point is unknown! Z Integration path

- Since the probability is a meromorphic function, we can use various paths (Cauchy theorem) -Thus, we can reconstruct an information on saddle point(s) using the nonlocal nature of S. Known result for N=1 (one-pair problem) -- nonanalytic function, typical for BCS

Excited states of a single pair Topology of an integration path is of importance Energy is again reconstructed correctly by this method

- объем -- количество состояний в окне Дебая -- количество пар -- фактор заполнения (1/2 в БКШ) -- без разерная константа взаимодействия -- плотность состояний -- амплитуда взаимодействия Термодинамический предел Рассмотрение произвольного заполнения – toy model для кроссовера БЭК-БКШ

Many pairs partition function thermodynamics conformal block

Quantum-mechanical energy = minus logarithmic derivative of the classical partition function An interesting example of quantum-to-classical correspondence

At the same time, Z is an integral of Nörlund-Rice type Canonical form: Z has a form of the integral of Selberg type (Coulomb integral) Conformal field theory, random matrices (Dyson gas), 2D gravitation, etc.

Evaluation of binomial sums

Probability

Partition function (after the integration of probability)

Vandermonde matrix Trick:

Transformation of the Vandermonde matrix Pochhammer symbol (or falling factorial)

Can be replaced by

can be replaced by что-то вроде матрицы моментов (но факториальных и взятых «с двух сторон»)

Useful identity Соответствует выбиванию первых a и последних b полюсов в интеграле для N = 1.

Hankel (Toeplitz) matrix

Full agreement with BCS-like treatment for the crossover from BEC to BCS. Pair binding energy as an energy scale. Any observables?

Numerical prefactor superfactorial

Энергия конденсации: -- энергия связи пары -- совпадает с известным выражением Купера Два способа разбиения на множители: 1. Через энергию связи пары 2. Через сверхпроводящую щель

Реинтерпретация результатов теории БКШ Количество «куперовских пар» = количеству пар N в слое Дебая («сверхтекучие» пары, по Шрифферу) Энергия связи пары – линейно уменьшается по отношению к энергии связи единичной (изолированной) пары Дополнительный (скрытый) масштаб энергии? где может проявиться (наноразмеры, псевдо щель в ВТСП и ультрахолодных ферми-газах)?

Оценка точности метода Условие применимости метода:

Probability is a factorizable function of rs: Probabilistic interpretation of the result

Single pair in the environment with bands of single-electron states removed Similarities with Hubbard-Stratonovich transformation, sign-change problem

Возбужденные состояния Вероятность (один уровень заблокирован) Другая форма: Снова аналогии с волновой функцией Лафлина, но уже для возбужденных состояний

После взятия интеграла и проведения суммирования

В термодинамическом пределе после замены суммы на интеграл и использования метода седловой точки: -Три режима для энергии первого возбужденного состояния - Обобщенная теория БКШ дает точные результаты для энергии основного и первого возбужденных состояний

Virial expansion

New variables r Energy by the saddle-point method

- Iterative integration by parts – tree-like procedure - Energy density as an expansion in pair density (virial expansion) - Third and fourth terms are exactly zero - Difficult to proceed with higher-order terms

Single-pair saddle point

Rescaling

In new variables Integrating by parts

Derivative in the integrand Substitute back

Derivative in the integrand

Energy delta couples with N

How to prove that remaining terms are underextensive? We keep integrating by parts

First magic cancellation:

Second magic cancellation Energy as a continued fraction?

Electron-hole symmetry

Энергия конденсации: II – неаналитическая зависимость от v ; экстенсивная величина I – пропорциональна v ; интенсивная величина Как описать (аналитически) переход от конденсата БКШ (II) к режиму, в котором доминируют флуктуации (I)? (возникновение макроскопических свойств системы) Решаемые случаи для уравнений Ричардсона -без раз. константа взаимодействия -плотность состояний в окне Дебая вероятностный подход Заполнение окна Дебая 1/2

Гамильтониан в дырочном представлении Операторы рождения и уничтожения дырок (пустых состояний в окне Дебая) - Симметрия между парами электронов и парами дырок с точностью до переопределения некоторых величин. -Скрыта в уравнениях Ричардсона. -Уравнения Ричардсона для куперовских пар, составленных из дырок. Приём: будем рассматривать заполнение окна Дебая в качестве добавочной степени свободы W. V. Pogosov, J. Phys.: Condens. Matter 24, (2012).

Функциональное уравнение для энергии основного состояния: - число состояний в окне Дебая N – дискретная переменная. Разложение по полиномам: - символ Похгаммера

Предположение (анзац): --- граничное условие в пространстве дискретных N Именно эта простая зависимость от дополнительной степени свободы возникает во всех трех точно решаемых случаях, несмотря на то, что зависимость от v меняется кардинально – от аналитической к неаналитической Следствие: -- дигамма-функция

Решаемые пределы Предел I (очень слабая связь) Предел II (макроскопическая система) От аналитической зависимости к неаналитической зависимости

Сравнение аналитики с численными результатами и с БКШ Сплошные линии – аналитический результат, пунктир – численный расчет, точки – БКШ. энергия нормирована на W. V. Pogosov, N. S. Lin, V. R. Misko, Eur. Phys. J. B (2013) N = 50 N = 25 N = 5

Когда теория БКШ перестает давать точные результаты (при уменьшении v)? -- когда нельзя перейти от суммирования к интегрированию, то есть: -- энергия связи единичной пары, найденная Купером Обычный энергетический масштаб – щель: Энергия связи пары – еще один масштаб энергии

Однако можно заметить, что и есть в точности энергия связи единичной пары Разложение из предела I (очень слабая связь): Сравнивая поправки с результатом для предела II, был сделан вывод о том, что теория БКШ перестает работать при загадочная величина с непонятным физическим смыслом

Использование электронно-дырочной симметрии – новый инструмент анализа решений уравнений Ричардсона (и уравнений Бете вообще?). Пример использования: G. Gorohovsky, E. Bettelheim, Coherence factors beyond the BCS expressions a derivation, J. Phys. A: Math. Theor. (2014) -- вычисление матричных элементов между разными точными собственными состояния гамильтониана

-New method for the analytical evaluation of Richardson- Gaudin (Bethe ansatz) equations. Basic ingredients are the occupation probability and the partition function. -Energy in the thermodynamical limit. Novel interpretation of BCS results. -Rich math structure as well as numerous links with other topics of modern theoretical physics. -Small-sized systems – analytical expression for the ground state energy. -e-h symmetry in combination with Richardson approach. -Pair binding energy – another energy scale? Summary

Волновая функция БКШ Проекция на состояние с фиксированным N амплитуда вероятности того, что два состояния заняты = произведению амплитуд вероятностей для индивидуальных ф-й.

«пайроны»

- Arbitrary filling of window (toy model of density-induced BEC-BCS crossover, related to systems with low carrier density) Configuration - Equally-spaced model: energy levels are distributed equidistantly within the Debye window - Interaction within the Debye window, between two cutoffs W. P., M. Combescot, and M. Crouzeix, PRB 2010; W. P., M. Combescot, Письма в ЖЭТФ 2010, M. Combescot and M. Crouzeix, PRL 2011.

Thermodynamical limit - density of states - interaction amplitude - dimensionless interaction constant -Debye window & Fermi energy of frozen electrons (lower cutoff) - number of states in the Debye window - number of pairs - filling factor of the window (1 / 2 in BCS) - volume

Electrostatic analogy * charges of free particles: charges of fixed particles: magnitude of the external force: * by Gaudin and Richardson (1975) Remarkable example of quantum-to-classical correspondence