§6. Однозначные ветви многозначной функции. Поверхность Римана п.1. Однозначные ветви функции Для того, чтобы к многозначным функциям можно было применять понятия и результаты, полученные для однозначных функций, нужно уметь выделять однозначные ветви многозначных функций.

Функция, определенная в области G, и такая, что в различных точках этой области принимает различные значения, называется однолистной. В этом случае область G называется областью однолистности. Из определения следует, что функция, обратная однолистной, является однозначной.

Рассмотрим функцию Найдем ее области однолистности. Выясним, что представляет собой образ луча Пусть тогда Отсюда

Так как то причем Следовательно, луч плоскости z, проведенный под углом, переходит в луч плоскости w, проведенный под углом x y u v

Пусть Тогда равенство т.е. равносильно равенствам т.е.

Поэтому, область в виде сектора с центральным углом и вершиной в начале координат является областью однолистности для функции

Рассмотрим область Найдем ее образ при отображении Луч переходит в луч Значит, если то

Отсюда следует, что сектор плоскости z функцией отображается на полную плоскость w с выброшенной положительной частью действительной оси Ou. x y u v

Аналогичным образом заключаем, что любой сектор отображается на множество E. Замечание 1. Существуют области однолистности для функции, отличные от выбранных.

Области однолистности можно выбрать так, чтобы они, не налегая друг на друга, заполняли всю плоскость z. x y Каждая из этих областей преобразуется в область E посредством функции

Обратно, если w изменяется в области E, то z можно считать изменяющимся в любой из соответствующих областей Поэтому можно говорить не об одной, а об n функциях, обратных функции, определенных в области E. Эти функции рассматриваются как различные однозначные ветви многозначной функции Этих ветвей будет ровно n. Чтобы фиксировать какую-либо из ветвей, достаточно указать, в какой из областей изменяется z.

Итак, установлено наличие различных ветвей функции при помощи понятия областей однолистности. К тому же результату можно прийти и иным путем. Положим Тогда

Придавая k значения, получим n различных значений функции, соответствующих n различным ветвям этой многозначной функции, именно Выберем из этих значений какое-нибудь одно т.е. будем считать k фиксированным.

Пусть точка w в плоскости w описывает некоторую замкнутую кривую Г, не содержащую внутри себя начало координат. u v Г w r Тогда, непрерывно изменяющиеся r и, вернутся к первоначальным значениям, когда точка w примет исходное положение. Соответственно и значение после полного обхода останется прежним.

Пусть точка w описывает некоторую замкнутую кривую Г, содержащую внутри себя начало координат. u v Г w r После полного обхода кривой Г значение увеличится на. Поэтому,

т.е. при таком обходе кривой Г, содержащей внутри себя начало координат, ветвь перейдет в ветвь. Повторяя обходы вокруг начала координат в положительном направлении достаточное количество раз, можно перейти от одной ветви к любой другой. Точка, обладающая тем свойством, что обход вокруг нее переводит от одной ветви к другой, называется точкой разветвления данной функции.

Таким образом, точка является точкой разветвления для функции При этом говорят, что точка является точкой разветвления конечного порядка или алгебраической точкой разветвления. Так как полный обход вокруг начала координат в то же время является полным обходом вокруг точки, то точка также является точкой разветвления функции Замечание 2. Других точек разветвления эта функция не имеет.

Функция взаимно однозначно отображает сектор п.2. Поверхность Римана функции плоскости z на плоскость w с выброшенной положительной частью действительной оси Ou. Границы этого сектора при отображении переходят в один и тот же луч плоскости w.

Чтобы установить взаимно однозначное соответствие между сектором плоскости z и плоскостью w, произведем разрез плоскости w по положительной части действительной оси Ou. Установим взаимно однозначное соответствие между верхним берегом разреза и лучом а также между нижним берегом разреза и лучом

x y u v

Очевидно, каждый сектор взаимно однозначно отображается на плоскость w с разрезом по положительной части действительной оси Ou. Поэтому, геометрический образ функции представляет собой на плоскость w с разрезом, повторенную n раз. Тем самым отображение полной плоскости z на полную плоскость w не является взаимно однозначным. Взаимную однозначность можно сохранить следующим образом.

Будем считать, что имеется n экземпляров плоскости w с разрезом, на каждой из которых w изменяется в пределах Сектору плоскости z ставится в соответствие k –ый экземпляр плоскости w. Лучи и переходят в верхний и нижний берег разреза k –го листа соответственно.

Построим из этих листов непрерывное геометрическое многообразие так, чтобы непрерывному движению точки на плоскости z соответствовало бы непрерывное движение точки w на этом многообразии. Заметим, что нижний берег разреза k –го листа и верхний берег разреза (k+1) –го листа имеют один и тот же аргумент

Когда точка z в своем непрерывном движении на плоскости z переходит из одного сектора в другой, соответствующая ей точка w переходит с одного листа плоскости w на другой. Чтобы сохранить непрерывность движения соединим соседние листы следующим образом: склеим нижний берег разреза k –го листа с верхним берегом разреза (k+1) –го листа и т.д. При этом останутся свободными верхний берег разреза 1 –го листа и нижний берегом разреза n –го листа.

Пусть точка z совершит на плоскости z полный оборот вокруг точки, последовательно пройдя через все n секторов этой плоскости, начиная с первого, и вернется к своему первоначальному положению. Соответствующая ей точка w пройдет n листов. Чтобы она вернулась на первый лист, надо склеить оставшиеся свободными берега разрезов на первом и n –ом листах. Тем самым функция полной плоскости z ставит в соответствие n листов плоскости w, склеенных указанным образом.

Такое геометрическое многообразие представляет собой частный случай так называемой поверхности Римана или римановой поверхности. Функцию называют n -листной. Замечание 3. Точка, называемая точкой разветвления функции, принадлежит всем листам римановой поверхности.

Поверхность Римана функции

п.3. Однозначные ветви функции и ее поверхность Римана. Рассмотрим функцию Бесконечнозначная функция является обратной по отношению к функции Найдем области однолистности функции

Пусть Тогда равенство т.е. равносильно равенствам или Поэтому, за область однолистности можно взять любую горизонтальную полосу шириной

Рассмотрим область Функция прямую плоскости z преобразует в луч плоскости w. Поэтому, полоса плоскости z отображается на полную плоскость w с выброшенной положительной частью действительной оси Ou.

Очевидно, это утверждение справедливо для любой полосы x y u v Эти области, не налегая друг на друга, заполняют всю плоскость z и каждая из этих областей преобразуется в область E.

Обратно, если w изменяется в области E, то z можно считать изменяющимся в любой из соответствующих областей Поэтому можно говорить не об одной, а о бесконечном множестве функций, обратных функции, определенных в области E. Эти функции рассматриваются как различные однозначные ветви многозначной функции Этих ветвей будет бесконечное количество. Чтобы фиксировать какую-либо из ветвей, достаточно указать, в какой из областей изменяется z.

Итак, установлено наличие различных ветвей функции при помощи понятия областей однолистности. К тому же результату можно прийти и иным путем. Положим Тогда Разным значениям k соответствуют различные ветви Таким образом, имеется бесконечное количество разных ветвей.

Зафиксируем какую-нибудь ветвь и заставим точку w описать замкнутую кривую. Рассуждая, как и в случае функции, придем к заключению, что точки и являются точками разветвления функции Отличие этого случая от функции, заключается в том, что производя обороты в одном и том же направлении, мы никогда не вернемся к исходному значению, а всегда будем получать новые.

При этом точка называется точкой разветвления бесконечного порядка или трансцендентной точкой разветвления. Поверхность Римана для функции строится аналогично поверхности Римана функции В этом случае поверхность Римана будет бесконечнолистной.