Полный дифференциал функции нескольких переменных Лекция 2. - презентация

1 Полный дифференциал функции нескольких переменных Лекция 2

2 Полное приращение функции 2-х переменных Если обеим переменным дать приращение, то функция получит полное приращение

3 Определение дифференцируемой функции Функция называется дифференцируемой в точке М(х,у), если ее полное приращение можно представить в виде, где Δx и Δy -произвольные приращения аргументов х и у в некоторой окрестности точки М(х,у), А и В – постоянные, независящие от Δx и Δy, o(ρ)- бесконечно малая более высокого порядка, чем - расстояние между М(х,у) и

4 Определение дифференциала Главная линейная относительно Δx и Δy часть полного приращения функции называется полным дифференциалом этой функции и обозначается dz или df(x,y). Таким образом,.

5 Формула для вычисления дифференциала Если функция дифференцируема в точке М(х,у),то она имеет в этой точке частные производные и, причем =А, а =В. Так что,. Если положить,то

6 При малых, то есть, или. Пример. Вычислить приближенно.

7 Дифференциалы высшего порядка Дифференциалом второго порядка функции z=f(x,y) называется Вообще: Если х и у независимые переменные, то.

8 Экстремумы функции двух переменных Определение. Говорят, что в точке функция f (x,y) имеет максимум, если существует такая окрестность этой точки, что для всех точек P(x,y) этой окрестности, отличных от, выполнено неравенство Аналогично определяется минимум функции. Минимум и максимум функции называются ее экстремумами..

9 Экстремумы функции двух переменных Теорема (необходимое условие экстремума). В точке экстремума функции нескольких переменных каждая ее частная производная либо равна нулю, либо не существует. Точки, в которых выполнены эти условия, называются критическими.

10 Достаточные условия экстремума функции двух переменных Теорема. Пусть функция z=f(x,y) определена и имеет непрерывные частные производные до 3-го порядка в некоторой окрестности точки, в которой. Если при этом в этой точке выполнено условие, то точка является точкой экстремума функции, причем точкой максимума, если, и точкой минимума, если. Если же в этой точке, то экстремума в точке нет. В том случае, если в точке, теорема ответа не дает.

11 Пример Исследовать на экстремум функцию

12 Наибольшее и наименьшее значения функции Определение. Наименьшее или наибольшее значение функции в данной области называется абсолютным экстремумом функции (абсолютным минимумом или абсолютным максимумом соответственно) в этой области.

13 Известно, что непрерывная в замкнутой ограниченной области функция достигает в ней своих наибольшего и наименьшего значений. Абсолютный экстремум достигается функцией либо в критических точках, либо на границе области.

14 Пусть функция непрерывна в замкнутой ограниченной области G, дифференцируема внутри этой области. Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции в этой области, нужно: 1)найти критические точки, принадлежащие этой области, и вычислить в них значения функции; 2)найти наибольшее и наименьшее значения функции на границе области; 3)из всех найденных значений выбрать наибольшее и наименьшее.

15 Пример Найти наибольшее и наименьшее значения функции в треугольнике, ограниченном прямыми,.

16 Скалярное поле Лекция 3

17 Основные определения Пусть в области D пространства Охуz задана функция u=u(х,у,z). В этом случае говорят, что в области D задано скалярное поле, а саму функцию u=u(х,у,z)называют функцией поля. Например, поле давлений, температур и т.д.

18 Основные определения Множество точек М области D, для которых скалярное поле сохраняет постоянное значение, т. е. u(М)=С, называется поверхностью уровня ( или изоповерхностью) скалярного поля.

19 Если область D расположена на плоскости Оху, то поле u=u(х,у) является плоским. Поверхности уровня называют в этом случае линиями уровня.

20 Пусть

21 Линии уровня Пусть. Линии уровня этой поверхности имеют вид

22 Пусть дан конус

23 Линии уровня конуса

24 Пусть задана дифференцируемая функция скалярного поля. Рассмотрим точку этого поля и луч, выходящий из точки P в направлении единичного вектора где –углы, образованные вектором с осями координат.

25 Определение Пусть – какая-нибудь другая точка этого луча. Обозначим – расстояние между точками P и ; называют величиной перемещения. Приращением функции в направлении назовем разность x P γ y z x P1P1 β α 0 Рис.

26 Производной функции в точке P по направлению называется предел отношения приращения функции в направлении к величине перемещения при :.

27 Вычисление производной по направлению Формула вычисления производной по направлению:

28 Градиент скалярного поля Градиентом скалярного поля u=u(x,y,z), где u=u(x,y,z)- дифференцируемая функция, называется вектор с координатами. Таким образом, или.

29 Пример Найти градиент функции u= в точке M(6,2,3). Решение. Вычислим градиент функции. Тогда grad u = + + А в точке М

30 Направление градиента Теорема. Производная функции по направлению равна проекции градиента этой функции на данное направление (в соответствующей точке).

31 Направление градиента Так как производная по направлению представляет собой скорость изменения функции в данном направлении, а проекция вектора на другой вектор имеет максимальное значение, если оба вектора совпадают по направлению, то градиент функции в данной точке указывает направление наиболее быстрого возрастания функции.

32 Величина градиента плоского скалярного поля Величина градиента плоского скалярного поля,т.е. grad u = обозначается tg и определяет крутизну наибольшего ската или подъема поверхности u = f (x, y).

33 Градиент скалярного поля в данной точке по величине и направлению равен максимальной скорости изменения поля в этой точке, т. е., где.

34 Направление градиента Точка Р, в которой gradu(P)=0, называется особой точкой скалярного поля. В противном случае эту точку называют не особой или обыкновенной точкой поля. Теорема. Во всякой не особой точке плоского скалярного поля градиент поля направлен по нормали к линии уровня, проходящей через эту точку, в сторону возрастания поля.