Как и в случае функции одной переменной, функция z=f(x,y) имеет узловые, определяющие график функции, точки. Определим точки экстремума для функции двух. - презентация

1 Как и в случае функции одной переменной, функция z=f(x,y) имеет узловые, определяющие график функции, точки. Определим точки экстремума для функции двух переменных.

2 Точка М(х 0,у 0 ) называется точкой максимума (минимума) функции z=f(x,y), если существует окрестность точки М, такая что для всех точек (х,у) из этой окрестности выполняется неравенство:

3 Экстремум имеет локальный характер, поскольку рассматривается максимальное и минимальное значение функции в достаточно малой окрестности точки М(х 0,у 0 ). Сформулируем аналог теоремы Ферма для функции двух переменных:

4 Пусть точка (х 0,у 0 ) является точкой экстремума дифференцируемой функции z=f(x,y). Тогда частные производные в этой точке равны нулю:

5 Пусть точка М(х 0,у 0 ) – точка максимума. Зафиксируем одну из переменных, например, у: у=у 0 Тогда получим функцию одной переменной z 1 =f(х,у 0 ) которая будет иметь максимум при х=х 0. Согласно теореме Ферма Аналогично можно доказать, что

6 Точки, в которых выполняются условия экстремума функции z=f(x,y), т.е. называются критическими или стационарными.

7 Необходимое условие экстремума можно сформулировать иначе: В точках максимума или минимума дифференцируемой функции градиент этой функции равен нулю:

8

9 Однако, сформулированное выше условие является необходимым, но не достаточным. Т.е., если частные производные функции в точке равны нулю, то это еще не означает, что в данной точке имеется экстремум функции. Например:

10

11 В точке М(х 0,у 0 ) выполняется необходимое условие экстремума: Но эта точка не является точкой экстремума. Она называется седловой точкой (аналог точки перегиба). Чтобы отличать такие точки от точек экстремума, необходимо рассмотреть достаточное условие экстремума.

12 Пусть функция z=f(x,y) 1 Определена в некоторой окрестности критической точки (х 0,у 0 ), в которой

13 2 Имеет в этой точке непрерывные частные производные второго порядка:

14 Тогда, если то в данной точке функция имеет экстремум, причем если А>0, то минимум если А<0, то максимум если то функция экстремума не имеет, если то вопрос остается открытым.

15 1 Найти частные производные

16 2 Решить систему уравнений и найти критические точки

17 3 Найти частные производные второго порядка, вычислить их значения в критических точках и с помощью достаточного условия экстремума сделать вывод о наличии экстремума функции.

18 4 Найти значения функции в точках экстремума.

19 Найти экстремум функции

20

21 Экстремума нет.

22 Экстремум есть. Т.к. А<0, то это будет максимум.