Дифференциальное исчисление это раздел математического анализа, связанный главным образом с понятиями производной и дифференциала функции.

ИЗ ИСТОРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ Центральные понятия дифференциального исчисления - производная и дифференциал. Они возникли при рассмотрении большого числа задач естествознания и математики, приводивших к вычислению пределов одного и того же типа. Важнейшие среди них – физическая задача определения скорости неравномерного движения и геометрическая задача построения касательной к кривой. К концу 17 века И. Ньютон и Г. Лейбниц независимо друг от друга дали полное теоретическое решение этих задач. Это привело к созданию дифференциального и интегрального исчислений и явилось началом нового периода в истории математики - периодом математики переменных величин.

ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ И ПРОИЗВОДНАЯ Рассмотрим функцию y=f(x), непрерывную на. - фиксированная внутренняя точка промежутка - произвольная точка Приращение аргумента Приращение функции

Опр. Функция y=f(x) называется дифференцируемой в точке x 0, если её полное приращение представимо в виде: (1), где Таким образом, приращение дифференцируемой функции является суммой линейной относительно Δx части A · Δx и бесконечно малой более высокого порядка малости, чем Δx при Δх 0.

Пример. Доказать, что функция дифференцируема на всей области определения. 1) 2), 3)Т.к. представимо в виде (1) функция дифференцируема в каждой точке D(y)

Опр. Производной функции y=f(x) в точке х 0 называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, при стремлении последнего к нулю, т.е. Если производная функции существует в различных точках промежутка (а,b), то её рассматривают как функцию переменной х и для нее пользоваться обозначением y(x) или f(x) Пример. Найти производную функции

НЕОБХОДИМОЕ И ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТИ Следующая теорема указывает связь между понятиями дифференцируемости и производной. Т Для того, чтобы функция y=f(x) была дифференцируема в точке х 0, необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке производную. Доказательство: 1)Необходимость Пусть функция y=f(x) дифференцируема в точке х 0, значит её приращение представимо в виде (1). Отсюда (при условии ) находим Правая часть равенства имеет предел в точке х 0 при условии, чтоx0, который равен А. Существует и предел левой части равенства, который и есть производная

2)Достаточность Пусть функция y=f(x) имеет производную в точке х 0 Обозначим. Как известно, эта разность между функцией и её пределом - бесконечно малая величина. Тогда выполняется условие: Следовательно, имеет место представление (1), и функция y=f(x) дифференцируема в точке х 0.

НЕПРЕРЫВНОСТЬ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОЙ ФУНКЦИИ Т Если функция в данной точке дифференцируема, то она и непрерывна в этой точке. Доказательство: Пусть функция y=f(x) дифференцируема в точке х 0, тогда её полное приращение имеет вид: При будет, т.е. бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции, что означает непрерывность функции в заданной точке. Таким образом, непрерывность является необходимым, но не достаточным условием дифференцирования

Δx– промежуток времени Δy -изменение перемещения x 0 +x f(x 0 + x ) МЕХАНИЧЕСКИЙ И ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ Рассмотрим движение материальной точки вдоль координатной оси, причём задан закон движения функцией y=f(t). x y y=f(t) f(x 0 ) x0x0 Δ xΔ x Δ yΔ y В течение интервала времени от x 0 до x 0 +x материальная точка перемещается на расстояние y=f(x 0 + x)-f(x 0 ), а её средняя скорость равна

То есть мгновенной скоростью изменения функции y=f(x) при заданном значении независимой переменной x называется предел, к которому стремится средняя скорость изменения функции при x0: При x0 значение средней скорости стремится к определенной величине, которая называется мгновенной скоростью V(t 0 ) материальной точки в момент времени t 0. Δ xΔ x Δ yΔ y x y y=f(t) x 0 +x f(x 0 + x ) f(x 0 ) x0x0 Механический смысл производной Пусть задан путь s=f(t) движения материальной точки. Скорость данной материальной точки в момент времени t есть производная от пути s по времени t :

Таким образом, касательная к графику функции y=f(x) в точке А – это предельное положение секущей AB при BA. Рассмотрим теперь геометрический смысл производной.

Итак, геометрический смысл производной состоит в том, что график дифференцируемой функции в соответствующей точке имеет касательную, угловой коэффициент которой равен производной в этой точке.

Запомните! Геометрический смысл производной f(x)= tg α = k Значение производной в точке х равно 1)тангенсу угла наклона касательной 2)угловому коэффициенту касательной к функции Механический смысл производной V(t) = S(t), V (t) - скорость S (t)- закон движения t - время

Уравнение касательной Уравнение касательной проще запомнить, если понимать ее геометрическое «происхождение»: ; Таким образом, уравнение касательной, не перпендикулярной графику функции, проходящей через точку A(x 0, f(x 0 )) имеет вид: y x y0y0 x0x0 y=kx+b y=f(x ) y x x y 0 А (f(x 0 ) ) ( f(x 0 + x ) ) (x 0 +x) Опр. Касательная к графику дифференцируемой в точке х 0 функции y=f(x) это прямая, проходящая через точку (x 0, f(x 0 )) и имеющая угловой коэффициент f '(х 0 ).

Рассмотрим 3 случая x y α = 0 x y α α < 90º f(x)-возрастает x y α α >90º f(x)-убывает

Задание 1 В каких точках графика функции f касательная к нему: а) горизонтальна б) образует с осью абсцисс острый угол в) образует с осью абсцисс тупой угол y x A B C D

Задание 2 При каких значениях аргумента (отмеченных на оси абсцисс) производная функции, заданной графиком: а) равна нулю б) больше нуля в) меньше нуля ? x y b aedc

Алгоритм составления уравнения касательной 1. Запишите уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой в общем виде. 2. Найдите производную функции. 3. Вычислите значение производной 4. Вычислите значение функции в точке 5. Подставьте найденные значения в уравнение касательной

Задание 3 Напишите уравнение касательной к графику функции у=f(x) в точке с абсциссой., ?

Согласны ли вы с утверждением: «Касательная с графиком функции может иметь только одну общую точку» ДАНЕТ Далее

x y y=f(x) НАЗАД

x y y=f(x) НАЗАД

Заметим, что касательная существует не всегда. Бывает так, что в точке максимума или минимума производная не существует. На графике это соответствует резкому излому, когда касательную в данной точке провести невозможно. Так, например, у графика функции y=|x| в точке х=0 касательной нет. График функции в этой точке имеет излом.(рис. 1) Касательной так же не может быть и в точках разрыва функции. В точках же, где нет дифференцируемости, может существовать касательная, перпендикулярная оси Ох.(рис.2) у х y=f(x) M x0x0 0 Рис.2 Рис. 1 y=|x|

Возможен случай, когда производная функции в какой-либо точке равна нулю, но ни максимума, ни минимума у функции в этой точке нет. Это так называемая точка перегиба: В точке E касательная к графику горизонтальна, и производная равна нулю. Однако до точки E функция возрастала и после точки E продолжает возрастать. Знак производной не меняется она как была положительной, так и осталась (рис.3). Рис. 3

Если прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом, то необходимое и достаточное условие их параллельности состоит в равенстве их угловых коэффициентов: В случае, когда прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом, необходимое и достаточное условие их перпендикулярности заключается в том, что их угловые коэффициенты обратный по величине и противоположны по знаку, т. е. Опр. Прямая, проходящая через точку A(x 0, f(x 0 )), перпендикулярно к касательной, называется нормалью к графику функции и имеет вид:

Дайте ответ устно 1. Известно, что угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой х 0 равен 0,6. Чему равно значение производной в этой точке? 2. Касательная к графику функции f(x) в точке с абсциссой х 0 образует с положительным направлением оси Ох угол Найдите f(x 0 ). 3. Какой угол (острый или тупой) образует с положительным направлением оси ох касательная к графику функции y=x 2 в точке с абсциссой x 0 =-1? f(x 0 )=0,6 f(x 0 )=1 Тупой f(x 0 )= tg α = k

4. На рисунке изображен график функции y=f(x) и касательная к этому графику, проведенная в точке с абсциссой x=-1. Найдите значение производной функции y=f(x) в точке x 0 =-1

Задание 5 На рисунке изображён график функции y=f(x) и восемь точек на оси абсцисс: x 1, x 2,…,x 8. В скольких из этих точек производная функции положительна? Ответ: в 4 точках x 1,x 2,x 6,x 7

Задание 6 На рисунке изображен график функции y = f (x), определенной на интервале (8; 5). Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна. Решение., если возрастает. Целые решения при : х=-7; х=-6; х=-5; х=-4; х=2; х=3. Их количество равно 6. Ответ: 6.

Задание 7 На рисунке изображен график функции y = f (x), определенной на интервале (a;b). Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна. Решите самостоятельно! a)б)б) Решение., если убывает. Целые решения при : х=2; х=7; х=8. Их количество равно 3. Целые решения при : х=-1; х=0; х=1; х=2; х=9; х=10. Их количество равно 6. Ответ: 3. Ответ: 6.

Задание 8 На рисунке изображен график функции y = f (x), определенной на интервале (a; b). Найдите количество точек, в которых производная функции y = f (x) равна 0. Решите устно! Ответ: 7. Ответ: 8. Ответ:

Задание 9 На рисунке изображен график функции y = f (x), определенной на интервале (a; b). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой у = с Решите устно! Ответ: 4. Ответ: 9. Ответ: 8. Ответ: 9.

Задание 10 На рисунке изображен график функции y= f(x) и касательная к этому графику в точке с абсциссой, равной 3. Найдите значение производной этой функции в точке x =3. Чтобы найти угловой коэффициент, выберем две точки А и В, лежащие на касательной, абсциссы и ординаты которых целые числа. Теперь определим модуль углового коэффициента. Для этого построим ABC. Важно помнить, что тангенс острого угла прямоугольного треугольника это отношение противолежащего катета к прилежащему. tgα=f(3)=AC/BC=6/3=2 A B C α Ответ: f(3)=2

Задание 11 На рисунке изображен график функции y= f(x) и касательная к этому графику в точке с абсциссой x 0. Найдите значение производной этой функции в точке x 0. Ответ: -1,5

Задание 12 На рисунке изображён график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x 0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x 0. Ответ: 0,25.

Задание 13 На рисунке изображён график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x 0. Найдите значение производной функции f(x) в точке x 0. Ответ: 0,25.

Задание 14 На рисунке изображен график функции y = f (x), и касательная к нему в точке с абсциссой х 0. Найдите значение производной функции y=f(x) в точке х 0. Решение. Ответ: - 0,5.Ответ: 0,75. А С В С В А a)б)б)

Задание 15 На рисунке изображен график функции y=f(x), и касательная к нему в точке с абсциссой х 0. Найдите значение производной функции y = f (x) в точке х 0. Решение. Ответ: - 0,75. А В С А ВС Ответ: - 3. a)б)б)

Задание 16 На рисунке изображен график функции y=f(x). Прямая, проходящая через начало координат, касaется графика этой функции в точке с абсциссой 8. Найдите f'(8). 1. Поскольку касательная проходит через начало координат, ее уравнение имеет вид y = kx. 2. Эта прямая проходит через точку (8; 10), поэтому 10 = 8 · k, откуда k = 1, Поскольку угловой коэффициент касательной равен значению производной в точке касания, получаем: f'(8) = 1,25. Решение Ответ: f(8)=1,

Задание 17 На рисунке изображен график функции y = f (x), касательная к этому графику, проведенная в точке х 0, проходит через начало координат. Найдите f'(х 0 ). х 0 = 2 х 0 = - 4 х 0 = Ответ: 2. Ответ: 0,5. Ответ: - 0,5. Ответ: 0,75.

Задание 18 Напишите уравнение касательной и нормали к графику функции f(x)=x 2 -3x+2 в точке с абсциссой х 0 = 2. Решение. 1)y=f(x 0 )+ f ' ' (x 0 )(x-x 0 ) – уравнение касательной к графику функции 2)f(x) =2x-3 3)f ' ' (x 0 ) = 4 - 3=1 4)f(x 0 )=4-6+2=0 5)y=0+1(x-2), y=x-2 6)y=0-1/1(x-2), y=2-x

Задание 19 Прямая y=7x-5 параллельна касательной к графику функции y=x 2 +6x-8. Найдите абсциссу точки касания. Решение 1. Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной. 2. Поскольку касательная параллельна прямой y=7x-5, то их угловые коэффициенты равны. 3. Поэтому абсцисса точки касания находится из уравнения y(x 0 )=7: y=2x+6 y(x 0 )=2x 0 +6=7 x 0 =0,5

Задание 20 На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (-11; 3). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f(x) параллельна прямой y = 2x -5 или совпадает с ней. 1. Если касательная к графику функции f(x) параллельна прямой y = 2x-5 или совпадает с ней, то ее угловой коэффициент равен 2, а значит нам нужно найти количество точек, в которых производная функции f(x) равна Для этого на графике производной проведем горизонтальную черту, соответствующую значению y = 2, и посчитаем количество точек графика производной, лежащих на этой линии. В нашем случае таких точек 5. Решение. y = 2 Ответ: 5.

Задание 21 На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (x 1 ; x 2 ). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f(x) параллельна прямой y = -2x + 7 или совпадает с ней. 1 Решение. Ответ: 3. Касательная к графику функции f(x) параллельна прямой y = -2x+7 или совпадает с ней, то ее угловой коэффициент равен -2. Найдем количество точек, в которых f ´ (x)= -2. Решение. Поступим аналогично, найдем количество точек, в которых f´(x)= - 2. Ответ: 4. y = -2 2

Задание 22 На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (x 1 ; x 2 ). 3 Решение. Ответ: 3. Найдем количество точек, в которых f ´ (x)= 2. Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f(x) параллельна прямой y = 2x +10 или совпадает с ней. y = -3 Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f(x) параллельна прямой y = -3x+8 или совпадает с ней. Решение. Ответ: 3. Найдем количество точек, в которых f ´ (x)= -3. y = 2 4

Задание 23 На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (x 1 ; x 2 ). Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику функции f(x) параллельна прямой y = 7 - 4x или совпадает с ней. Для того чтобы найти искомую абсциссу, выясним, в какой точке f ´ (x) = - 4. Для этого проведем горизонтальную прямую y = - 4 и найдем абсциссу точки пересечения этой прямой с графиком производной. Она и будет искомой абсциссой точки касания. Решение. Ответ: 2. y = -4 2 Решение. Поступим аналогично, найдем точку, в которой f´(x) = - 4, проведем горизонтальную прямую y = - 4 и найдем абсциссу точки пересечения этой прямой с графиком производной. Ответ:

Задание 24. Функция определена на промежутке (-5;4). На рисунке изображен график ее производной. Найдите число касательных к графику функции, которые наклонены под углом в 45 градусов к положительному направлению оси абсцисс. Ответ: 3

Задание 25 По графику производной y=f(x) функции y=f(x) определите в скольких точках графика функции y=f(x) касательная образует с положительным направлением оси х угол 120? Ответ: 4

Задание 26. Прямая y=x-2 касается графика функции y=f(x) в точке x 0 =-1. Найдите f(-1). Решение 1. Поскольку угловой коэффициент касательной равен значению производной в точке касания, то f(-1)=k=1 2. f(-1) мы можем найти из уравнения касательной y=f(-1)+f(-1)(x+1) x-2=f(-1)+1(x+1) f(-1)=-3 Ответ: f(-1)=-3

Контрольная работа

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СУММЫ, ПРОИЗВЕДЕНИЯ И ЧАСТНОГО Т Если функции u(x) и v(x) дифференцируемы в точке x 0, то в этой точке имеют производные их сумма, разность, произведение и частное (последнее при условии, что v(x 0 )0) При этом имеют место равенства. 1) 2) 3)

Доказательство: 1)Обозначим y(x)=u(x)±v(x), тогда Так как функции u и v дифференцируемы, то при правая часть равенства имеет предел и, следовательно, имеет предел и левая часть равенства, т.е.

2) y(x)=u(x)·v(x) Так как функции u и v дифференцируемы и значит, непрерывны в этой точке, то при 1) 2)существует предел правой части равенства, а значит, существует предел и левой части равенства, т.е.

Следствие 1. Если c - постоянная, а функция u(x) дифференцируема в данной точке, то в этой точке дифференцируема c·u(x), причем т.е. постоянные множитель выносится за знак производной. Следствие 2. Если u(x) дифференцируема в данной точке, то в этой точке дифференцируема любая натуральная степень u n (x), причем

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ Т Пусть функция u = φ(x) дифференцируема в точке x 0, а функция y = f(u) дифференцируема в соответствующей точке u 0 =φ(x 0 ). Тогда сложная функция, т.е. композиция y = f(φ(x)) дифференцируема в точке x 0, причем справедлива формула Доказательство: Приращению x0 соответствует приращение u функции u = φ(x), которое в свою очередь соответствует приращению y. Так как функция f(u) дифференцируема в точке u 0, то ее приращение будет равно Где при. Отсюда Переходя к пределу в последнем равенстве, при получим: Что и требовалось доказать.

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ОБРАТНОЙ ФУНКЦИИ Т. Пусть у функции y=f(x), отображающей промежуток <a,b> на <A,B>, имеется обратная функция x=φ(y). Пусть x 0 Є (a,b), а соответствующая ей точка y 0 =f(x 0 )Є(A,B). Если y=f(x) имеет производную в точке x 0 0, то обратная функция x=φ(y) имеет производную в точке у 0, которая равна Доказательство. Придадим аргументу обратной функции x=φ(y) в точке y 0 приращение y 0, которому, благодаря взаимно однозначному соответствию между промежутками <a,b> и <A,B>, соответствует приращение х 0. Очевидно, ; если х 0, то у 0 (т.к. y=f(x) в точке x 0 непрерывна). По условию, значит существует предел, т. е. обратная функция имеет производную, причем

ПРОИЗВОДНЫЕ ОСНОВНЫХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ Все элементарные функции дифференцируемы в каждой внутренней точке области их определения. 1. Производная степенной функции Так как, то,

2. Производная показательной функции Переходя в данном равенстве к пределу при и учитывая, что. Имеем

3. Производная логарифмической функции Учитывая, что Частный случай

4. Производные тригонометрических функций В силу непрерывности функции cos(x) при Аналогично можно вывести формулу

y=tgx y=sec 2 x Рис.1 Проведя аналогичное доказательство, можно показать, что для любого x из области определения На рис. 1 изображена функция y=tgx и ее производная

5. Производные обратныйх тригонометрических функций по теореме о дифференцировании обратной функции аргумент Поскольку

Так как, то

Таблица производных основных элементарных функций

Логарифмическое дифференцирование Рассмотрим показательно-степенную функцию Где функции u(x) и v(x) дифференцируемы в точке x 0. Требуется найти производную от данной функции. В данном случае применим логарифмическое дифференцирование. Прологарифмируем функции Продифференцируем, учитывая, что у сложная функция от х. Производная от показательно- степенной функции

Производные высших порядков Если функция y=f(x) дифференцируема в некоторой точке x 0 промежутка, то производная является новой функцией. Возможно, что эта функция так же имеет производную, эту производную называют второй производной от функции f(x) и обозначают f(x). По индукции (производная n-го порядка) определяется как производная от производной (n-1) порядка Первая производная Вторая производная Третья производная Четвертая производная n-го порядка

Механический смысл второй производной Пусть закон движения материальной точки по некоторой кривой имеет вид S=f(t). Как нам уже известно, первая производная дает зависимость мгновенной скорости V от времени t. По определению второй производной – это скорость изменения скорости. В механике данная величина называется ускорением a в момент времени t. Итак, вторая производная есть ускорение:

Функции, заданные параметрически и их дифференцирование Пусть функция y=f(x) задается параметрически равенствами: Если функции φ(t) и ψ(t) имеют производную в некоторой точке t 0 (t 0 Є (α,β)), причем φ(t)0, то через эти производные можно выразить производную от функции y, зависящей от x. Ее обозначают Если данная производная существует, а функции φ(t) и ψ(t) имеют вторые производные, то можно найти вторую производную функции, заданную параметрически Аналогичные формулы можно получить для производных третьего и более высокого порядка.

Дифференциал функции в точке Функция y=f(x) дифференцируема в точке x 0 Є, если ее полное приращение представимо в виде (1) -называется главной линейной частью приращении Опр. Главная линейная часть приращения дифференцируемой функции в данной точке называется дифференциалом функции в данной точке. (dy) Из (1) Пренебрегая бесконечно малой величиной ε, будем считать, что Формула приближенных вычислений с помощью дифференциала (2)

Геометрический и механический смысл дифференциала Рассмотрим график дифференцируемой функции. Проведем касательную к графику функции в точке А. Уравнение касательной при этом имеет вид: Точки А и В графика имеют координаты A(x 0,f(x 0 )), В(x 0 +x, f(x 0 +x) ). Координаты точки D(x 0 +x, f(x 0 )+f(x 0 )·x). Приращение ординат (равное по модулю длине CD) равно, а это дифференциал функции y=f(x) в точке x 0. А y=f(x ) y x 0 x y B f(x 0 ) x0x0 x 0 +x f(x 0 + x) α С D x С D А α

B f(x 0 ) x0x0 y=f(x ) y x x y 0 А x 0 +x f(x 0 + x) α С D Итак, дифференциал функции y=f(x) в точке х 0 – это приращение ординаты точки касательной прямой к графику функции в точке А(х 0,f(x 0 )), соответствующее изменению абсциссы от х 0 до х 0 +х. В этом и состоит геометрический смысл дифференциала функции.

Пусть S=f(t) закон движения материальной точки по прямой. В некоторый момент времени t 0 скорость движения равна V(t 0 )=f (t 0 ). Дифференциал функции в момент времени t 0 : представляет собой путь, пройденный точкой за время t с постоянной скоростью V(t 0 ). Это составляет механический смысл дифференциала.

Арифметические операции над дифференциалом Из известных формул для производных суммы, произведения и частного двух дифференцируемых функций следуют соответствующие формулы для дифференциалов. 1) 2)

3) Если С константа, то

Дифференциал сложной функции Пусть функция u=φ(x) дифференцируема в точке х, а функция y=f(u) дифференцируема в соответствующей точке u=φ(x). Тогда сложная функция y=f(φ(x)) имеет производную в точке x : а потому дифференцируема. При этом для дифференциала сложной функции имеем формулу Неизменность формы записи дифференциала относительно аргумента носит название - свойство инвариантности формы дифференциала. В иных обозначениях формула дифференцирования сложной функции имеет вид: Для обратной функции формула имеет вид:

Дифференциал высших порядков Дифференциал функции dy=f(x)dx зависит как от аргумента х, так и от его дифференциала. Если зафиксировать dx, то дифференциал становится функцией от х. Второй дифференциал или дифференциал второго порядка функции y=f(x) определяется как дифференциал от дифференциала первого порядка и обозначается. По индукции дифференциал n-ого порядка (n>1) от y это:.

Пусть теперь х- независимая переменная, тогда Методом математической индукции выводится, что

Пусть теперь y=f(u), а u=φ(x). По правилу дифференцирования сложной функции запишем второй дифференциал через промежуточный аргумент u. Свойств инвариантности для дифференциала 2-го и выше порядков НЕТ.

Основные свойства дифференцируемых функций и их применение Т. Теорема Ферма Пусть y=f(x) определена на промежутке и дифференцируема в точке х 0 Є (a,b). Если в точке х 0 функция принимает наибольшее или наименьшее значение, то в случае дифференцируемости производная в этой точке равна 0. Доказательство: Пусть f(х 0 )-наибольшее значение функции y=f(x) на. Это значит, что Рассмотрим разностное отношение

1. 2. Следовательно, единственно возможно Аналогично теорема доказывается для случая, когда f(х 0 )- наименьшее значение.

Геометрический смысл теоремы Ферма состоит в том, что касательная к графику функции y=f(x) в точке с абсциссой х 0 параллельна оси абсцисс, если f(х 0 )-наибольшее или наименьшее значение функции и функция в точке х 0 дифференцируема.

Т. Теорема Ролля Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b], дифференцируема на интервале (a,b), а на концах отрезка принимает равные значения f(a)=f(b), то внутри отрезка найдется такая точка C Є (a,b), что f(c)=0 Доказательство: Пусть f(a)=f(b)=А и пусть m- наименьшее значение функции на [a,b], M-наибольшее значение функции на [a,b]. Очевидно, что m A M. 1)Если m=M, следовательно, f(x)- постоянная, а ее производная всюду равна 0. 2)mM, тогда либо Am, либо AM, т.е. внутри отрезка достигается наименьшее или наибольшее значение функции y=f(x) на отрезке [a,b]. Тогда по теореме Ферма в соответствующей точке С производная равна 0.

Геометрически теорема Ролля означает, что при выполнении условий теоремы внутри отрезка найдется хотя бы одна точка с, которой соответствует точка на графике, с касательной, параллельной оси Ох. Очевидно, таких точек может быть несколько. Условия теоремы Ролля существенны, нарушение одного из них ведет к ложному высказыванию. Например: функция непрерывна, на концах отрезка принимает равные значения y=1. Но внутри отрезка нет точки, в которой производная равнялась бы нулю, т.к. нет дифференцируемости всюду на отрезке [-1;1]. (Функция не дифференцируема в точке х=0)

Т. Теорема Лагранжа Если функция y=f(x) непрерывна на [a,b] и дифференцируема в интервале (a,b), то внутри интервала найдется такая точка с, что справедливо равенство Доказательство: Рассмотрим вспомогательную функцию F(x) удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля : F(x)- непрерывна на [a,b] и дифференцируема на (a,b) как сумма функций, непрерывных на [a,b] и дифференцируемых на (a,b), и F(a)=F(b)=0. Поэтому внутри (a,b) найдется точка с, что F(c)=0. Но, поэтому, откуда следует доказываемое равенство. f(b)-f(a)=f(c)(b-a)

Геометрический смысл теоремы Лагранжа Если предположить,что a=х 0, b-a=x, c=х 0 +Өx, где (0<Ө<1), то формула Лагранжа примет вид Условия теоремы Лагранжа существенны и, при нарушении одного из них получаем ложное высказывание. формула конечных приращений.

Т. Теорема Коши. Если каждая из функций f(x) и φ(x) непрерывна на [a,b] и дифференцируема в интервале (a,b), причем φ(x)0, то внутри промежутка найдется такая точка С, что будет справедливо равенство Доказательство: Рассмотрим вспомогательную функцию F(x)- непрерывна на [a,b] и дифференцируема в интервале (a,b) как сумма функций непрерывных на [a,b] и дифференцируемых в (a,b). (*) Заметим, что φ(b)φ(a), иначе по теореме Ролля в интервале (a,b) нашлась бы точка, в которой φ(x)=0, а это противоречит условию теоремы Коши.

Кроме того, F(a)=F(b)=0. Значит для F(x) выполнены все условия теоремы Ролля и следовательно существует СЄ (a,b) такая, что F(c)=0. Но, поэтому. Отсюда и следует доказываемая формула Коши Отметим, что формула Лагранжа получается из формулы Коши в частном случае при φ(x)=x.

Приложения дифференциального исчисления Признаки постоянства и монотонности функций Т1. Если функция дифференцируема на и во всех точках (a,b) ее производная равна 0, то функция на этом промежутке постоянна. Доказательство: Так как f(x) дифференцируема на и f (x)=0 всюду на (a,b), то для фиксированной точки х 0 и произвольной точки х из (a,b) выполнены все условия теоремы Лагранжа на [х 0,x]. Поэтому между х 0 и x существует такая точка С, что f(x)-f(х 0 )=f (c)·(x-х 0 )=0. Следовательно, f(x)=f(х 0 ) и потому функция f(x) постоянна на.

Т2. Если функция f(x) дифференцируема в точке х 0 и f (x)>0 (f (x)<0), то функция в точке х 0 возрастает (убывает). Доказательство: Рассмотрим случай f (х 0 )>0. Так как по определению производной, то Следовательно, в окрестности точки х 0 (кроме самой этой точки) выполнены неравенства

Выберем, тогда и Если x>х 0,то f(x)>f(х 0 ) Если x<х 0,то f(x)<f(х 0 ) (*)Аналогично ведется доказательство теоремы для случая, когда f (х 0 )<0. Это означает, что в окрестности точки х 0 функция возрастает в точке х 0. Заметим, что условие теоремы не является необходимым для возрастания (убывания) функции в точке. Например, функция f(x)=x 3 возрастает в точке х=0, а f(0)=0.

Т3. Для того чтобы функция f(x) на была строго возрастающей (строго убывающей), достаточно, чтобы всюду в интервале (a,b) выполнялось условие f (х 0 )>0 (f (х 0 )<0) Доказательство: Для любых двух точек х 1 и х 2 на (a,b), х 1 <x 2 на отрезке [x 1,x 2 ] выполнены условия теоремы Лагранжа. Поэтому для некоторой точки С из (x 1,x 2 ) Если f (x)>0 всюду на (a,b), то и функция на (x 1,x 2 ) строго возрастает. А если f (x)<0, то и функция на (x 1,x 2 ) строго убывает. Условия Т3 определяют достаточные условия, но не являются необходимыми. Например, функция f(x)=x 3 на отрезке [-1;1] строго возрастает, но f (0)=0.

Т4. Для того чтобы f(x) на была неубывающей (невозрастающей), необходимо и достаточно, чтобы всюду на (a,b) ( ). Доказательство: 1)Достаточность доказывается точно так же, как в предыдущей теореме при помощи теоремы Лагранжа. При получаем, а при для x 1 <x 2, т.е. возрастание или, соответственно, убывание. 2)Необходимость. Пусть х 0 любая точка из (a,b), а х Є и x< х 0. Если функция возрастает, то, поэтому Переходя к пределу при x х 0 получаем. Аналогично для убывающей функции получим.

Понятие максимума и минимума Опр. Функция y=f(x) в точке х 0 из области определения имеет локальный максимум (минимум), если в некоторой окрестности точки х 0 выполнено неравенство f(x) f(х 0 ) ) для всех х из указанной окрестности. Максимум и минимум обобщенно называют экстремумом функции. Одна и та же функция может иметь несколько точек локального максимума и минимума с различными значениями функции в них, при этом возможно, что минимальное значение функции по величине будет больше, чем ее максимальное значение (рис 1).

Необходимые условия экстремума Т. Если функция y=f(x) в точке х 0 имеет локальный экстремум, то она в этой точке либо не дифференцируема, либо в этой точке имеет производную, равную нулю. Доказательство: Пусть в точке х 0 локального экстремума функция принимает наибольшее или наименьшее значение. Отсюда по теореме Ферма, в случае если f(x) дифференцируема, f (х 0 )=0. Геометрически f (х 0 )=0 означает, что в точке экстремума дифференцируемой функции касательная к графику либо параллельна оси Ох, либо ее не существует.

Примером функции, не дифференцируемой в точке экстремума, является y=|x|, которая в точке х=0 имеет минимум и не имеет производной. Доказанное условие экстремума является необходимым, но не является достаточным. Например, функция f(x)=x 3 в точке х=0 имеет производную, равную нулю, но не имеет в этой точке экстремума. Точки, в которых выполнено необходимое условие экстремума, называются критическими. Это точки подозрительные на экстремум. Вопрос о наличии экстремума в критических точках решается с помощью достаточных условий. y=|x|

Достаточные условия экстремума Т2. Пусть для функции y=f(x) точка х 0 является критической и пусть функция дифференцируема в некоторой окрестности точки х 0, исключая может быть точку х 0, в которой она непрерывна. Тогда, если при переходе через точку х 0 производная меняет знак, то функция y=f(x) в точке х 0 имеет локальный экстремум. Если знак производной меняется с + на -, то х 0 точка максимума Если же знак производной меняется с – на +, то х 0 точка минимума. Доказательство: Пусть в окрестности точки х 0 производная при переходе через точку х 0 меняет знак с + на -. Если х любая точка этой окрестности отличная от х 0, то на [х 0,х] выполнены все условия теоремы Лагранжа. Поэтому f(x)-f(х 0 )=f (c)·(x-х 0 ), где точка С Є (х 0,х).

Так как f (c)>0 при х 0 > х и f (c)<0 при х 0 < х, то всегда f(x)-f(х 0 )<0, т.е. f(x)<f(х 0 ). Это и означает, что точка х 0 -точка максимума. (*) Аналогично рассматривается случай для точки минимума. Из доказательства теоремы видно, что если в условиях теоремы производная f(x) имеет один и тот же знак в окрестности точки х 0, то локального экстремума в точке х 0 нет. Доказанное достаточное условие дает первый способ исследования функции на экстремум.

Схема 1)находят критические точки. Для этого находят первую производную f(x) и находят корни уравнения f(x)=0. Затем находят все точки, где функция не дифференцируема. 2)Исследуют знак производной в окрестности каждой критической точки. 3)Вывод определяется по правилу. Если при переходе через исследуемую точку знак производной меняется с + на -, то данная точка- точка максимума. Если знак производной меняется с – на +, то исследуемая точка- точка минимума. Если знак производной не меняется, то данная точка не является точкой экстремума.

Т2. Если для функции f(x) точка х 0 является критической и функция в этой точке имеет вторую производную. Тогда, если, то функция в точке х 0 имеет локальный экстремум. Если при этом, то точка х 0 – точка минимума, если же, то точка х 0 – точка максимума. Доказательство: Так как х 0 критическая точка и функция f(x) в х 0 имеет второю производную (а значит и первую производную), то f (x)=0. Пусть, тогда и. Поэтому в точке х 0 функция f(x) возрастает, значит, для х 0 > х и при х 0 < х. Но по предыдущей теореме тогда х 0 точка локального минимума. (*) аналогично ведется доказательство в случае Из доказанного достаточного условия локального экстремума вытекает второй способ исследования функции на эктремум.

Схема 1)находят критические точки, в которых f (х 0 )=0. Из них отбирают точки, лежащие строго внутри области определения Для тех точек, в которых f (х 0 ) не существует, данный метод исследования не применим. 2) Находят значение в отобранных точках. 3) Определяют знак второй производной в данных точках. Если, то х 0 точка минимума, если, то х 0 точка максимума.

Нахождение наибольших и наименьших значений Теорема Вейерштрасса утверждает, что непрерывная на отрезке [a,b] функция достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значений. Эти значения функция достигает либо в критических точках, лежащих строго внутри (a,b), либо на концах данного отрезка. Практически для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции y=f(x) на [a,b] нужно: 1) найти критические точки функции и взять только те, которые лежат в (a,b). 2)вычислить значение функции в этих отобранных точках и на концах отрезка [a,b]. 3) среди найденных значений выбрать наибольшее и наименьшее.

Выпуклые функции. Точки перегиба Пусть функция y=f(x) дифференцируема внутри некоторого промежутка. Опр. Если существует такая окрестность точки х 0 Є (a,b), что для всех точек ее окрестности точки графика лежат ниже(выше) касательной к графику функции, то график функции в точке (х 0, f(х 0 )) направлен выпуклостью вверх(вниз). Опр. Функция называется выпуклой на промежутке, если она выпукла вверх или вниз в каждой точке этого промежутка. Т1. Для того чтобы график функции y=f(x) в точке х 0 был направлен выпуклостью вверх (вниз), необходимо условие ( ), и достаточно условие ( ).

Опр. Точка х 0 называется точкой перегиба графика функции y=f(x), если существует такая окрестность точки х 0, что при переходе через эту точку направление выпуклости графика меняется. Т2. Необходимое условие точки перегиба Если в точке х 0 перегиба графика функции y=f(x) вторая производная функции существует и непрерывна, то она в этой точке обращается в нуль. Т3. Достаточное условие Пусть функция y=f(x) имеет вторую производную в некоторой окрестности точки х 0, за исключением, быть может, самой точки х 0 и непрерывна в этой точке. Тогда, если вторая производная в указанной окрестности имеет разные знаки слева и справа от точки х 0, то в этой точке график функции имеет перегиб. Доказательство: Так как по обе стороны от точки х 0 вторая производная имеет разные знаки, то направление выпуклости графика функции слева и справа от точки х 0 различны. Но тогда по определению х 0 есть точка перегиба графика функции.

Практически исследование выпуклости и точек перегиба проводят по схеме: 1)находят вторую производную функции и точки, в которых она обращается в нуль или не существует. 2)исследуют знак второй производной в окрестности каждой такой точки и делают вывод о наличии точек перегиба по схеме: выпуклость вниз выпуклость вверх

Асимптоты графика функции Опр 1. Прямая х=а называется вертикальной асимптотой графика функции f(x), если a является точкой разрыва II рода функции y=f(x). Опр 2. Прямая y=kx+b называется наклонной асимптотой графика функции f(x) при х+ (х-), если функция f(x) представима в виде f(x)=kx+b+α(x), где α(x) бесконечно малая функция при х+ (х-). Т1. Для того чтобы график функции y=f(x) имел при х+ (х-) наклонную асимптоту y=kx+b необходимо и достаточно, чтобы

Общая схема исследования функций 1. Найти область определения функции. 2. Найти точки пересечения с осями координат и исследовать поведение функции при х+ и х-. 3. Выяснить является ли данная функция четной или нечетной. 4. Исследовать функцию на переодичность. 5. Исследовать непрерывность функции и найти ее точки разрыва. 6. Найти асимптоты графика. 7. Исследовать функцию на монотонность, найти точки экстремума. 8. Исследовать направление выпуклости графика и найти точки перегиба. 9. Построить график функции, как обобщение всех результатов исследования.

Применение дифференциального исчисления к вычислению предела. Правило Лопиталя Теорема Лопиталя 1)Пусть функции f(x) и g(x) определены и дифференцируемы в некоторой окрестности точки х 0, причем g(x)0, g(x)0 в указанной окрестности; 2) f(x) и g(x) являются бесконечно малыми (большими) при x х 0 ; 3) существует конечный или бесконечный предел тогда существует равный ему предел

Доказательство: Доопределим функции f(x) и g(x) в точке х 0 с сохранением непрерывности. Для любого xх 0 из этой окрестности на отрезке [х 0,x] выполнены усовия теоремы Коши. Поэтому, где С некоторая точка между х 0 и x. Так как при x х 0, с х 0, то Что и требовалось доказать.

Замечания 1)Правило Лопиталя справедливо и при k= 2)Если производные f(x) и g(x) удовлетворяют тем же требованиям, что и сами функции f(x) и g(x), то правило Лопиталя можно применять повторно, а при соответствующих условиях и несколько раз. 3)Правило Лопиталя переносится на тот случай, когда x. Действительно, произведем замену переменной. Тогда t0 при x. Поэтому

4)Если предел отношения не существует, то правило Лопиталя неприменимо. 5)При раскрытии других видов неопределенности (0·), (·(-)), 1,0 путем тождественных преобразований, получим неопределенность вида или. И только после этого применяют правило Лопиталя.