Примеры, включенные в эту главу, находятся русле идей автора приведенной цитаты. Часть из них заимствована из труднодоступных изданий. Современные возможности позволяют реализовать эти идеи без особых бюрократических осложнений. Новое – это хорошо забытое старое. СКОЛЬКО СТОИТ ВРЕМЯ? Ю. Соколовский, Известия, ноябрь 1973, рубрика "Вуз 70-х годов" … Создание учебника или курса лекций нередко включает в себя и онтодидактические открытия. Однако не каждый новатор в этой области становится автором, а новинки лекционного курса крайне редко выходят за стены одного вуза. Подобно изобретениям, они вообще даются не так-то легко. А чтобы привести в современный вид учебную дисциплину, их нужно гораздо больше, чем может предложить в одиночку автор (или даже авторский коллектив)…. Да и не всякая новинка укладывается в программу, составленную до этого. Поэтому … при разработке программ и учебных планов надо … иметь в поле зрения широкий ассортимент подобных предложений. При конструировании самолета нужны облегченные детали. И все специалисты думают об этом. Такова же примерно и роль "облегчения" трактовок в преподавании. Поэтому важен широкий фронт исследований, результаты которых должны оперативно публиковаться и обсуждаться, чтобы постепенно накапливался своего рода "онтодидактический фонд" – насущно необходимая основа для творческой разработки учебных планов, программ, учебников.

Передача состоит из двух одинаковых зубчатых колес эллиптической формы с отверстиями для валов в одном из фокусов. Валы разнесены на расстояние, равное большой оси эллипса. Если первоначально привести колеса в зацепление в положении, когда их большие оси образуют одну линию, то при последующем вращении зацепление будет сохраняться. Пример 1. Эллиптическая зубчатая передача Само по себе устройство – техническое решение для превращения равномерного вращения в неравномерное: ведомый вал будет вращаться то быстрее, то медленнее ведущего. Но рассказ о нем при изучении свойств эллипса оказывает сильное эмоциональное воздействие, ибо первая реакция неподготовленного слушателя: "этого не может быть!". И дело не в этом конкретном примере (механизм достаточно редкий), а в осознании масштаба возможностей математики. Г.М. Фихтенгольц. Математика для инженеров.

Присоединенный момент Если взять палку рукой за конец и удерживать горизонтально, то сразу почувствуется сила, которая выворачивает руку. Если держать за середину, то никакого момента не будет: почувствуется только вес. Так сразу, без всяких формул, можно прочувствовать содержание теоремы о присоединенном моменте. Пример 2. Слышан от проф. С.М. Тарга

1. Если относительное движение радиальное равномерное: Их существование доказывается абстрактными теоретическими построениями, но наглядное представление о их физической природе можно получить, рассматривая предельные случаи Абсолютная скорость при движении от центра к периферии возрастает из-за увеличения радиуса вращения. Это и есть кориолисово ускорение, и с ним связана сила от стенок жалоба, по которому движется тело. Именно эта сила подмывает берега рек, неравномерно изнашивает рельсы и формирует ураганы. Кориолисовы сила и ускорение возникают при окружном переносном движении Пример 3.

2. Если относительное движение окружное при равных линейных скоростях окружного и переносного движений: здесь тело в абсолютной системе координат неподвижно, между тем центробежные силы от обоих движений направлены в одну и ту же сторону. Чтобы результирующая сила была нулевой, должно быть еще одно слагаемое, направленное противоположно. Это опять кориолисова сила. Кориолисовы сила и ускорение – продолжение Центробежная сила от относительного движения Центробежная сила от переносного движения Кориолисова сила

Пример 4. Энтропия – характеристическая функция в термодинамике, одно из наиболее абстрактных понятий в науке. Характеризует направление самопроизвольных процессов в изолированной системе. Считается весьма труднодоступной для понимания, ей даже приписывают мистические свойства.

(См. следующий кадр) >>>

12 q T 1 > T 2

Взято из статьи Пак В.В., Казакова Е.И., и др. Инженер и математика. Конференция «Методы совершенствования фундаментального образования в школах и вузах» Севастополь 1998 приведено с незначительной редакционной правкой. Обоснование способа получения второго независимого решения дифференциального уравнения при равных корнях характеристического уравнения. Пример 5.

Рассмотрим решение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами. В случае неравных корней характеристического уравнения все просто: имеем два независимых решения и Для случая k 1 =k 2 рекомендуют искать решение в виде где – неизвестная функция, подлежащая определению.

будет естественным решением, так же, как и результат ее деления на k. Переходя к пределу, получим Полученное выражение является решением – проверку можно дать в качестве упражнения. Этот способ лучше традиционного в нескольких отношениях: 1) Исключается немотивированное действие: не навязываем заранее вида решения, а находим его. 2) Работают доказанные ранее теоремы и доказывается их необходимость. 3) Обучаем студента научному поиску. Можно сделать иначе. Пусть корни характеристического уравнения отличаются друг от друга на малую величину k. Линейная комбинация

Пример 6.

Известен дискомфорт у начинающих от понятия мнимого (и комплексного) числа. Он проходит не от понимания, а от привыкания. Проф. Ю.В. Линник вводил его способом, свободным от всякого дискомфорта. Комплексное число - это плоский, то есть двухкоординатный вектор, а сама ТФКП - средство упростить решение плоской задачи: обтекание воздухом крыла самолета, фильтрация воды через грунт под плотиной, электрическое и магнитное поля вокруг линии электропередачи. Будучи студентом, я слышал его лекции по ТФКП для аспирантов ЛПИ в 1948 г.

Вектор определяется двумя компонентами – горизонтальной и вертикальной. Чтобы их различать, по горизонтали откладывают обычную единицу, а по вертикали – единицу той же длины, называемую i – и никаких упоминаний о ее мнимости. Складывают комплексные числа по общим правилам сложения векторов: покомпонентно. Также, для описания векторов (и комплексных чисел) используют полярные координаты, задавая длину вектора (модуль) и угол наклона (аргумент), отсчитываемый против часовой стрелки от горизонтальной оси.

Для введения операции умножения, он вначале сформулировал правило умножения обычных чисел в таком виде: произведение c получается из множимого a тем же путем, каким множитель b получается из единицы. А именно: для получения b единицу растягивают в b раз; для получения c то же проделывают с множимым a. Чтобы распространить это правило на комплексные числа, нужно его дополнить: ведь чтобы получить b, единицу не только растянули, но и повернули на угол - аргумент множителя. Поступая так же и с множимым, приходим к правилу: при умножении комплексных чисел их модули перемножают, а аргументы складывают.

i 1 – 1 Согласно этому правилу, для получения i повернули единичный вектор на 90 о против часовой стрелки. Для умножения i на i его нужно еще раз повернуть на тот же угол, при этом получаем –1., или Этот определение здесь получено естественно, как результат обобщения на векторы правил умножения обычных чисел, а не принято изначально. И никакой мистики! Отсюда сразу следует:

За прошедшие с тех пор 60 лет я ни разу не встречал этого вывода ни в учебниках, ни в лекционных курсах математики. По-прежнему начинают с мнимой единицы, а потом (неизвестно почему!) откладывают ее на графике по вертикали, правило умножения выводят чисто алгебраически, а геометрия уже вытекает из него, и т.д. Особенно досадно, что исключением не стала и книга Я.Б.Зельдовича и А.Д.Мышкиса "Элементы прикладной математики". Но обнаружил его в неожиданном месте – в книге Р.В. Поля "Оптика". Физик, притом в специальной монографии, отвлекся на чисто математический вопрос. Значит, он не был удовлетворен его изложением профессионалами, и не мог смолчать. Геометрическая интерпретация комплексных чисел известна давно. Но именно интерпретация – после того, как мнимая единица уже названа так и введена, как –1. Линник, начав с векторов, пришел к тому же корню как к следствию, то есть, усилил мотивировку, сделав ее более содержательной. Кто не видит разницы, тот лишен педагогического чувства.