Проблема поиска корней многочленов Муниципальное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа 3 имени Тази Гиззата г. Агрыз, Агрызского муниципального района Республика Татарстан 2011 год Подготовила: Сулейманова Диляра, 11 класс Руководитель: Зарипова Р.М., учитель математики I квалификационной категории

Содержание 1. Введение. Введение 2. Определение многочлена. Определение многочлена 3. Нахождение корней многочленов. Нахождение корней многочленов 4. Теорема Безу. Теорема Безу 5. Схема Горнера. Схема Горнера 6. Заключение. Заключение 7. Список литературы. Список литературы

Введение Изучению темы «Многочлены» в программе по математике основной школы уделяется большое внимание. За пределами школьного курса остаются некоторые методы отыскания корней многочленов, операции деления многочлена на многочлен. В связи с этим школьники лишены возможности решить некоторые алгебраические уравнения высших степеней (в том числе возвратные, однородные), приемы решения которых тесно связаны с отысканием корней многочленов. Между тем, такие задания встречаются в экзаменационных работах. Поэтому целью моей работы стало нахождение формул и методов решения уравнений высших степеней, нахождение корней которых связано с отысканием корней многочленов. Меню

Определение многочлена В школьной алгебре одночленом от некоторой буквы x называется алгебраическое выражение вида ах m, где a - некоторое число, x - буква, m - целое неотрицательное число. Одночлен ax 0 отождествляется с числом a, так что числа рассматриваются как одночлены. Подобные одночлены складываются по правилу ax m + bx m = (a+b)x m, называемому приведением подобных членов. Многочленом или полиномом называется алгебраическая сумма одночленов. Поэтому любой полином можно записать в канонической форме a 0 x n + a 1 x n-1 + …+ a n, с расположением членов в порядке убывания показателей. Меню

Нахождение корней многочлена 1. В общем случае решение квадратных уравнений сводится к нахождению дискриминанта: Формула дискриминанта: D = b 2 – 4ac В общем случае корни уравнения равны: x 1,2 = -b±D / 2a Очевидно, в случае с нулевым дискриминантом, оба корня равны x 1,2 = -b / 2a Например: x 2 + 3x – 4 = 0 Ответ: 1, 4 Меню

2 · 3 = =5 Ответ: 2,3 Франсуа́ Вие́т ( февраля 1603) французский математик, основоположник символической алгебры. По образованию и основной профессии юрист. Меню

Пример. Разложить на множители многочлен x 4 – 1. Решение. Имеем: x 4 – 1 = ( x 2 ) 2 – 1 = ( x 2 – 1)( x 2 + 1) = ( x 2 – 1 )( x 2 + 1) = ( x + 1)( x – 1)( x 2 + 1). ( x + 1)( x – 1)( x 2 + 1)=0, отсюда х = -1, х = 1, ( x 2 + 1)0. Ответ: 1, -1. Меню

Пример. х 5 + 5х – 42 = 0. Пример. х 5 + 5х – 42 = 0. Решение. Преобразуем уравнение к виду х 5 = 42 – 5х. Решение. Преобразуем уравнение к виду х 5 = 42 – 5х. Поскольку функция у = х 5 возрастает, а функция Поскольку функция у = х 5 возрастает, а функция у = 42 – 5х убывает, то уравнение х 5 = 42 – 5х имеет у = 42 – 5х убывает, то уравнение х 5 = 42 – 5х имеет только один корень только один корень (рис.; масштабы на осях координат различные), (рис.; масштабы на осях координат различные), и этот корень нетрудно подобрать: х = 2. и этот корень нетрудно подобрать: х = 2. Ответ: 2. Ответ: 2. Меню

Теорема Безу Теорема: При делении многочлена n-й степени относительно x на двучлен (x-a) остаток равен значению делимого при x=a. (Буква a может обозначать любое действительное или мнимое число, т.е. любое комплексное число.) При решении уравнений с помощью теоремы Безу необходимо: Найти все целые делители свободного члена; Из этих делителей найти хотя бы один корень уравнения (а); Левую часть уравнения разделить на (х-а); Записать в левой части уравнения произведение делителя и частного; Решить полученное уравнение. Этье́нн Безу́ (31 марта 1730, Немур - 27 сентября 1783, Бас-Лож близ Фонтенбло) французский математик, член Парижской академии наук (1758). Меню

Пример: Найти корни уравнения x 4 +4x 2 –5 = 0. Среди делителей свободного члена число 1 является корнем данного уравнения, а это значит, что по следствию 2 из теоремы Безу многочлен x 4 +4x 2 –5 делится на (x–1) без остатка: значит x 4 +4x 2 –5 =(x–1)(x 3 +x 2 +5x+5). Среди делителей свободного члена многочлена x 3 +x 2 +5x+5, x=-1 является его корнем, а это значит, что по следствию 2 из теоремы Безу x 3 +x 2 +5x+5 делится на (x+1) без остатка: значит x 3 +x 2 +5x+5 =(x+1)(x 2 +5). Отсюда x 4 +4x 2 –5 =(x–1)(x+1)(x 2 +5). (x 2 +5) на множители не раскладывается, т.к. действительных корней не имеет, поэтому (x–1)(x+1)(x²+5)=0 (x–1)=0 или (x+1)=0 или (x 2 +5)=0 х = 1 х = -1 х² -5 Ответ: 1; -1.

Схема Горнера Горнер Джордж Уильямс (11 октября ) - английский математик, работал в области алгебры. В 1819 опубликовал способ приближенного вычисления вещественных корней многочлена, который назвал способом Руффини Горнера. Этот способ был известен китайцам еще в 13 в. Именем Горнера названа схема деления многочлена на двучлен (х а). Пусть р(х) = bх 4 + сх 3 +dx 2 + ех + f. Разделив р(х) на х – а, получим р(х) = (х - а)q(x) + r, где q(x) – некоторый многочлен третьей степени, коэффициенты которого нам пока неизвестны: q(x) = kx 3 + mx 2 + nx + s. Итак, bх 4 + сх 3 +dx 2 + ех + f = (kx 3 + mx 2 + nx + s)(х - а) + r. (1) Раскрыв скобки в правой части тождества (1), получим: bх 4 + сх 3 +dx 2 + ех + f = kx 4 + ( m – ka)x 3 + (n – ma)x 2 + (s – na)x + r – sa. Неопределенные коэффициенты k, m, n, s, r связаны с известными коэффициентами a, b, c, d, e, f следующими соотношениями: bcdef ak=bm=ka+cn=ma+ds=na+er=sa+f Меню

Пример. Найти корни уравнения х 3 + 4х 2 + х – 6 = 0. Решение: Находим делители свободного члена ±1; ± 2; ± 3; ± 6. Здесь, а = 1 (х - 1 = х – а), а коэффициенты многочлена-делимого равны соответственно 1, 4, 1, -6. Строим таблицу для применения схемы Горнера: · = 5 5 · = 6 6 · 1 + (-6) = 0 Итак, коэффициенты частного – числа 1, 5, 6, а остаток r = 0. Значит, х 3 + 4х 2 + х – 6 = (х – 1) (х 2 + 5х + 6) = 0. Отсюда: х – 1 = 0 или х 2 + 5х + 6 = 0, х = 1 х 1 = -2; х 2 = -3. Ответ: 1, -2, -3.

Заключение Теорема Безу находит применение при рассмотрении одной из важнейших задач математики – решении уравнений. Схема Горнера же удобна тем, что при ее применении нужно использовать меньшее, чем при делении многочлена на многочлен «уголком», число арифметических операций, и вообще она более компактна. Данный материал можно использовать, на элективных курсах, на дополнительных занятиях при подготовке учащихся к ЕГЭ. Меню

Список литературы 1. «Математика 7», Г.В. Дорофеев, С.Б. Суворова, Москва «Просвещение», «Математика 8», Г.В.Дорофеев С.Б. Суворова, Москва «Просвещение» « Алгебра и начала математического анализа 11 кл».: В двух частях. Учебник и задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) / А.Г. Мордкович, П.В. Семенов. – М.: Мнемозина, 2009.